等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)的理解、延拓及應用的論文
【摘要】 等價(jià)無(wú)窮小具有很好的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)，無(wú)論是在在求極限的運算中，還是在正項級數的斂散性判斷中，都可取到預想不到的效果，能達到羅比塔法則所不能取代的作用。通過(guò)舉例，對比了不同情況下等價(jià)無(wú)窮小的應用以及在應用過(guò)程中應注意的一些性質(zhì)條件，不僅使這些原本復雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而且可避免出現錯誤地應用等價(jià)無(wú)窮小。
【關(guān)鍵詞】 等價(jià)無(wú)窮小 極限 羅比塔法則 正項級數 比較審斂法
Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimal#39;s Character
Abstract Equivalent Infinitesimal have good characters,both in opreation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,the effection can not be replace by L#39;Hospital Rule.this paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application.
Key words equivalent Infinitesimal; limit; L#39;Hospital rule positive series; comparison test
等價(jià)無(wú)窮小概念是高等數學(xué)中最基本的概念之一，但在高等數學(xué)中等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)僅僅在“無(wú)窮小的比較”中出現過(guò)，其他地方似乎都未涉及到。其實(shí)，在判斷廣義積分、級數的斂散性，特別是在求極限的運算過(guò)程中，無(wú)窮小具有很好的性質(zhì)，掌握并充分利用好它的性質(zhì)，往往會(huì )使一些復雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可起到事半功倍的效果，反之，則會(huì )錯誤百出，有時(shí)還很難判斷錯在什么地方。因此，有必要對等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認識和理解，以便恰當運用，達到簡(jiǎn)化運算的目的。
1 等價(jià)無(wú)窮小的概念及其重要性質(zhì)［1］
無(wú)窮小的定義是以極限的形式來(lái)定義的，當x→x0時(shí)(或x→∞)時(shí)，limf(x)=0，則稱(chēng)函數f(x)當x→x0時(shí)(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮小。
當limβα=1，就說(shuō)β與α是等價(jià)無(wú)窮小。
常見(jiàn)性質(zhì)有：
設α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，則α～γ
性質(zhì)①表明等價(jià)無(wú)窮小量的商的極限求法。性質(zhì)②表明等價(jià)無(wú)窮小的傳遞性若能運用極限的`運算法則，可繼續拓展出下列結論：
�、� 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，則α+β～α′+β′
證明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′
而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應用上忽略了“l(fā)imβα=c(≠-1)”這個(gè)條件，千篇一律認為“α～α′,β～β′，則有α+β～α′+β′
�、� 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，則當Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′
此性質(zhì)的證明見(jiàn)文獻［2］，性質(zhì)③、④在加減法運算的求極限中就使等價(jià)無(wú)窮小的代換有了可能性，從而大大地簡(jiǎn)化了計算。但要注意條件“l(fā)imβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。
2 等價(jià)無(wú)窮小的應用
2.1 在求極限中經(jīng)常用到的等價(jià)無(wú)窮小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)
例1 limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx
=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)
=12
此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質(zhì)④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿(mǎn)足性質(zhì)④的條件，否則得出錯誤結論0。
例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
用性質(zhì)④直接將等價(jià)無(wú)窮小代換進(jìn)去，也可用羅比塔法則做。
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)
兩種解法的結果不同，哪一種正確呢？可以發(fā)現解法1錯了，根源在于錯用sinx-xcosx～x-xcosx (注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性質(zhì)③ sinx-xcosx并不等價(jià)于x-xcosx 。 從解法2又可以看到盡管羅比塔法則是求極限的一個(gè)有力工具，但往往需要幾種方法結合起來(lái)運用，特別是恰當適時(shí)地運用等價(jià)無(wú)窮小的代換，能使運算簡(jiǎn)便，很快得出結果。
2.2 在正項級數的審斂判別法中，用得比較多的是比較審斂法的極限形式，它也是無(wú)窮小的一個(gè)應用。
比較審斂法的極限形式：設∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正項級數， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且級數∑∞n=1vn收斂，則級數∑∞n=1un收斂。
�、� 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且級數∑∞n=1vn發(fā)散，則級數∑∞n=1un發(fā)散。當l=1時(shí)，∑un，∑vn就是等價(jià)無(wú)窮小。由比較審斂法的極限形式知，∑un與∑vn同斂散性，只要已知∑un，∑vn中某一個(gè)的斂散性,就可以找到另一個(gè)的斂散性。
例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的斂散性
解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收斂 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收斂
例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的斂散性
解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 發(fā)散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 發(fā)散
3 等價(jià)無(wú)窮小無(wú)可比擬的作用
以例3看，若直接用羅比塔法則會(huì )發(fā)現出現以下結果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越變越復雜，難于求出最后的結果。而解法2適時(shí)運用性質(zhì)①，將分母x2tan2x替換成x4，又將分子分解因式后進(jìn)行等價(jià)替換，從而很快地求出正確結果。再看一例：
例6［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出現循環(huán)，此時(shí)用羅比塔法則求不出結果。怎么辦？用等價(jià)無(wú)窮小代換。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
由此可看到羅比塔法則并不是萬(wàn)能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性［3］。只要充分地掌握好等價(jià)無(wú)窮小的4條性質(zhì)就不難求出正確的結論。
【參考文獻】
1 同濟大學(xué)應用數學(xué)系，主編.高等數學(xué).第5版.北京：高等教育出版社，2002,7（38）：56～59.
2 楊文泰，等.價(jià)無(wú)窮小量代換定理的推廣.甘肅高師學(xué)報，2005，10（2）：11～13.
3 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討.黔西南民族師專(zhuān)學(xué)報，2001，12（4）：56～58.
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