高等代數教學(xué)中的一些想法的論文
一、引言
高等代數[1]是理工科大學(xué)生的基礎課, 對數學(xué)系的學(xué)生尤其重要.它的教學(xué)質(zhì)量的高低直接關(guān)系到理工科大學(xué)生的專(zhuān)業(yè)基礎和后繼課程的學(xué)習, 提高其教學(xué)質(zhì)量對培養高層次人才具有重要意義[2].
高等代數包括多項式、行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣、二次型、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換、λ-矩陣、歐式空間、雙線(xiàn)性函數與辛空間等內容, 對理工科的大學(xué)生來(lái)說(shuō)課程內容量多, 教學(xué)課時(shí)緊, 理解難度較大, 學(xué)生普遍感覺(jué)學(xué)習比較吃力.筆者近年來(lái)主要在數學(xué)系從事高等代數的教學(xué)工作, 針對學(xué)生在學(xué)習這門(mén)課程中存在的上述問(wèn)題, 總結歸納了幾個(gè)方面, 期望對學(xué)生的學(xué)習和同行教師的教學(xué)有所幫助, 共同改進(jìn)和提高高等代數的教學(xué)質(zhì)量.
二、具體問(wèn)題 (注:本文中的教材均指參考文獻[1], 以后不再詳細贅述)
1. 關(guān)于"階梯形矩陣"的理解和運用.
教材P72給出了"階梯形矩陣"的文字定義, 但學(xué)生普遍反映該定義較抽象, 理解難度較大, 筆者建議學(xué)生可同時(shí)參看另一本書(shū)[3]給出的相關(guān)內容.在[3]中不僅給出了"階梯形矩陣"具體數學(xué)表達式的定義, 還給出了什么是"階梯頭", 以及一類(lèi)特殊的階梯形矩陣---約化階梯形矩陣 (也稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形) .實(shí)踐證明, 學(xué)生若理解階梯頭的概念和約化階梯形矩陣, 對其解題幫助甚多.對此類(lèi)問(wèn)題, 可用兩種方法求解.
分析:方法1是教材上給出的傳統解法, 也是大多數教師在講解第三章內容時(shí)所用的方法;方法2是筆者將方法1解答過(guò)程中得到的階梯形矩陣利用初等行變換進(jìn)一步化為約化階梯形矩陣, 進(jìn)而求解方程組.表面上看, 兩種方法復雜程度相當, 實(shí)際上方法2比方法1快捷, 因為化為約化階梯形矩陣以后, 每個(gè)階梯頭都是1, 該列其余所有的元素均為0, 因此與原方程組等價(jià)同解的方程組 (如上述方程組 (*) ) 就非常容易求解, 其解一目了然.[4]
2. 教材P188給出引理:
對一個(gè)s×n矩陣A作一初等行變換就相當于在A(yíng)的左邊乘上相應的s×s初等矩陣, 對A作一初等列變換就相當于在A(yíng)的'右邊乘上相應的n×n的初等矩陣, 我們不妨簡(jiǎn)記為"左乘行變, 右乘列變",
P191給出定理6:n級矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積:A=Q1Q2…Qm,
利用該引理和定理6, 筆者給出教材P180定理4的另一種簡(jiǎn)單證明方法.
定理4 A是一個(gè)s×n矩陣, 如果P是s×s可逆矩陣, Q是n×n可逆矩陣, 那么
證明:因為P是可逆矩陣, 根據定理6, 它能表成一些初等矩陣的乘積:
根據引理, 矩陣X1X2…XmA (即PA) 相當于對矩陣A作m次的初等行變換, 由于初等變換不改變矩陣的秩, 故秩 (A) =秩 (P A) .
另一個(gè)等式可同樣證明.
3. 分塊矩陣的分塊原則.
教材第三章第五節講到了"矩陣的分塊", 但是并沒(méi)有很直接地說(shuō)明相關(guān)問(wèn)題, 比如是否對每一個(gè)矩陣的計算都適合用分塊的方法, 以及分塊時(shí)如何去進(jìn)行.
首先需要明確:并不是所有的矩陣都適合用分塊的方法去計算.總結講解高等代數的相關(guān)書(shū)籍, 我們會(huì )發(fā)現下面的規律:對于一般矩陣而言, 只有將其分塊以后能分出諸如零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣等特殊的子矩陣, 我們一般才考慮用分塊的方法去計算.
這樣的例子有很多, 如教材P181所給的例子:
按照教材上的分塊方法, 矩陣A分成的四個(gè)子矩陣中, 包括兩個(gè)2級單位矩陣和一個(gè)2級零矩陣.
當然上述規律也不盡然, 對一些特別的矩陣, 可能分塊以后并沒(méi)有上面提到的一些特殊子矩陣, 但是實(shí)踐證明也較適用分塊的方法.讀者可參看教材P203第28題, 對于矩陣A,
本題要求用兩種方法求逆矩陣, 一是初等變換, 二是矩陣分塊.讀者通過(guò)用兩種方法分別計算可知, 本題用第二種方法較為簡(jiǎn)便.
4. 向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組P125:
定義13一向量組的一個(gè)部分組稱(chēng)為一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組, 如果這個(gè)部分組本身是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的, 并且從這向量組中任意添加一個(gè)向量 (如果還有的話(huà)) , 所得的部分向量組都線(xiàn)性相關(guān).
齊次線(xiàn)性方程組的基礎解系P142:
定義17齊次線(xiàn)性方程組 (1) (見(jiàn)教材P141) 的一組解η1, η2, …, ηt稱(chēng)為它的基礎解系, 如果 (1) (1) 的任一個(gè)解都能表成η1, η2, …, ηt的線(xiàn)性組合; (2) η1, η2, …, ηt線(xiàn)性無(wú)關(guān).
線(xiàn)性空間的一組基P249:
定義6在n維線(xiàn)性空間V中, n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量ε1, ε2, …, εn稱(chēng)為V的一組基.設α是V中任一向量, 于是ε1, ε2, …, εn, α線(xiàn)性相關(guān), 因此α可以被基ε1, ε2, …, εn線(xiàn)性表出:α=a1ε1+a2ε2+…anεn.
三者的區別與聯(lián)系:區別是很明顯的, 無(wú)須多言.聯(lián)系在于:齊次線(xiàn)性方程組的任一個(gè)解本質(zhì)上都是一個(gè)解向量, 因此從定義上可看出, 齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎解系即是它所有解構成的解向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.同樣的道理可知, 線(xiàn)性空間的一組基也為該空間中所有向量組成向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.又向量本質(zhì)上為矩陣, 故對三者的各類(lèi)求解問(wèn)題, 雖然表面差別很大, 但實(shí)質(zhì)都是考察矩陣的行 (列) 初等變換、化為階梯形矩陣、秩、找出極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等問(wèn)題, 殊途同歸.具體例子請參看教材P271第17題.
5. 對矩陣秩r的全面理解.
教材P134定理6:一矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)r級子式不為零, 同時(shí)所有r+1級子式全為零.
這里補充注意兩個(gè)問(wèn)題:
(1) 對該矩陣A而言, 其所有的k (≤r-1) 級子式均不全為零.因為由行列式按一行展開(kāi)的公式可知, 如果矩陣A的k (≤r-1) 級子式全為零, 則矩陣A的k+1級子式全為零, 從而A的所有級數大于k的子式全為零.顯然r≥k+1, 故A的所有級數為r的子式全為零, 與定理條件"有一個(gè)r級子式不為零"相矛盾.
(2) 同 (1) 分析可知, 若矩陣A的k+1級子式全為零, 則A的所有級數大于k+1的子式也必然全為零, 從而可以說(shuō):此時(shí), A的所有級數大于k的子式全為零.
綜合以上兩點(diǎn), 可將定理6換一種定義說(shuō)法, 即:一矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣的非零子式的最高級數為r級.
三、總結
高等代數是理工科大學(xué)生一門(mén)非常重要的專(zhuān)業(yè)基礎課.本文總結了高等代數教學(xué)過(guò)程中幾個(gè)容易被忽視而對整個(gè)知識體系的理解又非常關(guān)鍵的問(wèn)題, 旨在幫助學(xué)生們更好地把握整個(gè)代數知識框架的脈絡(luò ), 同時(shí)也期望為從事這門(mén)課程教學(xué)的教師同行們提供積極的教學(xué)參考.
參考文獻
[1]北京大學(xué)數學(xué)系前代數小組.高等代數[M].第4版.北京:高等教育出版社, 2013.
[2]張華民, 殷紅彩.高等代數教學(xué)中的幾點(diǎn)思考[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版, 2014, 20 (1) :90-93.
[3]陳維新.線(xiàn)性代數[M].第2版.北京:科學(xué)出版社, 2005.
[4]張盛祝, 蔡禮明, 胡余旺.高等代數內容、方法及典型問(wèn)題[M].北京:中國石化出版社, 2014.
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