中小學(xué)數學(xué)知識結構探究論文
新課標認為，數學(xué)知識包含客觀(guān)的數學(xué)事實(shí)和以之為載體的主觀(guān)活動(dòng)經(jīng)驗、思想方法和應用技能[1]。數學(xué)知識并非是現實(shí)的拷貝，而是對現實(shí)（包括人類(lèi)己有知識）的邏輯建構，且往往都是看不見(jiàn)的。結構決定功能，因此，我們有必要考察數學(xué)知識的結構形式。
結構是“系統諸要素相對穩定的聯(lián)系方式”。數學(xué)知識的結構就是數學(xué)知識體系中各知識點(diǎn)的一種相對穩定的聯(lián)系形式。一個(gè)抽象的集合只不過(guò)是一組元素而己，無(wú)所謂結構，一但引入了一種聯(lián)系方式，就形成了一種結構。例如，實(shí)數集引入通常加法就形成了基本的代數結構一群。知識本身具有復雜的結構形態(tài)，同時(shí)在結構中顯現其特性。一方面，數學(xué)知識的結構，不是各組成部分的簡(jiǎn)單排列和組合，而是受一整套內在規律支配，各部分以不可分割，不可簡(jiǎn)化，互為補充的方式運作。這套規律超越并支配著(zhù)知識結構的每一種表現形式，決定了結構的性質(zhì)和功能，任何部分的意義由它和既定情景中其他部分之間的關(guān)系確定。例如，正數、負數和零組成實(shí)數域結構，它受到有序性、完備性的支配，獨立存在的一個(gè)實(shí)數沒(méi)有任何實(shí)際意義。另一方面，假如離開(kāi)了知識的各種表現結構，知識便失去了自己存在的意義。人類(lèi)對客觀(guān)世界的認識經(jīng)歷了千百萬(wàn)年，歷代數學(xué)家積累下來(lái)的數學(xué)知識浩如煙海。以數學(xué)知識的組織方式為邏輯范疇，可將數學(xué)知識結構分為四種類(lèi)型：邏輯結構、認知結構、教材結構和教學(xué)結構。下面分別闡述其對中小學(xué)數學(xué)教育的作用。
1邏輯結構是數學(xué)知識系統的基礎
邏輯推斷是貫穿數學(xué)知識的主線(xiàn)。由公理出發(fā)并嚴格按邏輯規律構造的知識結構就是邏輯結構。數學(xué)知識的邏輯結構是非線(xiàn)性的樹(shù)狀結構，它的根在不停地向下延伸，它的枝葉在不停地向上生長(cháng)，今天己成為一棵枝繁葉茂根深的參天大樹(shù)。
數學(xué)知識的邏輯結構以《幾何原本》為典范。公理化方法加強了似乎彼此相距很遠的那些數學(xué)領(lǐng)域之間的聯(lián)系，把某一領(lǐng)域得出的方法（結論）應用于與之同構的其他領(lǐng)域，從而獲得一系列重要成果。這種結構方法從個(gè)別推出一般，是非常經(jīng)濟的思維。公理化思想方法不僅滲透到數學(xué)的每一個(gè)分支，而且影響到其余科學(xué)領(lǐng)域，它避免了“無(wú)限向前推”的情況，把人們的目光引到向后推一今后的發(fā)展上，類(lèi)似數學(xué)這樣建立起的知識體系才是科學(xué)。按解釋法，幾何公理體系和實(shí)數公理體系的無(wú)矛盾性都可歸結為自然數算法的無(wú)矛盾性，但自然數算法的無(wú)矛盾性不可能用它自己內部形成的方法來(lái)證明，因此，數學(xué)中的公理化方法有一定的界限，數學(xué)知識的邏輯真實(shí)性也有一定的界限。于是，公理化方法在中學(xué)數學(xué)教學(xué)中的地位被逐漸削弱了，旨在讓學(xué)生體會(huì )公理化思想的過(guò)程。
傳統認為“‘數學(xué)是研宄數量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”在現代數學(xué)中“數”和“形”需要在更加廣闊的意義下去理解！布爾巴基學(xué)派認為，數學(xué)是研宄形式結構的科學(xué)，數學(xué)各分支應能按結構性質(zhì)來(lái)歸類(lèi)和統一，具體地說(shuō)就是，利用形式公理化方法抽象出各數學(xué)分支的各種結構，找出各分支之間的結構差異，從而獲得各分支之間內在關(guān)系的清晰圖象。即用結構的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待數學(xué)全局的每個(gè)分支。今天的數學(xué)己不再是彼此分開(kāi)的章節所集合起來(lái)的一堆東西，而是一個(gè)巨大的相互聯(lián)系的結構體系。這些結構原來(lái)都是從三種“母結構”一代數結構、序結構、拓撲結構一脫胎出來(lái)的。由此可以形成各種子結構和多重結構。例如，實(shí)數域同為上述三種結構的多重結構。
2認知結構是學(xué)生學(xué)習的出發(fā)點(diǎn)和歸宿
所謂“認知結構”是指學(xué)科知識的實(shí)質(zhì)性?xún)热菰趯W(xué)習者頭腦中的組織結構。這種知識結構是由學(xué)科知識的基本概念、原理、過(guò)程、思想方法以及它們之間的關(guān)系組成。數學(xué)學(xué)習是數學(xué)認知結構的組織（同化）和重新組織（順應）并形成新結構的過(guò)程，即是一個(gè)“再創(chuàng )造”過(guò)程。任何一門(mén)學(xué)科知識的學(xué)習就是在學(xué)生的頭腦中形成一定的知識結構。良好的認知結構不是知識點(diǎn)的簡(jiǎn)單堆積，而是經(jīng)個(gè)體理解并重新組織過(guò)的、穩定的`、可利用的統一體。
兒童在入學(xué)之前很久，就因社會(huì )環(huán)境的作用而學(xué)會(huì )了數數，從而可以學(xué)會(huì )一些經(jīng)驗性知識與準則。皮亞杰以他的朋友作為結構主義的范例：有一位數學(xué)家小時(shí)候對數學(xué)第一次發(fā)生興趣是因為一次偶然的游戲，他把一堆石子排成一行，發(fā)現無(wú)論從那端開(kāi)始去數石子，石子總數都是一樣的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一條線(xiàn)�？倲挡辉谑又�，也正是他自己把它們合并在一起。石子總數表現了這一堆石子之間的數量關(guān)系。在這個(gè)例子中包含了數學(xué)事實(shí)、數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗、思想等。次序、總數等就其本身而言是沒(méi)有意義的，它的意義事實(shí)上由它和游戲中的其他因素所決定的�？傊�，任何數學(xué)事實(shí)或經(jīng)驗的意義除非它被結合到結構（它是其中的組成部分）中去，否則便不能被人們感覺(jué)到。兒童在生活中下意識的排序、分類(lèi)和玩幾何模型玩具等，是在為知識的形成提供理想的基礎，其可能就在構筑日后出現的集合論！學(xué)齡前兒童在十分狹窄的范圍內意識到或認識到數量、序列與拓撲。因此，我們必須讓兒童積極構筑個(gè)人技能與算術(shù)概念及邏輯概念的基礎，兒童今后的全部數學(xué)知識結構都將以此為基礎。
兒童在學(xué)校中主動(dòng)地建構認知結構，數學(xué)教學(xué)應易于學(xué)生根據特定目標生成新的知識結構。如學(xué)習負數時(shí)，由生活中的收支盈虧問(wèn)題引入，揭示盈虧的內在聯(lián)系，理解引入負數的必然性,從而建構新的認知結構,同時(shí)也是對原認知結構的進(jìn)一步認識和理解，并得到重組。如圖1表示學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中認知結構形成的一般過(guò)程：學(xué)習者首先下意識地將新知識納入原有認知結構--同化新知識，使認知結構的數量得到擴充，當原有認知結構不能同化新知識時(shí)，則必須改造或創(chuàng )建新的認知結構，才能和新知識相適應一順應，才能維持生物演化的平衡機制。
3教材結構體現了一定的社會(huì )價(jià)值標準
教材結構是指教材要素體系的框架結構。它反映了學(xué)習者認識客體的活動(dòng)及進(jìn)程。一般認為數學(xué)教材要素是知識點(diǎn)，而知識點(diǎn)由知識與技能（含事實(shí)、概念、原理、公式），過(guò)程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)三大部分組成。數學(xué)教材中，由知識點(diǎn)構成知識樹(shù)、知識網(wǎng)、知識塊和螺旋體等結構，并以有利于學(xué)生建構穩定的、可辨的和可利用的認知結構為首要標準。編寫(xiě)教材不但要注重數學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，還應考慮表現數學(xué)知識的符號與客觀(guān)事物的聯(lián)系，以及與人的關(guān)系，從而實(shí)現教材對學(xué)生的教養、教育和發(fā)展功能。因此,教材結構當以一定的社會(huì )價(jià)值標準為基礎,提出某些標準作為教材建設的理論前提，使之成為編寫(xiě)教材的依據，并研宄如何才能符合這些標準。用發(fā)展的眼光來(lái)看，中小學(xué)學(xué)生應學(xué)習將來(lái)最有價(jià)值的數學(xué)，教材就要回答“應該學(xué)什么”的問(wèn)題。由于社會(huì )的多元化，教材也具有社會(huì )多元化特點(diǎn)，教材的典型代表教科書(shū)也應是多樣化的。
數學(xué)教材只是數學(xué)知識這座冰山露出水面的冰峰的一角，其顯著(zhù)特點(diǎn)是不追求數學(xué)科學(xué)本身的完備性和覆蓋面，不要求公理體系的獨立性，此時(shí)，擴大了公理的數量，也不太要求嚴格的論證，這一點(diǎn)與數學(xué)史不謀而合。旦是，精確的定義、嚴密的演繹展開(kāi)、幾乎沒(méi)有多余的文字敘述，用人為編造的內容情節來(lái)呈現知識，還是讓學(xué)生難于理解“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”己經(jīng)成為共識，力求把干巴巴的、符號化的學(xué)術(shù)形式演繹體系，轉化為生動(dòng)活潑、有血有肉的教育數學(xué)形態(tài)，就是為了便于學(xué)生學(xué)習。新一輪基礎教育課程改革理念指導下所開(kāi)發(fā)的教材，重心己從教師如何教，轉移到學(xué)生如何使用教材上，尋求學(xué)生心理發(fā)展與數學(xué)本身發(fā)展邏輯的整合，賦予教材中數學(xué)知識更多的社會(huì )價(jià)值觀(guān)，最終使學(xué)生明白學(xué)習數學(xué)的意義何在，價(jià)值在哪兒。
4教學(xué)結構是實(shí)現數學(xué)教育目的的必要手段
數學(xué)教學(xué)是人類(lèi)活動(dòng)之一，是一種以參與者為主體，并在一定文化環(huán)境中所從事的創(chuàng )造性活動(dòng)。某種教學(xué)結構是為達到某一方面教學(xué)目的而設計的教學(xué)活動(dòng)典范。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,教學(xué)結構所包含的因素由于其組合方式的不同而具有多種不同的形態(tài)，并有各自獨特的功能。盡管教學(xué)結構種類(lèi)繁多，但都主要由目的、目標、程序、策略、內容和評價(jià)等因素組成。例如，問(wèn)題情境一建立模型一解釋一應用一拓展這種教學(xué)結構，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應用過(guò)程，從而更好地理解數學(xué)知識的意義。1]講授式教學(xué)結構包括：誘導學(xué)習動(dòng)機一感知理解教材一鞏固知識一運用知識一檢查反饋5個(gè)基本步驟，常用于系統知識和技能的講授和學(xué)習。
研究數學(xué)教學(xué)結構，就是研究數學(xué)知識構建、傳播與吸收的過(guò)程及規律，其目的是縮短兒童認識數學(xué)知識的過(guò)程，實(shí)現對數學(xué)知識的真正理解，而不是簡(jiǎn)單的會(huì )做。人邏輯成分的多少來(lái)看，至少可將數學(xué)知識分為二類(lèi)：一類(lèi)是常規的東西。數字名稱(chēng)、線(xiàn)段、角、一年的月份等常識，如同“為什么汽車(chē)不靠左行駛”一樣，都是心智努力而無(wú)法發(fā)現的，應該逐字逐句地教，使兒童賦予我們所用詞語(yǔ)的意義跟我們頭腦中所想的定義相同，只有記住才行，必要時(shí)可熟練地復述并隨時(shí)利用。另一類(lèi)基于理性思考的東西則應該去理解。如“稀稀拉拉的自然數和密密麻麻的有理數一樣多”又如：兒童在理解基數意義（指一個(gè)有限集合的整體）之前，模仿成年人，“依葫蘆畫(huà)瓢”，以“最后一個(gè)數字來(lái)回答是多少”的問(wèn)題。要從本質(zhì)概念上真正掌握基數，不僅要了解最后一個(gè)數字指所有計算成分的總數，而且還要知道，它包括著(zhù)按順序保留的此前的所有較小的數字。隨著(zhù)學(xué)習的不斷深入，需要理解地掌握的數學(xué)知識愈來(lái)愈多，只有真正理解了數學(xué)知識孕含的思想方法，才能轉變?yōu)閿祵W(xué)能力。
知識是無(wú)法傳遞的，傳遞的只是信息。在數學(xué)課程中既有凝固的、明示的知識信息，也有流動(dòng)的、隱喻的知識信息。學(xué)生在數學(xué)教學(xué)過(guò)程中感受、體驗獲得的情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)，是可學(xué)不可教的，甚至是只可意會(huì )，不可言傳的！在數學(xué)教學(xué)結構中，主體之間多向傳遞對數學(xué)知識的認識的信息，學(xué)生由此建構數學(xué)認知結構。由于教學(xué)活動(dòng)是多種教學(xué)結構的有機整合，任何一種教學(xué)結構都不是孤立存在的，教學(xué)效果也往往是多種教學(xué)結構的綜合效應，因此，每種教學(xué)結構作為解決具體問(wèn)題，完成目標的一種工具，需要相互配合，才能發(fā)揮各自的最佳效能。根據不同的目標、內容、環(huán)境等，可采取不同的教學(xué)結構。
5小結
數學(xué)知識的邏輯結構是其余結構的基礎。數學(xué)知識的認知結構是學(xué)生學(xué)習的出發(fā)點(diǎn)和歸宿！數學(xué)知識的教材結構體現了社會(huì )發(fā)展的理念，由教材編寫(xiě)者來(lái)實(shí)現，是學(xué)生認知結構的主要來(lái)源。數學(xué)知識的教學(xué)結構是認知結構，教材結構和邏輯結構等在學(xué)校教學(xué)中的集中體現。這幾種結構是教師在教學(xué)設計中自覺(jué)不自覺(jué)都要考慮的。各種結構之間相互包攝及相互嵌套，實(shí)現著(zhù)一種跨結構之間的交流。
數學(xué)知識的幾種結構的表現形式都不是唯一的。同一知識點(diǎn)在系統邏輯結構、認知結構、教材結構、教學(xué)結構中的位置是不盡相同的，正是這種差異，推動(dòng)了課程改革的深入，使學(xué)習數學(xué)知識的過(guò)程成為學(xué)生個(gè)性發(fā)展發(fā)展的過(guò)程，從而每個(gè)學(xué)生都能得到充分的發(fā)展。厘清數學(xué)知識的幾種結構，找出相應的對策和措施，才能有的放矢，使我們的教學(xué)工作走上一個(gè)新的臺階。應當注意的是，盡管從四個(gè)維度來(lái)考察數學(xué)知識結構，作出了劃分，但我們仍持有一種“整體的”信念，其中任一維度均是全息式的，每一維的結構與整體結構具有“自相似性”這是現代教學(xué)論給我們的啟示。
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