激活思維的教案
----數學(xué)習題課“一題多問(wèn)”“一題多變”教學(xué)案例與評析
數學(xué)習題課對所學(xué)過(guò)的知識能夠起到檢查、鞏固、提高、拓展的功效，在進(jìn)行概念教學(xué)的過(guò)程中，應當適當安排一些習題課。然而，習題課的選題，容量怎樣安排才合理，效益如何提高，如何培養學(xué)生的良好思維品質(zhì)？我一直在思考、在嘗試。我認為習題課絕不是簡(jiǎn)單的習題介紹，也絕不是教輔資料的處理之需，我覺(jué)得習題課題目的選擇和教學(xué)安排應該遵循兩個(gè)原則：一是整理知識，整頓習慣，整合思維的原則；一是引導思考，自主探究，激活思維的原則。高二這段時(shí)間進(jìn)行橢圓單元的教學(xué)，在習題課上，我備課時(shí)，首先確定好這一節課的目標以及每個(gè)選題的目標，然后圍繞這一目標進(jìn)行廣泛閱讀、篩選、重組，盡量編成“一題多問(wèn)”、“一題多變”的題目，這樣，教學(xué)容量、效益有了很大提高。以下是本人高二橢圓單元教學(xué)習題課設置的“一題多問(wèn)”、“一題多變”教學(xué)案例。
【教學(xué)案例一】
○教學(xué)背景：橢圓標準方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)上完后，為了使學(xué)生掌握標準方程及相關(guān)的量，我安排了習題課，編成“一題多問(wèn)”的題。
教學(xué)目標：
1）加強學(xué)生對橢圓方程的認識，鞏固有關(guān)概念、性質(zhì)。
2）能夠根據橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程。
問(wèn)題設置：例1：已知橢圓方程，回答下列問(wèn)題：
�。�1）出該橢圓的長(cháng)軸、短軸長(cháng)，焦距，離心率
�。�2）寫(xiě)出該橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標，準線(xiàn)方程
�。�3）作出該橢圓的圖形。
教學(xué)要求：
1）三位同學(xué)板演。
2）把1、2中涉及到的量在圖中標出。
3）體會(huì )橢圓中的量與焦點(diǎn)的位置關(guān)系。
教學(xué)意圖：1）檢查、鞏固，2）數形結合，3）引導學(xué)生比較、思考
○教學(xué)背景：根據性質(zhì)求橢圓方程，能夠強化對橢圓的幾何性質(zhì)認識，這是教學(xué)的重點(diǎn)。
教學(xué)目標：鞏固橢圓的性質(zhì)，熟練掌握求橢圓方程的方法和注意四項。
問(wèn)題設置：例2.根據條件,寫(xiě)出對稱(chēng)軸在坐標軸上的橢圓的標準方程：
(1)過(guò)點(diǎn)P(3,0),且長(cháng)軸長(cháng)是短軸長(cháng)的三倍的橢圓。
(2)以直線(xiàn)3x+4y－12=0和兩軸的交點(diǎn)分別作為頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的.橢圓。
(3)一個(gè)焦點(diǎn)把長(cháng)軸分成長(cháng)度為7和1兩段的橢圓。
(4)已知長(cháng)軸長(cháng)與短軸長(cháng)之比為2：1,一條準線(xiàn)方程為x+4=0的橢圓。
(5)長(cháng)軸在x軸上,離心率為,一條準線(xiàn)是x=3的橢圓。
(6)焦點(diǎn)在x軸上,其長(cháng)軸端點(diǎn)與相近的焦點(diǎn)相距為1,與相近的一條準線(xiàn)距離為。
教學(xué)要求：1）前三題學(xué)生板演。
2）要求學(xué)生進(jìn)行解題反思，整合求橢圓的一般思路及注意事項。
3）后三題課外作業(yè)。
教學(xué)意圖：1、引導思考，自主探究，激活思維。
2、整理知識，整頓習慣，整合思維。
【評析】
新課程改革要求我們重新樹(shù)立教材觀(guān)，教師對教材、教輔進(jìn)行再加工，再創(chuàng )造。習題課如果只是把課本、資料上的題目照搬照抄，使用起來(lái)總感到凌亂、目標不集中，講解單調，題目功效較弱等缺憾。這樣，備課時(shí)考慮好想要達到的目標，廣泛閱讀，仔細篩選，大膽重組編成需要的題目，使用起來(lái)很方便，講解起來(lái)易透徹，教學(xué)意圖特明顯。另外，新課改積極倡導“探究式課堂教學(xué)”，就是以探究為主的教學(xué)。具體說(shuō)它是指教學(xué)過(guò)程是在教師設置的問(wèn)題引領(lǐng)下，以學(xué)生獨立自主學(xué)習和合作討論為前提，以現行教材為基本探究?jì)热�，為學(xué)生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機會(huì )，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識應用于解決實(shí)際問(wèn)題的一種教學(xué)形式。一題多問(wèn)，根據老師的預設，層層深入探究，發(fā)展了學(xué)生的思維，培養了自學(xué)能力；一題多變，讓學(xué)生在做題中自己發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，促使他們自己去獲取知識、發(fā)展能力；一題多人板演，有比較，互展示，教師為學(xué)生的學(xué)習設置探究的情境，建立探究的氛圍，讓學(xué)生在求解過(guò)程中求創(chuàng )新、求速度、求最佳。
【教學(xué)案例二】
○教學(xué)背景：對于橢圓方程，學(xué)生對焦點(diǎn)在X軸上的標準方程比較熟悉，解題時(shí)往往疏忽焦點(diǎn)在Y軸上的情形。于是我設置了這樣一個(gè)題目，以期引起學(xué)生重視。
教學(xué)目標：加強對橢圓方程的認識，在解題中注意焦點(diǎn)的位置。
問(wèn)題設置：例：設方程，回答下列問(wèn)題：
�。�1）方程表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，求實(shí)數m的取值范圍。
�。�2）方程的準線(xiàn)與X軸平行，求實(shí)數m的取值范圍。
�。�3）方程的一個(gè)焦點(diǎn)坐標為（0，1），求m的值。
�。�4）方程的離心率e=，求m的值。
教學(xué)要求：四個(gè)組每組一題，選代表板演，并說(shuō)出老師選這題的意圖。
教學(xué)意圖：引導思考，合作交流，比較歸納。
【評析】
兩相比照辨異同，舉一反三旁類(lèi)通。比較是確定客觀(guān)事物彼此之間的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)的一種思維方法。通過(guò)比較，能使我們認識事物本身所固有的特點(diǎn)（即在比較中求異），也能夠認識同類(lèi)事物的共點(diǎn)特點(diǎn)（即在比較中求同）。通過(guò)這一題多問(wèn)，反復強調求解時(shí)要考慮焦點(diǎn)位置，意識得到強化。同時(shí)告訴學(xué)生把橢圓方程換一下，課后在去做，問(wèn)題迎刃而解。通過(guò)對題目的背景的改變，讓學(xué)生不斷思考，互相啟發(fā)，總結歸納出解題規律。這類(lèi)題具有很強的嚴密性和發(fā)散性，通過(guò)訓練把學(xué)生的思維引到一個(gè)廣闊的空間，培養了學(xué)生思維的廣度和深度。這樣，通過(guò)“一題多問(wèn)”和“一題多變”，拓展了思維空間，培養學(xué)生的創(chuàng )新思維。對高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，有利于培養他們學(xué)習數學(xué)的濃厚興趣和創(chuàng )新精神。
【教學(xué)案例三】○教學(xué)背景：橢圓單元里有一類(lèi)圍繞焦點(diǎn)三角形而設置的題目，有規律可循。
問(wèn)題設置：例：設P是橢圓上一點(diǎn)，F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
�。�1）若，求P點(diǎn)坐標，三角形F1AF2的面積。
�。�2）若，求P點(diǎn)坐標，三角形F1AF2的面積。
�。�3）為鈍角，求P點(diǎn)橫坐標x0的取值范圍。
教學(xué)要求：講解問(wèn)1，學(xué)生自做問(wèn)2、3
【評析】
類(lèi)比、聯(lián)想是重要的數學(xué)思想，求同、求異是數學(xué)思考的常見(jiàn)方法�！耙活}多問(wèn)”和“一題多變”巧妙地把同類(lèi)的放在一起讓學(xué)生去感受，去體會(huì )，去總結。原本被動(dòng)的行為在潛移默化中變?yōu)樽杂X(jué)行為。教學(xué)中不僅要求學(xué)生的思維活躍，教師的思維更應開(kāi)放，教師只要細心大膽挖掘，從問(wèn)題個(gè)性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去構思、延伸、開(kāi)拓，這樣引導思考，自主探究，有利于激活學(xué)生思維。
【教學(xué)案例四】
○教學(xué)背景：最值題對學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，橢圓與雙曲線(xiàn)有許多相近之處，講好橢圓有利于全局。仔細研究橢圓單元的有關(guān)最值題，萬(wàn)變不離其宗，有通法。
教學(xué)目標：掌握一些橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題，探求解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路。
問(wèn)題設置：例：已知x、y滿(mǎn)足，探究下列問(wèn)題：
�。�1）求U=x2+y2-2y的取值范圍。
�。�2）求U=2x+3y+4的取值范圍。
�。�3）求點(diǎn)P（x,y）到A（1，1）距離最小值及對應的P點(diǎn)坐標。
�。�4）求點(diǎn)P（x,y）到直線(xiàn)L：x+2y=4距離的最值。
�。�5）求U=的取值范圍。
�。�6）設該橢圓與坐標軸正半軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，在劣弧上取一點(diǎn)C使四邊形OACB面積最大，求面積最大值。
教學(xué)要求：教師啟發(fā)，學(xué)生口答，師生合作完成�；仡^比較，總結出規律：
1）建立目標函數。對于目標函數采用的手段有：消元：法一，代入消元轉化成二次函數；如1.3.
法二，參數方程轉化成三角函數；如1.2.3.4
聯(lián)想：數學(xué)表達式的幾何意義，如斜率、距離等。如5
2）找臨界狀態(tài)。如6
【評析】
在教學(xué)中，教師的“導”：需精心創(chuàng )設問(wèn)題情境，組織學(xué)生進(jìn)行生動(dòng)有趣的“活動(dòng)”，留給學(xué)生想象和思維的“空間”，充分揭示獲取知識的思維過(guò)程，使學(xué)生在過(guò)程中“學(xué)會(huì )”并“會(huì )學(xué)”，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，從而得到主體的智力發(fā)展�，F代教育論指出，教育是教師的導引與學(xué)生的知行的統一，教育過(guò)程是師生交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。交往的本質(zhì)屬性是主體性，是動(dòng)態(tài)的表現出來(lái)的主體之間的相互作用、相互交流、相互溝通、相互理解，在這個(gè)過(guò)程中，要消除教師中心和管理中心的傾向，實(shí)現師生互動(dòng)、相互溝通、相互影響、相互補充、從而達到共識、共享、共進(jìn)，這是教學(xué)相長(cháng)的真諦。習題課題目的選擇重組，給師生共同探究提供了一個(gè)平臺，問(wèn)題的設置，有序，遞進(jìn)，通過(guò)探究能夠發(fā)現規律，便于總結歸納，很有一點(diǎn)“潤物無(wú)聲”的教育功效。
實(shí)踐讓我體會(huì )到“一題多問(wèn)”和“一題多變”對數學(xué)問(wèn)題進(jìn)行再加工，再創(chuàng )新，能夠引導學(xué)生思考，便于學(xué)生自主探究，有利于激活學(xué)生思維。同時(shí)也能夠方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維�！耙活}多問(wèn)”和“一題多變”設置問(wèn)題使教師的預設促學(xué)生的生成，使習題課更精彩。
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