試論數學(xué)教學(xué)的結構性原則論文
教學(xué)原則是以一定的教學(xué)目的和教學(xué)任務(wù)為出發(fā)點(diǎn)，根據教學(xué)規律制定的對教學(xué)工作的基本要求。數學(xué)教學(xué)除了堅持各科通用的、一般的教學(xué)原則外，還應堅持結構性原則。
一、數學(xué)結構性教學(xué)原則的涵義
(一）數學(xué)知識結構的涵義
法國抽象數學(xué)的主角布爾巴基（Bour-baki)指出：“數學(xué)不是研究數量的，而是研究結構的�！睌祵W(xué)知識結構主要是指數學(xué)內容結構與數學(xué)方法結構，它不僅包括數學(xué)的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數學(xué)方法、數學(xué)思想和數學(xué)觀(guān)念。其大致構成如下：f數學(xué)內容結W數學(xué)教材內容的編排結構數學(xué)知識結構'數學(xué)知識本身的邏輯結構II教材內容所里含的方法結構I數學(xué)方法結構U決問(wèn)題所采用的方法結構
數學(xué)內容結構既指數學(xué)教材內容的編排結構即數學(xué)內容及其排列、組合方式，也指數學(xué)內容本身所固有的內在的邏輯結構。數學(xué)內容本身的邏輯結構，如立體幾何中空間的角與距離的概念都是通過(guò)轉化為平面的角與距離來(lái)加以定義的，這些概念同時(shí)都具有科學(xué)性、合理性、簡(jiǎn)潔性、最優(yōu)性和實(shí)用性。數學(xué)方法結構既指數學(xué)內容中所蘊含思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數學(xué)問(wèn)題所用的具體方法或步驟。如冪函數、指數函數和對數函數兩單元的教材所蘊含的思想方法都是：從實(shí)例抽象概括出一般數學(xué)模型，再用從特殊到一般、從具體到抽象、分類(lèi)討論、數形結合的方法研究函數的性質(zhì)，最后應用函數性質(zhì)解決問(wèn)題。
由上可知，數學(xué)知識結構的實(shí)質(zhì)是數學(xué)知識本身所固有的內在的統一性與規律性。
(二）數學(xué)認知結構的涵義
數學(xué)認知結構就是學(xué)習者頭腦里的數學(xué)知識，按照自己理解的深度、廣度，結合自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維和聯(lián)想等認知特點(diǎn)組成的一個(gè)具有內部規律的整體結構。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是包括學(xué)習態(tài)度和學(xué)習方法在內的學(xué)習者頭腦中的數學(xué)知識結構。
數學(xué)知識結構是數學(xué)經(jīng)驗的積累和總結，是客觀(guān)的、外在的，而數學(xué)認知結構是學(xué)習數學(xué)時(shí)，學(xué)習者頭腦中逐步形成的認知模式，是主觀(guān)的、內在的。數學(xué)知識結構是教材按序組織起來(lái)的，通過(guò)學(xué)習是可以掌握的；數學(xué)認知結構是通過(guò)學(xué)習這些知識內容，形成的智能活動(dòng)模式，它是一個(gè)人數學(xué)素質(zhì)的體現，有正誤與優(yōu)劣之分。學(xué)習數學(xué)的過(guò)程就是把數學(xué)知識結構轉化為數學(xué)認知結構的過(guò)程，數學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)就是不斷地形成、發(fā)展和完善學(xué)生的數學(xué)認知結構。
數學(xué)認知結構對于學(xué)習者的行為有內在的調節作用，這主要表現在：1.一切外來(lái)知識對學(xué)習者的影響，都必須通過(guò)學(xué)習者的認知結構才能發(fā)生作用；2.由于作用的主體及其認知結構的不同，外來(lái)知識影響的結果也不同。
良好的數學(xué)認知結構“應該是構成這樣一種含有種種力量一一簡(jiǎn)約化知識的力量，產(chǎn)生新的診斷的力量，使知識體形成愈益嚴密的體系的力量--的知識系統”（布魯納語(yǔ)）。它具有以下特征：1.簡(jiǎn)約性和單純性。即它舍棄了使人發(fā)生混亂的雜亂的枝蔓，突出基本結構。2.遷移性和發(fā)展性。即對學(xué)習新的數學(xué)知識、掌握新的數學(xué)方法和數學(xué)思想具有積極的影響和遷移作用，是新的知識的“固著(zhù)點(diǎn)”和“生長(cháng)點(diǎn)”；同時(shí)原有的數學(xué)認知結構又在學(xué)習新的知識.新的方法的過(guò)程中不斷地完善、豐富和發(fā)展。3.廣泛性和嚴密性。即它比具體的數學(xué)知識、數學(xué)方法具有更高的抽象性和概括性，不局限于某個(gè)知識、某種方法、某類(lèi)問(wèn)題；同時(shí)學(xué)習者頭腦中的數學(xué)知識和方法的內部組織和結構是嚴密而有序的。
(三）數學(xué)結構性教學(xué)原則的涵義
所謂數學(xué)結構性教學(xué)原則，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是從數學(xué)知識結構和學(xué)生的數學(xué)認知結構出發(fā)設計和組織教學(xué)，以完善和發(fā)展學(xué)生原有數學(xué)認知結構為目的。具體地說(shuō)，即教師要從數學(xué)知識體系高度“結構化”的.特點(diǎn)和學(xué)生認知結構的形成、發(fā)展規律出發(fā)，站在整體、系統和結構的高度把握和處理教材，引導學(xué)生充分感受和把握數學(xué)的知識結構和方法結構，體驗數學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展全程，同時(shí)努力提髙學(xué)生原有認知結構的可利用性、穩定性與清晰性，為新知識融入已有的認知結構創(chuàng )造條件，以最大限度地避免因教學(xué)的盲目性而走不必要的彎路，盡可能地擴大、健全學(xué)生頭腦中的數學(xué)知識的內容、觀(guān)念和組織，完善和發(fā)展學(xué)生的數學(xué)認知結構，提髙教學(xué)效益。在這里，學(xué)生的數學(xué)認知結構既是學(xué)習數學(xué)的重要前提和手段，又是學(xué)習數學(xué)的重要目標和結果。
二、數學(xué)結構性教學(xué)原則的依據
（一）有意義學(xué)習理論
奧蘇伯爾提出，有意義學(xué)習過(guò)程的實(shí)質(zhì)就是符號所代表的新知識與學(xué)習者認知結構中已有的適當觀(guān)念建立非人為的（nonarbitrary)和實(shí)質(zhì)性的（substan?tive)聯(lián)系。實(shí)質(zhì)性聯(lián)系是指新的符號或符號所代表的觀(guān)念與學(xué)習者認知結構中已有的表象、已經(jīng)有意義的符號、概念或命題的聯(lián)系；非人為的聯(lián)系是指新知識與認知結構中有關(guān)觀(guān)念在某種合理或邏輯基礎上的聯(lián)系。要促進(jìn)新知識的學(xué)習，首先要增強學(xué)生認知結構中與新知識有關(guān)的觀(guān)念。
(二）培養學(xué)生良好的數學(xué)認知結構是數學(xué)教學(xué)的目標
布魯納認為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結構。這是在運用知識方面的最低要求，它有助于解決學(xué)生在課外所遇到的問(wèn)題和事件，或者在日后訓練中所遇到的問(wèn)題�！薄敖�(jīng)典的遷移問(wèn)題的中心，與其說(shuō)是單純地掌握事實(shí)和技巧，不如說(shuō)是教授和學(xué)習結構�！盵3]由于良好的認知結構具有簡(jiǎn)約性和單純性、遷移性和發(fā)展性、廣泛性和嚴密性，因此從結構的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)設計和實(shí)施教學(xué)，有利于完善和發(fā)展學(xué)生良好的數學(xué)認知結構，有利于提高數學(xué)教學(xué)效益尤其是可持續發(fā)展效益。
三、數學(xué)結構性教學(xué)原則的實(shí)施策略
(一）先行組織者策略
所謂“先行組織者”是指先于學(xué)習任務(wù)本身呈現的一種引導性材料，它比學(xué)習任務(wù)本身有更高的抽象、概括和綜合水平，并且能清晰地與認知結構中原有的觀(guān)念和新的學(xué)習任務(wù)關(guān)聯(lián)。設計“先行組織者”的目的是為新的學(xué)習任務(wù)提供觀(guān)念上的固定點(diǎn)，增加新舊知識之間的可辨別性，以促進(jìn)類(lèi)屬性的學(xué)習。事實(shí)上，數學(xué)教材一般總是包括這個(gè)先行組織者的，如一開(kāi)始的綜述，或章節的大綱和標題。它起了如下作用：（1)點(diǎn)明了將要呈現的知識、方法和觀(guān)念之間的聯(lián)系；（2)提醒學(xué)生已有知識和即將學(xué)習的新材料之間的關(guān)系。
(二）站在整體與結構的高度把握和處理教材
由于數學(xué)教材是髙度結構化的，因此無(wú)論是教還是學(xué)，站在數學(xué)學(xué)科結構和單元題材結構的高度，用結構的觀(guān)點(diǎn)把握教材，用結構化的方法處理教材是非常重要的。我們應該讓學(xué)生在“見(jiàn)樹(shù)木，更見(jiàn)森林；見(jiàn)森林，才見(jiàn)樹(shù)木”的情境中學(xué)習數學(xué)，引導學(xué)生充分感受和把握數學(xué)的知識結構和方法結構，體驗數學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展全程。
(三）提高學(xué)生原有認知結構的清晰性、穩定性、可辨別性
在學(xué)生面對新的學(xué)習任務(wù)時(shí)，教師要引導學(xué)生尋找他原有認知結構中能夠吸收、固定新觀(guān)念的上位觀(guān)念，并努力使這個(gè)觀(guān)念具有清晰性、穩定性、可辨別性。因為這個(gè)起固定作用的上位觀(guān)念的清晰性、穩定性、可辨別性越強，學(xué)生學(xué)習新觀(guān)念就越容易，也越易于保存。
(四）要及時(shí)歸納總結 增強學(xué)生認知結構的整體性和結構性
認知心理學(xué)認為，認知結構具有整體性和概括性；并且整體性和概括性越強，就越有利于學(xué)習的保持和遷移。但實(shí)踐表明，不少學(xué)生掌握的數學(xué)知識是零亂的、分散的、彼此孤立的。因此教師應及時(shí)組織、引導學(xué)生對前面所學(xué)的知識、規律、數學(xué)思想方法進(jìn)行歸納、整理，尋找其內在統一性和規律性，促進(jìn)學(xué)生認知結構整體性、概括性和結構性水平的提高。與此同時(shí)，教師應大力培養學(xué)生自己將所學(xué)知識系統化、結構化的能力。
(五）從結構入手，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題
數學(xué)結構具有豐富性和層次性。數學(xué)問(wèn)題的結構決定解決問(wèn)題的數學(xué)思想與數學(xué)方法，結構蘊含著(zhù)方法，結構提示著(zhù)方法：結構的豐富性決定方法的多樣性；結構的特殊性決定方法的特殊性。因此在問(wèn)題解決教學(xué)中，我們可用結構分析法來(lái)探索解決問(wèn)題的途徑和方法，從而為數學(xué)問(wèn)題的解決、學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養開(kāi)辟新的道路，提供新的武器。
四、數學(xué)結構性教學(xué)原則的意義
第一，它為數學(xué)教學(xué)提供了以建構數學(xué)認知結構為中心的整體認識觀(guān)，促進(jìn)學(xué)生從整體上把握數學(xué)知識、方法和觀(guān)念，進(jìn)而有效地克服肢解數學(xué)知識和方法的現象。
第二，它提醒我們，發(fā)現式學(xué)習和開(kāi)放性教學(xué)應該有一個(gè)“度”，不能走極端。中外教育的歷史已經(jīng)證明：學(xué)生的學(xué)習不可能是不著(zhù)邊際的發(fā)現學(xué)習，“無(wú)結構教學(xué)”、極端的‘‘開(kāi)放性教學(xué)、開(kāi)放課堂、自由學(xué)習法”并沒(méi)有提高教學(xué)質(zhì)量，反而導致了教學(xué)質(zhì)量的下降。
第三，它有助于學(xué)生克服只注意知識增長(cháng)、把解題步驟和程序作為學(xué)習重點(diǎn)的傾向，增強學(xué)生學(xué)習數學(xué)的整體意識和結構意識。
第四，它使學(xué)生把業(yè)已掌握的知識提高到簡(jiǎn)潔的原理性結構上的可能性增大，也使學(xué)生以已有知識為基礎，向未知的新事物遷移、洞察的傾向增大，因此有助于提髙數學(xué)教學(xué)的效率和效益。
五、數學(xué)結構性教學(xué)原則應用舉例
例1，在學(xué)習“0°?360°間的角的三角函數”時(shí)，從概念的來(lái)源、科學(xué)性、合理性、必要性角度等結構性特征出發(fā)，教師可自然地引導學(xué)生提出：（1)為什么會(huì )想到要定義0°?360°間的角的三角函數？（2)我們該如何定義0°?360°間的角的三角函數？應該怎樣去尋找解決辦法？（3)初中時(shí)銳角三角函數是借助直角三角形定義的，這兩者之間有無(wú)必然的聯(lián)系？（4)既然銳角三角函數值的大小由這個(gè)角的大小本身確定，與這個(gè)銳角所在的三角形是不是直角三角形或者這個(gè)銳角是不是三角形的內角無(wú)關(guān)，那么我們能否用其他方法來(lái)定義銳角三角函數？（5)如果能，那么我們該如何從原有的定義中得到啟發(fā)，尋找新的定義方法？（6)新的定義科學(xué)嗎？合理嗎？它有什么優(yōu)點(diǎn)？（7)如何運用新的定義去解決問(wèn)題？
例2,在學(xué)習和研究球體積公式時(shí)，從定理形成、證明的結構性特征出發(fā)，（1)我們很自然地形成這樣的教與學(xué)的思路：在證明一個(gè)定理之前，先猜想這個(gè)定理；在搞清楚證明細節之前，先猜想證明的主導思想。（2)我們需要從與此相類(lèi)似的圓周長(cháng)、圓面積、球面面積等問(wèn)題的解決中尋找啟發(fā)。（3)我們可以通過(guò)細沙、水等實(shí)驗來(lái)驗證或探索球體積公式。（4)我們可從祖暱原理的結構出發(fā)，構造相應的幾何體證明猜想。
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