線(xiàn)性代數課件

　　一、簡(jiǎn)介

　　線(xiàn)性代數是代數學(xué)的一個(gè)分支，今天數學(xué)界一致認它作為一門(mén)獨立學(xué)科誕生于上世紀30年代，因為吸納了系統的線(xiàn)性代數內容的著(zhù)作是在這一時(shí)期產(chǎn)生的，如Van的名著(zhù)代數學(xué)第二卷就把線(xiàn)性代數作為其中的短短一章。

　　回顧線(xiàn)性代數的歷史基礎上，分析了關(guān)于線(xiàn)性代數的幾個(gè)核心問(wèn)題：第一介紹了幾種關(guān)于線(xiàn)性代數基本結構問(wèn)題的看法；第二介紹了關(guān)于線(xiàn)性代數的兩個(gè)基本問(wèn)題，即“線(xiàn)性”和“線(xiàn)性問(wèn)題”；第三介紹了線(xiàn)性代數的研究對象；第四分析了線(xiàn)性代數的結構體系。

　　上世紀80年代以來(lái)，隨著(zhù)計算機應用的普及，線(xiàn)性代數理論被廣泛應用到科學(xué)、技術(shù)和經(jīng)濟領(lǐng)域，因此線(xiàn)性代數也成為高等院校理工科各專(zhuān)業(yè)的一門(mén)基礎課程，文章簡(jiǎn)述線(xiàn)性代數的相關(guān)核心核心問(wèn)題。

　　二、線(xiàn)性代數的歷史

　　線(xiàn)性代數是代數學(xué)的一個(gè)分支，今天數學(xué)界一致認它作為一門(mén)獨立學(xué)科誕生于上世紀30年代，因為吸納了系統的線(xiàn)性代數內容的著(zhù)作是在這一時(shí)期產(chǎn)生的，如Van的名著(zhù)代數學(xué)第二卷就把線(xiàn)性代數作為其中的短短一章。但是線(xiàn)性代數的一些初級內容如行列式、矩陣和線(xiàn)性方程組的研究可以追溯到二百多年前；19世紀四五十年代Grassmann創(chuàng )立了用符號表述幾何概念的方法，給出了線(xiàn)性無(wú)關(guān)和基等概念，這標準著(zhù)線(xiàn)性代數內容近代化開(kāi)始；19世紀末向量空間的抽象定義形成，并在20世紀初被廣泛用于泛函分析研究，從而使線(xiàn)性代數成為以空間理論為終結的獨立學(xué)科，因此可以說(shuō)線(xiàn)性代數是綜合了若干項獨立發(fā)展的數學(xué)成果而形成的。從上世紀六七十年代起線(xiàn)性代數進(jìn)入了大學(xué)數學(xué)專(zhuān)業(yè)課程，在我國這門(mén)課程稱(chēng)為高等代數，它以線(xiàn)性代數為主體并納入了一章多項式理論。

　　無(wú)論是高等代數或線(xiàn)性代數，這個(gè)課程有兩個(gè)特點(diǎn)：一個(gè)特點(diǎn)是各部分內容相對獨立，整個(gè)課程呈現出一種塊狀結構，原因是線(xiàn)性代數學(xué)科的形成過(guò)程本身就沒(méi)有一條明確的主線(xiàn)。我們幾乎可以找到從線(xiàn)性方程組，行列式，向量，矩陣，多項式，線(xiàn)性空間，線(xiàn)性變換中的任何一個(gè)分塊開(kāi)始展開(kāi)的教材，其展開(kāi)過(guò)程主要取決于作者串聯(lián)這些分塊的形式邏輯的脈絡(luò )。另一個(gè)特點(diǎn)是內容抽象，要真正掌握線(xiàn)性代數的原理與方法必須具備較強的抽象思維能力，即對形式概念的理解能力和形式邏輯的演繹能力，而這兩種能力要求幾乎超越了大多數學(xué)生在中學(xué)階段的能力儲備，而必須在學(xué)習這門(mén)課程的過(guò)程中重塑。主要是這兩個(gè)原因，線(xiàn)性代數被認為是一門(mén)非常難掌握的課程，而克服這一困難的關(guān)鍵就是針對線(xiàn)性代數課程的這兩個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行有效的課程改革。

　　三、關(guān)于線(xiàn)性代數基本結構問(wèn)題的看法

　　線(xiàn)性代數基本結構問(wèn)題，學(xué)者們歷來(lái)有許多不同的看法，較為常見(jiàn)的是以下幾種：

　　第一種是以矩陣為中心。

　　這一看法認為整個(gè)線(xiàn)性代數以矩陣理論為核心，將矩陣理論視為各個(gè)內容聯(lián)系的紐帶。在求線(xiàn)性方程組、判定方程組的解以及研究線(xiàn)性空間問(wèn)題時(shí)，矩陣理論是重要工具。例如正交矩陣和對稱(chēng)矩陣主要應用于歐氏空間和二次型方程問(wèn)題中�？梢�(jiàn)，只要對矩陣知識有了全面系統的理解后，就能將各種問(wèn)題都化解為矩陣理論中的.一部分，引申為矩陣問(wèn)題。

　　第二種是以線(xiàn)性方程組為中心。

　　這一關(guān)觀(guān)點(diǎn)認為線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數研究的基本問(wèn)題。具體操作過(guò)程中，將線(xiàn)性方程組的理論和方法應用到各個(gè)章節，由此引出矩陣、行列式、向量等理論，最后列出方程組、求解，然后進(jìn)一步應用，串聯(lián)起各部分內容。這一理論較為系統、科學(xué)，常常被初學(xué)者采納。

　　第三是一種線(xiàn)性代數體系，以線(xiàn)性變換和線(xiàn)性空間為核心。

　　在學(xué)習線(xiàn)性代數之前，學(xué)生要先掌握關(guān)系、集合、環(huán)、群、域等概念，形成對高等數學(xué)的研究對象、知識結構、表達方式的初步認識。線(xiàn)性代數體系依次安排了線(xiàn)性空間、內積空間、線(xiàn)性變化、矩陣概念和性質(zhì)等章節。掌握線(xiàn)性變換基礎后，再教學(xué)線(xiàn)性方程組求解知識，在此基礎上，進(jìn)一步引出特征向量、特征值和二次型理論。整個(gè)體系以線(xiàn)性代數為核心，內容介紹、理論講解及方法系統化為一個(gè)整體。

　　第四是以向量理論為核心。

　　對二維、三維直角坐標系的研究是線(xiàn)性代數的起源。學(xué)生在中學(xué)時(shí)就已經(jīng)了解了關(guān)于平面向量的一些基本知識，因此，將向量作為整個(gè)線(xiàn)性代數知識的核心，有利于使各部分內容的聯(lián)系更加密切、理論體系更加完整完善，學(xué)生的空間概念也能得以加強。矩陣、行列式、線(xiàn)性方程組一般為研究維向量空間所必須的表示工具、向量的線(xiàn)性相關(guān)性的判別工具）和未知向量的計算工具，從宏觀(guān)講它們獨立于體系之外，從微觀(guān)講它們也是維向量空間的一些具體內容。而二次型僅僅是對稱(chēng)雙線(xiàn)性函數的一個(gè)簡(jiǎn)單應用。

　　四、線(xiàn)性和線(xiàn)性問(wèn)題

　　“線(xiàn)性”這個(gè)數學(xué)名詞在中學(xué)數學(xué)課程中，學(xué)生從未接觸過(guò)。而這一課程是大學(xué)數學(xué)的基礎課程，學(xué)生剛進(jìn)入大學(xué)，對這一詞匯的具體內容知之甚少。所以在學(xué)習之前，學(xué)生必須對什么是“線(xiàn)性”有所了解，在“線(xiàn)性代數”這一課程中有對于“線(xiàn)性”概念的明確介紹。這是學(xué)習線(xiàn)性代數要解決的第一個(gè)基本問(wèn)題，即什么是“線(xiàn)性”。

　　從整個(gè)數學(xué)全局來(lái)看線(xiàn)性代數，可將涉及到的數學(xué)問(wèn)題分為兩類(lèi)：即線(xiàn)性問(wèn)題和非線(xiàn)性問(wèn)題。其中，對于線(xiàn)性問(wèn)題的研究，歷來(lái)有最完善的理論和最多的研究成果；并且，許多非線(xiàn)性問(wèn)題往往也可以轉化為線(xiàn)性問(wèn)題解答。所以解決具體的數學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先應判斷該問(wèn)題是否屬于線(xiàn)性問(wèn)題，如果是線(xiàn)性問(wèn)題該采用怎樣的解決方法，如果不是線(xiàn)性問(wèn)題，應考慮如何將其轉化為線(xiàn)性問(wèn)題。這是學(xué)習線(xiàn)性代數要解決的第二個(gè)基本問(wèn)題：什么是“線(xiàn)性問(wèn)題”，如何處理“線(xiàn)性問(wèn)題”？

　　了解了什么是“線(xiàn)性”、什么是“線(xiàn)性問(wèn)題”后，離完成線(xiàn)性代數的教學(xué)目的還有很長(cháng)一段距離。如今的高校教育，一味灌輸給學(xué)生行列式、向量、矩陣、線(xiàn)性變換等空洞的數學(xué)定理，指導學(xué)生用這些理論來(lái)思考線(xiàn)性代數的基本結構、具體應用等問(wèn)題。教師在教學(xué)線(xiàn)性代數問(wèn)題時(shí)更是一味強調理論的選擇與應用，卻忽視了學(xué)生發(fā)現問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的培養。

　　五、線(xiàn)性代數的研究對象

　　稍微觀(guān)察一下我們可以發(fā)現，中學(xué)的初等代數就是線(xiàn)性代數的前身，只是在其基礎上的進(jìn)一步抽象化。初等代數研究的多是具體的問(wèn)題，運用加減乘除的運算方法即可解決問(wèn)題；線(xiàn)性代數中則引入了許多新的概念，如向量、向量空間、集合、空間、矩陣等等，問(wèn)題展現的形式發(fā)生了變化，要想解決問(wèn)題，我們的思維方式也應該發(fā)生變化。涉及到新概念的數學(xué)問(wèn)題往往都很抽象，如向量指的是既有數值又有具體方向的量；向量空間是許多量組成的集合，這一集合中的元素全都符合特定的運算規則；集合是具有某種屬性的事物的總和；矩陣理論則是一種更加抽象化的理論，因此我們的研究方法和思維方式都要隨之進(jìn)行改變。如初等代數中的基本運算法則性代數中經(jīng)常會(huì )失效，線(xiàn)性代數的研究對象是向量運算、矩陣運算和線(xiàn)性變換，解決問(wèn)題時(shí)，需要采用一種特殊的運算方法。

　　綜上所述，線(xiàn)性代數的學(xué)習中應重點(diǎn)培養兩個(gè)方面的能力：

　　一個(gè)是知識掌握的能力的培養。介紹知識時(shí)應堅持從易到難、循序漸進(jìn)。先掌握好中學(xué)的運算法則，再慢慢學(xué)習向量、矩陣知識，之后學(xué)習線(xiàn)性變換，最后綜合學(xué)習線(xiàn)性運算。學(xué)生經(jīng)過(guò)中學(xué)階段的學(xué)習，完全掌握了加法和乘法這兩種基礎運算法則，簡(jiǎn)單了解了向量運算。矩陣知識相對于前者更加抽象，因此應放在之后學(xué)習。線(xiàn)性變換則是線(xiàn)性代數教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)所在，也是最容易被忽視的地方。由于線(xiàn)性變換可結合映射知識學(xué)習，而映射知識在中學(xué)數學(xué)和微積分教學(xué)中都有詳細的介紹，在此基礎上學(xué)生更容易理解線(xiàn)性變換及運算的相關(guān)知識，更容易解決矩陣特征值問(wèn)題、線(xiàn)性方程組問(wèn)題及二次型問(wèn)題等。

　　另外一個(gè)是思維能力的培養。在學(xué)習中，注意引導學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題學(xué)習，并在學(xué)習中進(jìn)一步發(fā)現問(wèn)題、解決問(wèn)題，這是最有效的思維方式和學(xué)習方法。前文提到了學(xué)習線(xiàn)性代數必須先了解的兩個(gè)基本問(wèn)題：什么是“線(xiàn)性”、什么是“線(xiàn)性問(wèn)題”。這兩個(gè)基本問(wèn)題應該始終貫穿性代數的學(xué)習過(guò)程中。無(wú)論在什么階段的學(xué)習，都要注重理論知識和實(shí)際問(wèn)題的有效結合。學(xué)生在掌握了一定的理論知識后，可嘗試去解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。在這一過(guò)程中，學(xué)生會(huì )加深對理論知識的理解，并進(jìn)一步發(fā)現自身知識儲備的不足之處。若單單追求知識的應用，而不加深自己的理論素養，最終也無(wú)法具備良好的思維能力。所以，在學(xué)習線(xiàn)性代數時(shí)，要培養好兩方面的能力，使之相輔相成、相互促進(jìn)。

　　結語(yǔ)：

　　20世紀后50年計算技術(shù)的高速發(fā)展，推動(dòng)了大規模工程和經(jīng)濟系統問(wèn)題的解決，使人們看到，線(xiàn)性代數和相關(guān)的矩陣模型是如微積分那樣的數學(xué)工具，無(wú)所不在的線(xiàn)性代數問(wèn)題，等待著(zhù)各層次的工程技術(shù)人員快速精確地去解決相關(guān)線(xiàn)性代數問(wèn)題。因此絕大對工科學(xué)生而言，數學(xué)課應該使他們有宏觀(guān)的使用數學(xué)的思想，要使工程師了解工程中可能遇到的各種數學(xué)問(wèn)題的類(lèi)別，并且知道應該用什么樣的數學(xué)理論和軟件工具來(lái)解決，這是一種高水平的抽象。而了解線(xiàn)性代數的核心問(wèn)題，無(wú)疑對線(xiàn)性代數課程的學(xué)習有重要的價(jià)值。

【線(xiàn)性代數課件】相關(guān)文章：

《將心比心》課件05-14

《詠柳》課件05-02

春曉課件05-03

荷花課件10-26

師說(shuō)課件下載11-29

看雪課件05-18

菱形課件教案05-18

《石榴》課件精選05-17

知錯就改課件設計05-12

《紙船》課件教案05-12