中小學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)的調查研究論文
1前言
數學(xué)觀(guān)是人們對數學(xué)的認識和看法。由于研宄領(lǐng)域、研宄視角等方面的不同，研宄者對數學(xué)觀(guān)的內涵有著(zhù)不同的分析。在哲學(xué)范疇里，數學(xué)觀(guān)是世界觀(guān)的一部分，是對數學(xué)本質(zhì)的認識。而在數學(xué)教育領(lǐng)域里，數學(xué)觀(guān)是學(xué)習與教學(xué)觀(guān)念系統中的一種。綜合索梅(Schommer)對一般學(xué)習觀(guān)的分析以及舍恩費爾德(Schoenfeld)對學(xué)生數學(xué)觀(guān)的研宄，劉儒德等人提出中小學(xué)生的數學(xué)觀(guān)由數學(xué)知識觀(guān)、數學(xué)學(xué)習觀(guān)和數學(xué)自我概念三部分構成。其中，數學(xué)知識觀(guān)涉及對數學(xué)知識的確定性問(wèn)題、簡(jiǎn)單性問(wèn)題、社會(huì )性問(wèn)題以及數學(xué)的價(jià)值等認識|1]。張奠宙等人有著(zhù)類(lèi)似的看法。他們認為學(xué)生在數學(xué)學(xué)習中的信念或觀(guān)念涉及到三個(gè)方面:關(guān)于數學(xué)的信念、關(guān)于數學(xué)學(xué)習的信念、關(guān)于自己的信念|21。
學(xué)生的數學(xué)觀(guān)作為一種元認知知識，是學(xué)生先前經(jīng)驗中重要的組成部分。學(xué)生的數學(xué)觀(guān)制約數學(xué)學(xué)習，影響學(xué)生的數學(xué)學(xué)習動(dòng)機、學(xué)習策略、學(xué)習成績(jì)等。同時(shí)，學(xué)生的數學(xué)觀(guān)也是數學(xué)學(xué)習的結果之一，是在學(xué)校數學(xué)學(xué)習過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的。香港中文大學(xué)以黃毅英為主的數學(xué)觀(guān)研宄小組的一些研宄結果表明，許多學(xué)生認為數學(xué)是符號與數字的運算，涉及思考且有實(shí)用性因而他們的問(wèn)題解決方式十分機械化，問(wèn)題解決行為被“數學(xué)課堂文化”。國外不少研宄表明學(xué)生的數學(xué)觀(guān)與學(xué)校數學(xué)經(jīng)歷緊密相關(guān)，因而一些教學(xué)干預研宄希望通過(guò)改變數學(xué)課堂學(xué)習環(huán)境來(lái)提升學(xué)生的數學(xué)觀(guān)。
目前，國內對學(xué)生數學(xué)觀(guān)進(jìn)行理論探討的比較多，而微觀(guān)層次上的實(shí)證性研宄比較少而且深度不夠，一些描述性結論還需要進(jìn)一步的驗證。比如我國中小學(xué)生數學(xué)觀(guān)是否存在差異？不同數學(xué)學(xué)業(yè)水平學(xué)生的數學(xué)觀(guān)是否存在差異？這些方面都還缺乏直接的實(shí)證證據.
本研宄旨在探討中小學(xué)生數學(xué)觀(guān)中的數學(xué)知識觀(guān)。具體地來(lái)說(shuō)，本研宄選取小學(xué)六年級和初二學(xué)生作為研宄對象借鑒黃毅英的研宄材料，采用假設性情境題目和數學(xué)認識問(wèn)卷分析中小學(xué)生的數學(xué)知識觀(guān)，同時(shí)考察兩個(gè)研宄變量：年級和學(xué)業(yè)水平。我們希望能夠了解中小學(xué)生的數學(xué)知識觀(guān)的特點(diǎn)及發(fā)展，為后繼研宄累積資料。
2研究方法
2.1被試
有效被試為溫州市一所小學(xué)的六年級兩個(gè)班共90名學(xué)生，以及一所中學(xué)的初二年級兩個(gè)班共106名學(xué)生.其中，男生101人，女生95人。請這四個(gè)班級的數學(xué)教師根據學(xué)生的平時(shí)數學(xué)學(xué)習情況，取數學(xué)成績(jì)排名前面的約20%學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，數學(xué)成績(jì)排名后面的約20%學(xué)生為后進(jìn)學(xué)生，中間的60%為中等學(xué)生，結果區分出優(yōu)秀學(xué)生38人，中等學(xué)生125人，后進(jìn)學(xué)生33人。
22測查工具
本研宄所采用的問(wèn)卷由兩部分構成。第一部分是12道假設性情境題目，取材于黃毅英所使用的研宄材料。請學(xué)生判斷這12種假設性情境是不是在做數學(xué)或用數學(xué)，回答“是”記1分，回答‘否’記0分。第二部分是改編的數學(xué)認識問(wèn)卷。參考黃毅英等人對學(xué)生數學(xué)觀(guān)的分析|31，問(wèn)卷包括三個(gè)維度維度一是“數學(xué)涉及運算”，包括3個(gè)項目，Cronbacha系數為0.572考察學(xué)生對數學(xué)與運算關(guān)系所持的態(tài)度。維度二是‘數學(xué)涉及思考”，包括8個(gè)項目，Cronbacha系數為0.620,旨在考察學(xué)生對數學(xué)涉及思考的認i識維度三是“數學(xué)具有實(shí)用性”，包括9個(gè)項目，Cronbacha系數為0.883,旨在考察學(xué)生對數學(xué)具有實(shí)用性的認識。一共由20道題目，部分取材于東北師范大學(xué)于卓的碩士論文。題目采用利克特量表五級評定：很不同意”、“比較不同意”、“不確定”、“比較同意”、“很同意’，分別記分為“1”、“234”、“5”；否定性題目反向計分。
23調查過(guò)程
問(wèn)卷施測是在兩所學(xué)校放學(xué)后以班級為單位集中進(jìn)行的，整個(gè)過(guò)程約需15-20分鐘。
24數據處理
采用SPSS10.0統計軟件處理和分析數據。
3研究結果
31被試對假設性情境回答的人數百分比
表1為被試認同12道假設性情境是做數學(xué)或用數學(xué)的人數百分比�？傮w上看，按照被試認同做數學(xué)或用數學(xué)的人數百分比從高到低，題目排列為T(mén)s>T4>T6>T12>T1>T2>T7>T0>T11>T3=T9。被試對假設性情境認同程度
差異比較大，可分為三個(gè)水平，前面的T5、T4、T6這3道題的認同程度均在80%以上；中間的T12、T1、T2、T7這4道題認同程度約在50%-60%之間；后面的TK)、Tn、T8、丁3、乃這5道題學(xué)生認同程度低于三分之一(33.3%)另外，在每道題目上初二年級的認同程度都高于小學(xué)六年級。按照認同程度，六年級學(xué)生的題目排列為T(mén)s>T4>T6>Ti2>T1>Tx>T7>
由表2可見(jiàn)，從總體上看，年級主效應極其顯著(zhù)初二學(xué)生認同程度顯著(zhù)地高于六年級學(xué)生，學(xué)業(yè)水平的主效應不顯著(zhù)也不存在年級與學(xué)業(yè)水平的交互作用。就具體題目而言，T2、T5、T6、T7、T9、T12這6道題存在顯著(zhù)或極顯著(zhù)的年級差異，題
表3運算、思考、實(shí)用性
目T12存在顯著(zhù)的學(xué)業(yè)水平的差異，題目T4、Ti〇存在顯著(zhù)的年級和學(xué)業(yè)水平的交互作用.
33被試在數學(xué)涉及運算、思考、實(shí)用性三個(gè)維度上得分的方差分析
被試在數學(xué)涉及運算、數學(xué)涉及思維、數學(xué)的實(shí)用性三個(gè)維度得分的描述性分析及方差分析的結果見(jiàn)表3、表4。
由表3可見(jiàn)，就總體而言，被試在數學(xué)涉及運算維度上平均得分是10.06在從最低分3分到最高分15分的連續體上處于中上位置;在數學(xué)涉及思考維度上平均得分是31.26在從最低分8分到最高分40分的連續體上處于高分位置;在數學(xué)實(shí)用性維度上平均得分是37.32從最低分9分到最高分45分的連續體上處于高分位置。
由表4可見(jiàn)在數學(xué)涉及運算維度上，年級主效應不顯著(zhù)，學(xué)業(yè)水平的主效應顯著(zhù)，不存在年級與學(xué)業(yè)之間的交互作用；事后分析表明，中等生的得分最高，并且顯著(zhù)地高于后進(jìn)生(p=0.014)在數學(xué)涉及思考維度上，年級主效應沒(méi)有達到顯著(zhù)水平;學(xué)業(yè)水平的主效應不顯著(zhù)；不存在年級與學(xué)業(yè)水平之間的交互作用。在數學(xué)實(shí)用性維度上，年級主效應極顯著(zhù)，六年級學(xué)生的得分顯著(zhù)地高于初二學(xué)生;學(xué)業(yè)水平的主效應不顯著(zhù);不存在年級與學(xué)業(yè)水平之間的交互作用。
4討論
4.1學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)的基本情況分析
在假設性情境判斷中，認同程度超過(guò)80%的3道題目所涉及的內容是長(cháng)度測量、分數大小比較、用計算器進(jìn)行加法計算這些都是屬于數學(xué)課程中的基本內容。認同程度在50%一60%之間的題目所涉及的內容是估算估計、抽象的圖形（正弦曲線(xiàn)）這些是屬于數學(xué)課程中的選學(xué)內容或高年級的學(xué)習內容。認同程度低于三分之一的題目所涉及的內容是單純的觀(guān)察、生活中的判斷選擇、具體的圖形，這些內容及其表述都
相當生活化，很少出現在數學(xué)教材中。
由于算術(shù)運算是數學(xué)課程中的一個(gè)基礎內容，因此學(xué)生在判斷各種假設性情境時(shí)，無(wú)論是估算、測量還是數字比較，都有很強的做運算的傾向，如果覺(jué)得這些情境中會(huì )有數學(xué)運算，就判斷是做數學(xué)或用數學(xué)。這一點(diǎn)驗證了黃毅英等人提到的學(xué)生認為數學(xué)是‘可計’的研宄結果|3)。例如，題目Ti、T7、Tn的內容都涉及到估計，但學(xué)生的認同程度分別屬于三個(gè)水平，這說(shuō)明學(xué)生在判斷時(shí)并不認為估計本身就是數學(xué)，而主要是看是否涉及數字與運算。另外，值得注意的是題目T6表明學(xué)生己經(jīng)普遍接受利用計算器來(lái)進(jìn)行計算，而在黃毅英1996年的研宄中不少學(xué)生不贊成用計算器計算是做數學(xué)，因為‘不是他自己算，是機器算出來(lái)的”。這說(shuō)明隨著(zhù)時(shí)代的發(fā)展計算器與計算機己經(jīng)進(jìn)入數學(xué)課堂。另一方面，黃毅英等人研宄認為學(xué)生對幾何圖形的認識受到壓抑;在本研宄中，學(xué)生對圖形還是區別對待的，他們比較能夠認同抽象的曲線(xiàn)而不是具體的拼圖。
在數學(xué)認識的三個(gè)維度上，學(xué)生在很大程度上肯定了數學(xué)涉及思考、數學(xué)的實(shí)用性，表現出比較高的理論認識水平；而只是在中等程度上肯定數學(xué)涉及運算，這說(shuō)明隨著(zhù)數學(xué)課程經(jīng)驗的積累，高年級小學(xué)生和初中生己經(jīng)不再把數學(xué)狹隘地理解為等同于運算，或者說(shuō)學(xué)生認識到涉及運算的是數學(xué)但是數學(xué)不等于運算。
在本研宄中，假設性情境判斷與數學(xué)認識問(wèn)卷結果之間存在某些不一致性。比如，雖然學(xué)生在回答問(wèn)卷時(shí)相當強調數學(xué)與社會(huì )實(shí)踐以及日常生活之間的聯(lián)系，但在判斷假設性情境時(shí)卻傾向于把在日常生活有廣泛應用的數學(xué)如記錄、觀(guān)察、數學(xué)決定等方面看成是與數學(xué)無(wú)關(guān)的。對此的解釋是學(xué)生對假設性情境的判斷折射出的是一種對數學(xué)知識性質(zhì)的素樸、內隱的認識;學(xué)生對問(wèn)卷題目的回答直接反映了一種對數學(xué)知識性質(zhì)的理論上的認識。學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)作為一種個(gè)體認知的結果，未必是一種系統的整合的觀(guān)念系統，至少存在兩個(gè)層次的認識:一個(gè)層次是素樸、直覺(jué)、內隱的認識，不一定能夠有意識地提取但卻能支配數學(xué)行為，來(lái)源于個(gè)體對數學(xué)經(jīng)驗的表面的直覺(jué)的概括;另一個(gè)層次是理論上的認識，直接來(lái)源于學(xué)校教育。劉儒德等人在解釋開(kāi)放式問(wèn)卷與封閉式問(wèn)卷所反映出的數學(xué)知識觀(guān)之間的不一致性時(shí)有過(guò)類(lèi)似的分析|6]。
42中小學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)的比較
在對假設性情境的'判斷上，初二學(xué)生的認同程度顯著(zhù)地高于六年級學(xué)生。這種年級效應直接驗證了學(xué)生數學(xué)課程學(xué)習經(jīng)驗在很大程度上影響他們的數學(xué)知識觀(guān)。小學(xué)生的數學(xué)課程內容主要是算術(shù)知識與簡(jiǎn)單的幾何圖形，而初二學(xué)生開(kāi)始比較系統地學(xué)習代數、幾何等數學(xué)學(xué)科基礎知識，因而對數學(xué)知識的豐富性有更充分的認識.
在數學(xué)涉及運算和數學(xué)涉及思考兩個(gè)維度上，初二學(xué)生的肯定程度都比六年級學(xué)生高但沒(méi)有表現出顯著(zhù)差異。在數學(xué)實(shí)用性上初中學(xué)生的肯定程度卻顯著(zhù)下降。對此可能的解釋是:其一，初中的數學(xué)課程內容更具有抽象性。小學(xué)的算術(shù)知識與日常生活的聯(lián)系很直接學(xué)生接觸到數學(xué)語(yǔ)言與曰常語(yǔ)言比較接近;而初中學(xué)習的數學(xué)知識與日常生活之間直接聯(lián)系比較少而且學(xué)生需要熟悉不同于日常語(yǔ)言的數學(xué)語(yǔ)言系統。其二，由于面臨學(xué)生升入高中的考試壓力等，我國初中數學(xué)教育的目的帶有更多的功利性特點(diǎn)而遠離其實(shí)用‘性。
43學(xué)業(yè)水平與學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)
許多研宄調查了學(xué)生的學(xué)習觀(guān)、知識觀(guān)與學(xué)習動(dòng)機、學(xué)習過(guò)程及學(xué)業(yè)成績(jì)之間的關(guān)系，結果都表明，學(xué)生是否具備正確的和成熟的學(xué)習觀(guān)與他們的學(xué)業(yè)表現有非常密切的聯(lián)系111。而在本研宄中，不管是假設性處境判斷還是數學(xué)認識問(wèn)卷的結果都不能表明學(xué)業(yè)水平對數學(xué)知識觀(guān)的明確的影響。對于這種現象，我們的解釋是:其一，不同學(xué)業(yè)水平學(xué)生的數學(xué)觀(guān)的差異，主要表現在數學(xué)學(xué)習觀(guān)與數學(xué)自我概念上而在數學(xué)知識觀(guān)上則表現出較多的一致性其二，在特定的學(xué)校文化環(huán)境中，由教師和各個(gè)學(xué)生組成了學(xué)習共同體。學(xué)習共同體中的成員相互影響，形成某些共識。而這些共識一旦確立，就獲得了很強的生命力，在很大程度上制約個(gè)體行為。學(xué)生的數學(xué)知識觀(guān)正是這些共識中的一類(lèi)內容。其三本研宄中假設性情境判斷題目所涉及的數學(xué)知識難度并不高。如果增加數學(xué)知識的難度，學(xué)生學(xué)業(yè)水平對其判斷的影響可能加強。比如，題目乃2存在學(xué)業(yè)水平的顯著(zhù)差異而內容涉及到的是正弦曲線(xiàn)。
5結論
51中小學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)形成及發(fā)展與學(xué)校數學(xué)課程內容緊密相關(guān)。同時(shí)，數學(xué)知識觀(guān)既有素樸、直覺(jué)、內隱的認識層次也有理論上的認識層次。
52中小學(xué)生數學(xué)知識觀(guān)存在差異。在對假設性情境的判斷上，初二學(xué)生的認同程度顯著(zhù)地高于六年級學(xué)生；在數學(xué)認識問(wèn)卷上，在數學(xué)涉及運算、數學(xué)涉及思考兩個(gè)維度上不存在年級差異，在數學(xué)實(shí)用性上，六年級學(xué)生的肯定程度顯著(zhù)地高于初二學(xué)生。
53從總體上看，學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與數學(xué)知識觀(guān)的關(guān)系不大。
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