極限理論教學(xué)中學(xué)生辯證思維的培養論文
1引言
極限不是數學(xué)分析課程的核心研究對象,但是它屬于數學(xué)分析中研究函數性質(zhì)的奠基工程,換句話(huà),它是數學(xué)分析課程的理論基礎,在數學(xué)分析中處于十分重要的地位,正如國外學(xué)者所言“極限是正確理解微積分和發(fā)展數學(xué)思維的最基本的數學(xué)概念之一.”因此,正確理解極限的概念并學(xué)會(huì )用極限理論分析、解決相關(guān)問(wèn)題就顯得尤為重要.徐利治先生在課堂上引入極限概念時(shí),常用李白的《送孟浩然之廣陵》詩(shī)“故人西辭黃鶴樓,煙花三月下?lián)P州,孤帆遠影碧空盡,唯見(jiàn)長(cháng)江天際流.”讓學(xué)生體會(huì )一個(gè)變量(孤帆)趨向于零(碧空盡)的動(dòng)態(tài)意境.但是,如何才能讓學(xué)生準確理解極限定義的真諦,實(shí)踐證明,只靠形象思維是不夠的,還需要在極限教學(xué)中引入辯證思維方式,才能深入探索抽象的極限概念及相關(guān)理論.
辯證思維強調辨析、證明,強調根據客觀(guān)事物自身的辯證本質(zhì)進(jìn)行思維與分析,認為人們可以通過(guò)概念、判斷、推理等思維形式對客觀(guān)事物辯證發(fā)展的過(guò)程做出正確地反映,實(shí)際也就是對客觀(guān)事物辯證法的反映.辯證思維最基本的特點(diǎn)是將研究對象作為一個(gè)整體,從其內在矛盾的運動(dòng)、變化及各個(gè)方面的相互聯(lián)系中進(jìn)行考察,以便從本質(zhì)上系統地、完整地認識其對象.人類(lèi)思維的發(fā)展,一般都是由形象思維到抽象思維,再由抽象思維到辯證思維.可見(jiàn),辯證思維是最高形式的思維運動(dòng),辯證思維方法是最高層次的科學(xué)方法.客觀(guān)上,辯證思維就是在辯證唯物主義基礎上,吸收了現代自然科學(xué)、社會(huì )科學(xué)研究方法的積極成果而形成的一種當代最科學(xué)的思維方式.研究并掌握這種思維方式,進(jìn)而學(xué)會(huì )自覺(jué)地運用這種思維方式分析解決問(wèn)題,對指導人們的實(shí)踐活動(dòng)具有十分重要的意義.數學(xué)分析課程基本內容的學(xué)習與運用也不例外.
之所以辯證思維對人們有如此大的作用,就在于辯證思維是用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)看世界,它從不同角度揭示了自然、社會(huì )和人類(lèi)思維發(fā)展的一般規律.數學(xué)理論的產(chǎn)生和發(fā)展正符合辯證法闡述的事物發(fā)展的一般規律.恩格斯在《自然辯證法》中說(shuō):“數學(xué)中的轉折點(diǎn)是笛卡爾的變數,有了變數,運動(dòng)進(jìn)入了數學(xué),有了變數,辯證法進(jìn)入了數學(xué),有了變數,微分和積分也就立刻成為必要的了.”由此,可得出辨證思維是微積分理論的一大支柱,與極限理論二者是緊密相連的,辯證法為極限理論的研究提供了良好的世界觀(guān)與方法論,對學(xué)生世界觀(guān)的形成和方法論意識的建立有著(zhù)非常重要的意義.
2學(xué)生在極限理論學(xué)習中容易產(chǎn)生誤解的現狀及歸因
學(xué)生對極限概念的理解學(xué)習一直是數學(xué)分析教學(xué)的一個(gè)重要難題,教學(xué)中發(fā)現有相當多的學(xué)生對極限概念的理解首先容易產(chǎn)生誤解,進(jìn)而影響到后繼內容的學(xué)習.具體來(lái)說(shuō),不僅影響對極限概念本身的理解,而且也影響對函數連續、可微以及無(wú)窮級數等的理解.因此,筆者結合自己極限理論教學(xué)實(shí)踐中對辯證思維的應用,對極限定義進(jìn)行剖析,力求抽絲剝繭,層層推進(jìn),讓學(xué)生明白極限定義的抽象性,同時(shí)對極限理論中所隱含的辯證思維加以總結分析,旨在提高數學(xué)分析課堂教學(xué)的效率.
2.1學(xué)生在極限內容學(xué)習中容易產(chǎn)生誤解的現狀
數學(xué)分析具有高度的抽象性和邏輯性,并且數學(xué)分析的教學(xué)注重理論的完整性、知識的系統性和推理的嚴謹性,這樣長(cháng)期以來(lái)的學(xué)習環(huán)境,使得一些學(xué)生態(tài)度上往往產(chǎn)生畏難情緒,主要表現在以下方面.
2.1.1學(xué)習極限內容的思維方法傳統
有較多的學(xué)生從思想上認為,學(xué)習數學(xué)就是靠教師教好,教師教得好,學(xué)生才能學(xué)得好,因此,學(xué)習數學(xué)的參與精神欠缺,這種情況多發(fā)生在一些剛入大學(xué)的新生在學(xué)習數學(xué)分析時(shí),遭遇的第一難關(guān)就是極限的概念,學(xué)生在學(xué)習時(shí)總是感到云里霧里,不知所以然,特別是學(xué)生對極限的“ε-N”定義中的任意給定的ε的任意性與給定性迷惑不解,正是由于對極限概念的無(wú)法理解,造成了用概念證明數列的斂散性及收斂數列性質(zhì)的障礙.
2.1.2學(xué)習極限內容的態(tài)度被動(dòng)
學(xué)習極限內容的態(tài)度被動(dòng)表現在,課堂上常常習慣于教師講,學(xué)生聽(tīng),缺乏主動(dòng)學(xué)習的積極性.感到極限內容難學(xué)、乏味.加之客觀(guān)上有較多學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力較差,學(xué)習積極性不夠,自學(xué)鉆研精神不強等,各方面原因使得學(xué)生對這門(mén)課程產(chǎn)生了恐懼心理,具體來(lái)說(shuō),學(xué)生學(xué)習中碰到的第二個(gè)突出的難題,即是分不清潛無(wú)限與有限的區別,常常把潛無(wú)限看成有限,因此在計算此類(lèi)問(wèn)題的極限時(shí),錯誤不斷.
2.1.3分析、解決數學(xué)極限問(wèn)題的能力甚差
由于以上問(wèn)題的存在,使得一些學(xué)生平時(shí)學(xué)習被動(dòng),對極限概念的不理解也造成后續學(xué)習導數、積分、級數等概念時(shí)的極大困擾.長(cháng)期問(wèn)題累積,不求甚解,常常滿(mǎn)足于完成必須做的作業(yè),很少就這個(gè)方面的相關(guān)問(wèn)題展開(kāi)討論、爭論等,從而導致分析、解決數學(xué)極限問(wèn)題的能力甚差.以至于在考試中此類(lèi)問(wèn)題的出錯率過(guò)高.
2.2學(xué)生在極限內容學(xué)習中形成誤解的歸因
2.2.1過(guò)時(shí)的思維方法的影響
過(guò)時(shí)的、傳統的思維方法與學(xué)習方法的影響,這是導致問(wèn)題出現最主要的一個(gè)原因.十多年中小學(xué)教學(xué)雖然經(jīng)過(guò)教育改革,整體上變化很大,但是傳統的教師教,學(xué)生學(xué)單向信息傳遞的教學(xué)方法仍然存在.至今一些數學(xué)課堂上的教學(xué),有的教師仍然采用的是靜止的、固定的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析研究問(wèn)題,必然對學(xué)生造成一定程度的消極影響.進(jìn)入大學(xué)后各方面的適應需要一個(gè)過(guò)程,加之數學(xué)分析課研究的是變量數學(xué),采用的是運動(dòng)的、變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題,由于學(xué)生在中小學(xué)所形成的學(xué)習思維方法是直觀(guān)的、靜止的,因而在大學(xué)開(kāi)始接觸數學(xué)分析這類(lèi)變化的新的知識體系時(shí),就顯得慌亂不堪,茫然無(wú)措.
2.2.2未形成科學(xué)的學(xué)習態(tài)度
科學(xué)的態(tài)度是科學(xué)素養的重要內容,形成科學(xué)的態(tài)度,對于學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、積極投入科學(xué)學(xué)習過(guò)程發(fā)揮著(zhù)很大的動(dòng)力作用.剛入大學(xué)的新學(xué)生在知識結構方面有著(zhù)重大缺陷,主要表現在中學(xué)生缺少辯證思維的系統知識,相對缺少對邏輯系統知識的掌握,同時(shí)中學(xué)數學(xué)很少涉及數學(xué)史知識,這樣就讓學(xué)生理解極限概念有了諸多不便和障礙.
2.2.3正確的學(xué)習動(dòng)機未能及時(shí)強化
學(xué)習動(dòng)機是推動(dòng)學(xué)生學(xué)習的內部動(dòng)力.大一新學(xué)生的數學(xué)思維能力方面存在一定差距,有待提高和升華.主要表現在新學(xué)生在直觀(guān)和形象思維能力上表現出優(yōu)勢,比如對幾何意義的理解就很充分.但是,對抽象概念的理解和思維能力就相對欠缺,比如對極限概念的理解.諸多缺陷,需要數學(xué)分析教師想辦法在新的教學(xué)過(guò)程中,有意識、有步驟、有計劃地幫助學(xué)生完成思維方法的轉變,提高學(xué)生的思維能力,擴大和完善學(xué)生的知識面,促進(jìn)新學(xué)生數學(xué)辯證思維的形成.
3培養學(xué)生學(xué)會(huì )辯證思維的極限理論教學(xué)新策略
以上問(wèn)題的存在,如不及時(shí)予以解決,任其長(cháng)期發(fā)展,必然直接影響學(xué)生其它一些專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習,甚至帶來(lái)其它方面意想不到的消極影響.只有客觀(guān)面對現實(shí),在分析原因的'基礎上,針對性采取積極的糾正措施,師生團結一致,現存的問(wèn)題才會(huì )逐漸得以消解,也才能把提高教育教學(xué)質(zhì)量放在可靠的基礎上.為此,我們要創(chuàng )造條件,堅持以學(xué)生為主體,師生互動(dòng),在培養學(xué)生學(xué)會(huì )辯證思維上狠下功夫,結合數學(xué)極限理論教學(xué)的實(shí)際,具體提出以下積極的教學(xué)策略.
3.1建立極限概念內部及與其它知識的關(guān)聯(lián),培養學(xué)生發(fā)散思維的能力
辯證思維最重要的就是建立起來(lái)事物都是普遍聯(lián)系的觀(guān)念.普遍聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)廣泛地存在于數學(xué)分析理論中,微積分的概念是建立在極限概念的基礎上.即導數與積分的概念都是由極限的定義來(lái)定義的,級數是部分和數列的極限問(wèn)題,歸結原則把離散問(wèn)題與連續問(wèn)題聯(lián)系起來(lái),考慮在求極限時(shí)把離散的問(wèn)題利用歸結原則變?yōu)檫B續問(wèn)題利用羅比達法則來(lái)解決.定積分的定義也為求數列的極限提供了有效的方法,建立了離散問(wèn)題與連續問(wèn)題的關(guān)聯(lián).甚至當把兩種表面上看似無(wú)關(guān)的數學(xué)知識聯(lián)系起來(lái)時(shí),會(huì )產(chǎn)生奇跡.例如,狄利克雷函數為非初等函數,開(kāi)始以分段函數的形式出現,學(xué)了極限理論后,利用累次極限這個(gè)工具把沒(méi)有任何關(guān)系的非初等函數與余弦函數聯(lián)系起來(lái),既豐富了非初等函數的表達形式,又讓狄利克雷函數以新的面貌出現,為進(jìn)一步研究狄利克雷函數的性質(zhì)奠定了基礎.再如,數列極限″ε-N″定義利用不等式工具把n→∞與an→a刻畫(huà)的既準確又簡(jiǎn)明,在定義中用ε來(lái)刻畫(huà)數列{an}接近與a的程度,通過(guò)|an-a|<ε不等式把它們聯(lián)系在一起,用n來(lái)刻畫(huà)n趨于∞的程度,通過(guò)n>N來(lái)體現,N依賴(lài)于ε但不由ε唯一確定,有時(shí)表示為N(ε),它們相互制約,相互聯(lián)系在一起.這些正是辯證思維聯(lián)系理論在極限定義中的滲透,使得極限定義成為一個(gè)不可分離的有機整體.正如德國數學(xué)家希爾伯特所說(shuō):“數學(xué)是一個(gè)有機體,它的生命力的一個(gè)必要條件是所有各部分的不可分離的結合”.可見(jiàn),建立極限概念內部及與其它知識的關(guān)聯(lián),培養學(xué)生發(fā)散思維的能力很重要.教師應該創(chuàng )造條件,將教知識與學(xué)習方法有機地結合起來(lái).
3.2揭示極限概念中對立統一,培養學(xué)生辯證思維的能力
對立統一規律揭示了事物發(fā)展的源泉和動(dòng)力,矛盾對立面的同一和斗爭推動(dòng)著(zhù)事物的發(fā)展.極限概念中含有互相矛盾的雙方,它們既對立又統一構成這種理論存在和發(fā)展的前提.無(wú)限與有限是一對矛盾,無(wú)限不能脫離有限而存在,沒(méi)有有限也就沒(méi)有無(wú)限,因此定量地描述無(wú)限,總借助一系列無(wú)限多個(gè)定數來(lái)完成.在limn→∞an=a的定義中,透過(guò)形式看實(shí)質(zhì)不難看出,凡變量極限過(guò)程,都是具有潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限雙重性質(zhì)的變量趨向極限的過(guò)程.極限過(guò)程的體現是通過(guò)數學(xué)表達式對于ε>0,鯪∈N+,當n>N時(shí)有|an-a|<ε來(lái)刻畫(huà)的.從表達式來(lái)看任意(ε)與存在()是一對矛盾,從整個(gè)過(guò)程來(lái)說(shuō)正數ε是任意變化的變量,但從過(guò)程的每個(gè)瞬間來(lái)說(shuō)正數ε是固定的常量,從局部與整體的關(guān)系來(lái)看,它們的對立既體現在局部的有限性與整體的無(wú)限性,又體現在過(guò)程的動(dòng)態(tài)性與瞬間的靜態(tài)性,正是正數ε的雙重性把極限概念中的兩個(gè)無(wú)限刻畫(huà)的淋漓盡致,這就使人們可以用不等式的方法解決極限的存在問(wèn)題,并使抽象的極限問(wèn)題符號化,正是“有限”與“無(wú)限”的對立統一構成了極限概念存在和發(fā)展的基礎.我們還注意到,在極限理論中,無(wú)窮小量是一種特殊的變量,它在變化過(guò)程中不等于零(只考慮除“0”外的一般無(wú)窮小量),但它的變化趨勢卻是零,或者可以說(shuō),它在變化的過(guò)程中不等于零,但作為變化的結果,它卻等于零.這個(gè)性質(zhì)具體而且生動(dòng)地說(shuō)明了無(wú)窮小量具有零與非零的辨證性質(zhì).由此,在教學(xué)中逐步樹(shù)立起學(xué)生的對立統一觀(guān)念,形成辯證思維的內核.
3.3探索極限理論中的量變質(zhì)變,培養學(xué)生的復合思維能力
恩格斯指出:“純粹的量的分割是有一個(gè)極限的,到了這個(gè)極限它就轉化為質(zhì)的差別了.”量變質(zhì)變規律指出了量變、質(zhì)變是事物運動(dòng)變化的兩種最基本狀態(tài),事物的發(fā)展變化都表現為由量變到質(zhì)變,再由質(zhì)變引起新的量變的反復過(guò)程.極限理論中體現著(zhù)量變質(zhì)變規律.一方面,極限中概念的存在都有著(zhù)特定的量的界限,如果量變超出了這個(gè)界限,就會(huì )發(fā)生質(zhì)變,形成另一種概念,這種新概念又存在著(zhù)自己特有的新的量變.非常著(zhù)名的Wallis公式十分明顯地體現量變質(zhì)變規律.從等式來(lái)看,數列中的每一項都為有理數,隨著(zhù)量由有限到無(wú)限的轉變,性質(zhì)卻發(fā)生了質(zhì)的變化,即極限值卻為無(wú)理數,同時(shí)也建立了整數n與無(wú)理數π之間的一種不尋常的關(guān)系.
通過(guò)這個(gè)事例告訴我們,數學(xué)極限理論知識雖然抽象,但是教師的教學(xué)方法很重要.如何讓數學(xué)基礎知識不太好的學(xué)生既學(xué)到數學(xué)極限知識,又逐漸學(xué)會(huì )運用數學(xué)極限知識.面對這個(gè)難題,要求教師善于把抽象、繁瑣的理論知識直觀(guān)化、簡(jiǎn)單化、明白化,形象化,便于讓學(xué)生接受.
3.4研討極限理論中否定之否定,培養學(xué)生創(chuàng )新思維的能力
否定之否定規律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過(guò)程是:經(jīng)歷兩次否定、三個(gè)階段,即由肯定達到對自身的否定,并再由否定進(jìn)到新的肯定——否定之否定.每一個(gè)數學(xué)理論的發(fā)展都符合否定之否定規律.在理論最初形成時(shí),該理論得到肯定;隨著(zhù)實(shí)踐的需要和研究的深入,該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來(lái)并被否定;進(jìn)而數學(xué)家們開(kāi)始研究如何使該理論更完善、更精確,最終得出新的結論,達到新的肯定.文獻指出:“每一種事物都有它的特殊的否定形式,經(jīng)過(guò)這樣的否定,它同時(shí)就獲得發(fā)展,每一種觀(guān)念和概念都是如此.”無(wú)窮小理論的發(fā)展體現了否定之否定的辯證思維規律,牛頓、萊布尼茲在創(chuàng )建微積分理論的基礎是無(wú)窮小量,無(wú)窮小量一開(kāi)始不即是零(因可用無(wú)窮小量除)卻又等于零(忽略不計),這樣把無(wú)窮小量“召之即來(lái),揮之即去”的做法,在十八世紀引起了爭論,對于無(wú)窮小量所帶來(lái)的數學(xué)本身非邏輯非嚴謹性的問(wèn)題,那些曾具體從事微積分研究的數學(xué)家們早就有過(guò)這樣或那樣的思考,在他們之間并展開(kāi)過(guò)激烈的討論和爭論,稱(chēng)它是“逝去的靈魂”,無(wú)窮小量忽略不計是暴力鎮壓等.雖然它們不是用任何一種數學(xué)方法或邏輯方法推導出來(lái)的、不夠完備,但它們卻有強大的生命力.正如馬克思所評論的“這是人間純粹實(shí)驗地發(fā)現的.”這種不能自圓其說(shuō)的無(wú)窮小量,遭到了十八世紀中期的英國大主教貝克萊初步的否定,進(jìn)而建立了極限理論,用潛無(wú)窮小量取代了實(shí)無(wú)窮小量,實(shí)無(wú)窮小量遭到了徹底的否定.然而極限理論雖然使微積分的表述嚴格化了,但是仍存在缺陷,即不具備實(shí)無(wú)窮小量的簡(jiǎn)易性和生動(dòng)性,又僅僅是個(gè)驗證方法,因而又出現了對潛無(wú)窮小量的否定,也就是對實(shí)無(wú)限小量否定的否定.一九六零年,美國耶魯大學(xué)數理邏輯學(xué)家A.Robinson運用現代數理邏輯的方法和新成果,第一次成功地證明了實(shí)無(wú)窮小量的存在性,從而使牛頓、萊布尼茲時(shí)代的無(wú)窮小量重返數壇,從哲學(xué)的角度看無(wú)窮小量獲得了新生,經(jīng)過(guò)否定之否定后的實(shí)無(wú)窮小量發(fā)展了,提高了,完善了.由此帶來(lái)學(xué)生知識面的擴充,增加了學(xué)生學(xué)習新知識的興趣,進(jìn)而完成學(xué)生思維能力的轉變和提升.
綜上所述,數學(xué)教學(xué)不僅傳授給學(xué)生數學(xué)知識和能力,更重要的是教給學(xué)生數學(xué)思維與方法,特別是辯證的思維及方法,進(jìn)而提高數學(xué)素質(zhì),促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.結合數學(xué)極限理論的教學(xué)來(lái)說(shuō),只有將辯證思維方法的分析過(guò)程滲透于具體數學(xué)知識、技能的教學(xué)之中去,才能使學(xué)生真正看到辯證思維的魅力,并使學(xué)生真正地理解、掌握極限知識的內涵,并將其思想加以推廣到所有微積分的知識學(xué)習中去.只要教師在極限理論教學(xué)中有意識、有步驟地貫穿辯證思維,堅持教學(xué)互動(dòng),堅持以學(xué)生為中心,就會(huì )促進(jìn)學(xué)生發(fā)展.例如對新學(xué)生學(xué)習極限理論,首先幫助他們形成新的觀(guān)念,養成新的思維習慣很重要.進(jìn)而有計劃地完善他們的學(xué)習結構,提高思維能力,提高分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力將有著(zhù)非常重大的意義和積極作用.這也使得我們從中進(jìn)一步認識到了哲學(xué)與數學(xué)的辨證關(guān)系,教師可以通過(guò)教學(xué)深化馬克思主義的科學(xué)的思維方法,把數學(xué)分析課“講活”、“講透”、“講深”,讓學(xué)生們能夠“聽(tīng)懂”、“學(xué)會(huì )”、“成長(cháng)”,在課堂上能享受到辯證思維帶來(lái)的樂(lè )趣,最終達到提高教學(xué)效率的目的,高質(zhì)量完成教書(shū)育人的終極任務(wù)。
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