《函數的單調性》的說(shuō)課稿
各位專(zhuān)家,評委:
大家好! 我是x號考生陳光倩。我說(shuō)課的內容是普通高中課程標準試驗教科書(shū)數學(xué)必修1
第一章第三節第一課時(shí)《函數的單調性》，下面我將從教材分析、教學(xué)目標、教學(xué)方法、，教學(xué)過(guò)程、學(xué)習評價(jià)五個(gè)方面向大家介紹我對本節課的理解與設計，不妥之處，敬請指教。
一, 教材分析
教材分析主要體現在以下三個(gè)方面：
其一，.教材的地位和作用 。
首先，學(xué)生在初中學(xué)習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象，對增減性有一個(gè)初步的感性認識。本節課進(jìn)一步學(xué)習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個(gè)方面理解單調性的概念。而在高三利用導數為工具研究函數的單調性。所以本節課的學(xué)習,既是初中學(xué)習的延續和深化，又為高二、三學(xué)習不等式、極限、導數等其它數學(xué)知識的學(xué)習奠定基礎，也是解決數學(xué)問(wèn)題的常用工具，也是培養學(xué)生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材。因此本節課具有相當重要的地位和作用。
其二，教學(xué)目標。
新課改的精神在于以學(xué)生發(fā)展為本，能力培養為重。根據數學(xué)課程標準的課程目標、課程要求以及本節課的內容和結構。我確定如下教學(xué)目標：
1.使學(xué)生從形與數兩方面理解函數單調性的概念,初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷,證明函數單調性的方法.
2.通過(guò)對函數單調性定義的探究,滲透數形結合數學(xué)思想方法,培養學(xué)生 觀(guān)察,歸納,抽象的能力和語(yǔ)言表達能力;通過(guò)對函數單調性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力.
3.通過(guò)知識的探究過(guò)程培養學(xué)生細心觀(guān)察,認真分析,嚴謹論證的良好思 維習慣;讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認知過(guò)程.
其三，教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)。
教學(xué)重點(diǎn)，教學(xué)重在教學(xué)過(guò)程，學(xué)生在探索的活動(dòng)過(guò)程中，能夠主動(dòng)認知，建構創(chuàng )造力使學(xué)生潛力得到充分發(fā)揮。所以我認為本節課的教學(xué)重點(diǎn)為函數單調性的概念，判斷、證明函數的單調性。
對單調性直觀(guān)感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數的翻譯,從直觀(guān)到抽象的轉變對高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難.其次,單調性的證明是學(xué)生在函數學(xué)習中首次接觸到的代數論證內容,而學(xué)生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的.因此我認為本節課的叫教學(xué)難點(diǎn)難點(diǎn)是引導學(xué)生歸納并抽象出函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.。
二、教法與學(xué)法分析：
教學(xué)方法，根據教學(xué)內容, 教學(xué)目標和學(xué)生的認知水平, 主要采取教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習的教學(xué)方法，并充分利用現代教學(xué)手段。教學(xué)過(guò)程中,根據教材提供的線(xiàn)索,安排適當的教學(xué)情境,讓學(xué)生展示相應的數學(xué)思維過(guò)程,使學(xué)生有機會(huì )經(jīng)歷數學(xué)概念抽象的各個(gè)階段,引導學(xué)生獨立自主地開(kāi)展思維活動(dòng),深入探究。學(xué)法指導，新課改將以學(xué)生發(fā)展為本，把學(xué)生的主動(dòng)權還給學(xué)生，倡導積極主動(dòng)、用于探索的方式。因此，本節課主要采用動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的學(xué)習方法。通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手做一做、畫(huà)一畫(huà)，讓學(xué)生主動(dòng)獲得知識，從而創(chuàng )造性地解決問(wèn)題,最終形成概念,獲得方法,培養能力。
三 教學(xué)過(guò)程的設計
為達到本節課的教學(xué)目標,突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),我把教學(xué)過(guò)程設計為四個(gè)階段:創(chuàng )設情境,引入課題;歸納探索,形成概念;掌握證法,適當延展;歸納小結,提高認識.具體過(guò)程如下:
(一)創(chuàng )設情境,引入課題
概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括, 只有學(xué)生對學(xué)習對象有了豐富具體經(jīng)驗以后,才能使學(xué)生對學(xué)習對象進(jìn)行主動(dòng)的,充分的理解,因此在本階段的教學(xué)中,我從具體材料——有關(guān)奧運會(huì )天氣的例子，引入函數的單調性。使學(xué)生體會(huì )到研究函數單調性的必要性,同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣和主動(dòng)探究的精神。
在課前,我給學(xué)生布置了兩個(gè)任務(wù):
(1) 由于某種原因,2008 年北京奧運會(huì )開(kāi)幕式時(shí)間由原定的 7 月 25 日推遲 到 8 月 8 日,請查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因.
(2) 通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運會(huì )開(kāi)幕式當天氣溫變化情況.
課上通過(guò)交流,可以了解到開(kāi)幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到 8 月中旬,平均氣溫,平均降雨量和平均降雨天數等均開(kāi)始下降,比較適宜大型國 際體育賽事.
課上我引導學(xué)生觀(guān)察 20xx 年 8 月 8 日的氣溫變化曲線(xiàn)圖,引導學(xué)生體會(huì )在某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低.
然后,我指出生活中我們關(guān)心很多數據的變化,并讓學(xué)生舉出一些實(shí)際例子 (如燃油價(jià)格等). 隨后進(jìn)一步引導學(xué)生歸納:所有這些數據的變化,用函數觀(guān)點(diǎn)看,其實(shí)就是隨著(zhù)自變量的變化,函數值是變大還是變小.
(二)歸納探索,形成概念
在本階段的教學(xué)中, 為使學(xué)生充分感受數學(xué)概念的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程和數形結合的數學(xué)思想,經(jīng)歷觀(guān)察、歸納、抽象的探究過(guò)程,加深對函數單調性的本質(zhì)認識,我設計了三個(gè)環(huán)節,引導學(xué)生分別完成對單調性定義的三次認識.
1. 借助圖象,直觀(guān)感知
本環(huán)節的教學(xué)主要是從學(xué)生的已有認知出發(fā), 即從學(xué)生熟悉的常見(jiàn)函數的圖象出發(fā),直觀(guān)感知函數的單調性,完成對函數單調性定義的第一次認識.
在本環(huán)節的教學(xué)中,我主要設計了兩個(gè)問(wèn)題:
問(wèn)題 1:分別作出函數y?x?2，y??x?2，y?x2以及y?
變量變化時(shí),函數值有什么變化規律?
在學(xué)生畫(huà)圖的基礎上,引導學(xué)生觀(guān)察圖象,獲得信息:第一個(gè)圖象從左向右 逐漸上升,y 隨 x 的增大而增大;第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降,y 隨 x 的增大 而減小.然后讓學(xué)生明確,對于自變量變化時(shí),函數值具有這兩種變化規律的函數,我們分別稱(chēng)為增函數和減函數. 而后兩個(gè)函數圖象的上升與下降要分段說(shuō)明, 通過(guò)討論使學(xué)生明確函數的單調性是對定義域內某個(gè)區間而言的,是函數的局部性質(zhì).
對于概念教學(xué),若學(xué)生能用自己的語(yǔ)言來(lái)表述概念的相關(guān)屬性,則能更好的理解和掌握概念,因此我設計了問(wèn)題
問(wèn)題2:能否根據自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數,減函數?
教學(xué)中,我引導學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述增函數的定義:
如果函數f(x)在某個(gè)區間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數f(x)在某個(gè)區間上隨自變量 x 的增大,y 也越來(lái)越大,我們說(shuō)函數f(x)在該區間上為增函數.
然后讓學(xué)生類(lèi)比描述減函數的定義.至此,學(xué)生對函數單調性就有了一個(gè)直觀(guān)、描述性的認識.
2. 探究規律,理性認識
在此環(huán)節中,我設計了兩個(gè)問(wèn)題,通過(guò)對兩個(gè)問(wèn)題的研究,交流,討論,將 函數的單調性研究從研究函數圖象過(guò)渡到研究函數的解析式, 使學(xué)生對單調性的認識由感性認識上升到理性認識的高度,使學(xué)生完成對概念的第二次認識
問(wèn)題 1:下圖是函數y?x?2
x(x?0) y 的圖象,能說(shuō)出這個(gè)函數分別在哪個(gè)區間為增 函1x的圖像，并且觀(guān)察自
數和減函數嗎? 函數和減函數嗎?
對于問(wèn)題 1,學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置. 通過(guò)討論, 使學(xué)生感受到用函 數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀(guān), 但有時(shí)不夠精確,需要結合解析式進(jìn)行嚴密化,精確化的研究,使學(xué)生體會(huì )到用數量大小關(guān)系嚴格表述函數單調性的必要性, 從而將函數的單調性研究，從研究函數圖象過(guò)渡到研究函數的解析式.
問(wèn)題 2:如何從解析式的角度說(shuō)明f(x)?x2在 [0,+∞ ) 上為增函數?
在前邊的鋪墊下,問(wèn)題 2 是形成單調性概念的關(guān)鍵.在教學(xué)中,我組織學(xué)生 先分組探究,然后全班交流,相互補充,并及時(shí)對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋,評價(jià), 對普遍出現的問(wèn)題組織學(xué)生討論,在辨析中達成共識.
對于問(wèn)題 2,學(xué)生錯誤的回答主要有兩種:
(1)在給定區間內取兩個(gè)數, 例如 1 和 2, 因為12?22,所以f(x)?x2在 [0,+∞) 上為增函數.
(2)仿(1),取很多組驗證均滿(mǎn)足,所以f(x)?x2在 [0,+∞) 上為增函數.
對于這兩種錯誤,我鼓勵學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析.引導學(xué)生明確問(wèn)題的根源是兩個(gè)自變量不可能被窮舉.在充分討論的基礎上,引導學(xué)生從給定的區間內任意取兩個(gè)自變量 x1,x2 ,然后求差比較函數值的大小,從而得到 正確的回答:
任意取0?x1?x2,有x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0, 所以f(x)?x在 [0,+∞ )
為增函數.
這種回答既揭示了單調性的本質(zhì),也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn):(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數值的大小.事實(shí)上,這種回答也給出了證明 單調性的方法,為后續用定義證明其他函數的.單調性做好鋪墊,降低難度.至此, 學(xué)生對函數單調性有了理性的認識.
3. 抽象思維,形成概念
本環(huán)節在前面研究的基礎上,引導學(xué)生歸納,抽象出函數單調性的定義,使學(xué)生經(jīng)歷從特殊
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到一般,從具體到抽象的認知過(guò)程,完成對概念的第三次認識
教學(xué)中,我引導學(xué)生用嚴格的數學(xué)符號語(yǔ)言歸納,抽象增函數的定義,并讓學(xué)生類(lèi)比得到減函數的定義.然后我指導學(xué)生認真閱讀教材中有關(guān)單調性的概念, 對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強調.
同時(shí)我設計了一組判斷題:
判斷題: ①已知函數f(x)?1
x,因為f(?1)?f(2), 所以函數f(x)是增函數 .
�、谌艉瘮礷(x)滿(mǎn)足f(2)?f(3),則函數f(x)在[2,3]上為增函數.
�、廴艉瘮礷(x)在 (1,2] 和(2,3)上均為增函數,則函數f(x)在(1,3)上為增函數. ④ 因為函數f(x)?1
x在(-∞,0)和(0,+∞ )上都是減函數 , 所以f(x)?1
x在(-∞,0)
∪(0,+∞ )上是減函數.
通過(guò)對判斷題的討論,強調三點(diǎn):
�、賳握{性是對定義域內某個(gè)區間而言的, 離開(kāi)了定義域和相應區間就談不上單調性. ②有的函數在整個(gè)定義域內單調(如一次函數), 有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數),有的函數根本沒(méi)有單調區間(如常函數).
�、酆瘮翟诙x域內的兩個(gè)區間 A,B 上都是增(或減)函數,一般不能認為函數在 A ∪ B 上是增(或減)函數.從而加深學(xué)生對定義的理解,完成本階段的教學(xué).
(三)掌握證法,適當延展
本階段的教學(xué)主要是通過(guò)對例題和練習的思考交流,分析講解以及反思小結,使學(xué)生初步掌握根據單調性定義證明函數單調性的方法,同時(shí)引導學(xué)生探究定義的等價(jià)形式,對證明方法做適當延展.
例 證明函數f(x)?x?2
x在(2,??)上是增函數.
在引入導數后,用定義證明單調性的作用已經(jīng)有所降低,我選擇一個(gè)較難的例子,主要是考慮讓學(xué)生對證明過(guò)程中遇到的問(wèn)題有一個(gè)比較深刻的認識.
證明過(guò)程的教學(xué)分為三個(gè)環(huán)節:難點(diǎn)突破,詳細板書(shū),歸納步驟.
1. 難點(diǎn)突破
對于函數單調性的證明, 由于前邊有對函數f(x)?x在[0,+∞)上為增函數的研究作鋪墊, 大部分學(xué)生能完成取值和求差兩個(gè)步驟:
2
證明:任取x1,x2?(2,??), 且x1?x2,
f(x1)?f(x2)?(x1?2x1)?(x2?2x2)，
因此學(xué)生的難點(diǎn)主要是兩個(gè)函數值求差后的變形方向以及變形的程度.問(wèn)題主要集中在兩個(gè)方面:一方面部分學(xué)生不知道如何變形,不敢動(dòng)筆; 另一方面部分學(xué)生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結論.
針對這兩方面的問(wèn)題 ,教學(xué)中,我組織學(xué) 生討論,引導學(xué)生回 顧函數f(x)?x2在
[0,+∞)上為增函數的說(shuō)明過(guò)程,明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導學(xué)生從已有的認知出發(fā),考慮分組分解法, 即把形式相同的項分在一起, 變形后容易找到公因式(x1?x2),提取后即可考慮判斷符號.
2.詳細板書(shū)
在上面分析的基礎上,我對證明過(guò)程進(jìn)行規范,完整的板書(shū),引導學(xué)生注意證明過(guò)程的規范性和嚴謹性,幫助學(xué)生養成良好的學(xué)習習慣.
證明:任取任取x1,x2?(2,??), 且x1?x2, 設元
f(x1)?f(x2)?(x1?2x1)?(x2?2x2
2
x2) 求差 ?(x1?x2)?(2x1?) 變形 ?(x1?x2)?2(x2?x1)x1x2 ?(x1?x2)x2x1?2x1x2 由于x1,x2?(2,??)，得x1x2?2， 斷號
又由x1?x2，得x1?x2?0
于是f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2) 所以，函數f(x)?x?
3.歸納步驟
2x在(2,??)上是增函數。 定論
在板書(shū)的基礎上,我引導學(xué)生歸納利用定義證明函數單調性的方法和步驟 (設元,求差,變形,斷號,定論).通過(guò)對證明過(guò)程的分析,使學(xué)生明確每一步的必要性和目的,特別是第三步,讓學(xué)生明確變形的方法以及變形的程度,幫助學(xué)生掌握方法,提高學(xué)生的推理論證能力. 為了鞏固用定義證明函數單調性的方法,強化解題步驟,形成并提高解題能力,我設計了課堂練習:
證明:函數f(x)?x在 [0,+∞) 上是增函數.
教學(xué)過(guò)程中,我引導學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性.然后,讓學(xué)生嘗試用這種定義等價(jià)形式證明之前的課堂練習.這種方法進(jìn)一步發(fā)展可以得到導數法,為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆.
(四)歸納小結,提高認識
本階段通過(guò)學(xué)習小結進(jìn)行課堂教學(xué)的反饋, 組織和指導學(xué)生歸納知識, 技能, 方法的一般規律,深化對數學(xué)思想方法的認識,為后續學(xué)習打好基礎.
1.學(xué)習小結
在知識層面上,引導學(xué)生回顧函數單調性定義的探究過(guò)程,使學(xué)生對單調性概念的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程有清晰的認識,體會(huì )到數學(xué)概念形成的主要三個(gè)階段:直觀(guān)感受,文字描述和嚴格定義.
在方法層面上,首先引導學(xué)生回顧判斷,證明函數單調性的方法和步驟;然后引導學(xué)生回顧知識探究過(guò)程中用到的思想方法和思維方法,如數形結合,等價(jià) 轉化,類(lèi)比等,重點(diǎn)強調用符號語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)圖形語(yǔ)言,用定量分析來(lái)解釋定性結 果;同時(shí)對學(xué)習過(guò)程作必要的反思,為后續的學(xué)習做好鋪墊.
2.布置作業(yè)
在布置書(shū)面作業(yè)的同時(shí),為了尊重學(xué)生的個(gè)體差異,滿(mǎn)足學(xué)生多樣化的學(xué) 習需要,我設計了探究作業(yè)供學(xué)有余力的同學(xué)課后完成.
(1) 證明 : 函數f(x)在(a, b)上是增函的充要條件是對任意的x.,x?h?(a,b),且h ≠ 0, 有f(x?h)?f(x)
h?0
目的是加深學(xué)生對定義的理解, 而且這種方法進(jìn)一步發(fā)展同樣也可以得到導數法.
(2) 研究函數y?x?1
x(x?0)的單調性,并結合描點(diǎn)法畫(huà)出函數的草圖.
目的是使學(xué)生體會(huì )到利用函數的單調性可以簡(jiǎn)化函數圖象的繪制過(guò)程, 體會(huì )由數到形的
研究方法和引入單調性定義的必要性,加深對數形結合的認識.
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