問(wèn)題變式:結構與功能的統一的論文
摘要：數學(xué)問(wèn)題變式可分為水平變式和垂直變式，問(wèn)題變式本身展示了結構與功能的統一。
關(guān)鍵詞：問(wèn)題變式；結構；功能；認知
本文以數學(xué)問(wèn)題變式為例，論述問(wèn)題變式中結構與功能的統一。
近幾十年來(lái)，數學(xué)學(xué)習中，問(wèn)題受到了很好的注意。但很多研究更多地關(guān)注單個(gè)問(wèn)題，數學(xué)問(wèn)題與數學(xué)問(wèn)題之間的關(guān)系，并未加以應有的關(guān)注。事實(shí)上，學(xué)生往往不是解一道題，而是解幾道題，學(xué)生可能從題題之間不變的關(guān)系中抽象出數學(xué)意義，進(jìn)而把問(wèn)題分類(lèi)，使題目類(lèi)型化。變式教學(xué)是數學(xué)教師十分熟悉的教學(xué)思想、教學(xué)理念，這方面有很多實(shí)踐，可理論研究還很弱。為什么該教學(xué)方法有用？變式教學(xué)的合理之處是什么？本文嘗試以此為“透鏡”，通過(guò)題題之間的結構，透視數學(xué)問(wèn)題變式的功能。
最近，以Marton為首的歐洲學(xué)派的變式學(xué)習理論研究，逐步在香港教育界扎根并開(kāi)花結果。Marton變式學(xué)習理論認為經(jīng)歷事物的方式就是學(xué)習（Marton & Booth，1997）。把“變的部分”和“不變的部分”加以區別，人們所經(jīng)歷的過(guò)程，稱(chēng)為變式學(xué)習。
一、數學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題變式
變式，可以說(shuō)是中國內地“本土化”的實(shí)用教學(xué)經(jīng)驗。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學(xué)時(shí)的一個(gè)小故事談起。一位小學(xué)教師出了一道題：的是多少？當時(shí)大家都不會(huì )做。于是這位教師就說(shuō)：“以后解題，凡看見(jiàn)××××的多少，用除法�？匆�(jiàn)××××是多少，用乘法。所以這道題用乘法�！庇谑俏視�(huì )做這類(lèi)題了，卻根本不懂什么意思。后來(lái)，這位數學(xué)教師繼續上課，他用一串啟發(fā)性的由淺入深的題組（下表），令我豁然開(kāi)朗。這就是問(wèn)題變式。
題目：的倍是多少？
我們一般把將源問(wèn)題加以變化的這些新問(wèn)題，稱(chēng)為變式題。將源問(wèn)題加以變化，稱(chēng)為問(wèn)題變式。
二、數學(xué)問(wèn)題變式的結構
�。ㄒ唬﹩�(wèn)題的兩重特征
每個(gè)數學(xué)問(wèn)題可分解為表面形式特征和深層數學(xué)結構特征。表面形式特征是指問(wèn)題呈現的表述方式的淺層特征；數學(xué)結構特征指涉及問(wèn)題本質(zhì)的概念、關(guān)系與原則等的深層特征。
例如，25個(gè)學(xué)生一起去劃船。大船每條可以坐6人，租金10元；小船每條只可以坐4人，租金8元。應該怎樣租船才付最少的租金呢？要租多少條大船？多少條小船？租金又是多少呢？這個(gè)問(wèn)題的表面特征是問(wèn)題情境的陳述：一系列數字。這些數字，經(jīng)過(guò)調換，可以變化，但是對問(wèn)題的本質(zhì)影響不大。至于這一題目的數學(xué)結構特征則是：題目中涉及人數、大小船數、空位數和錢(qián)數共四個(gè)變量，學(xué)生需要綜合思考四個(gè)變量之間的變化依賴(lài)關(guān)系。
問(wèn)題的表面特征和數學(xué)結構特征彼此相異，又互相補充。數學(xué)結構特征必須通過(guò)表面形式特征來(lái)體現，表面形式特征可以反映數學(xué)結構特征。但是，數學(xué)結構特征反映問(wèn)題“質(zhì)”的方面，處于核心地位。
�。ǘ﹩�(wèn)題變式的兩類(lèi)結構：水平變式和垂直變式
這里，我們提出一種新的分類(lèi)。新問(wèn)題相對源問(wèn)題來(lái)說(shuō)，學(xué)生能區分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結構特征變化，不帶來(lái)認知負荷的變化，為水平變式；學(xué)生不能區分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結構特征變化，帶來(lái)認知負荷的變化，為垂直變式。這里我們把“問(wèn)題解決過(guò)程中，記憶容量和信息加工的負荷，統稱(chēng)為認知負荷（cognition load）。
這樣，可按問(wèn)題結構的變化分成不同的層次（垂直變式），在同一結構層次中，可以分成問(wèn)題表面形式特征不同的變化（水平變式）。一般來(lái)說(shuō)，題目的認知負荷要在學(xué)生可理解的范圍即最近發(fā)展區內。
例如，源問(wèn)題是：2的1倍是多少？變式題1是：2的2倍是多少？
相對源問(wèn)題，變式題1的水平變式部分是：2的幾倍是多少？1倍變?yōu)?倍是變化的新部分，若新部分不帶來(lái)認知負荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。
還可以有變式題2：的2倍是多少？
相對變式題1，變式題2的水平變式部分是：幾的2倍是多少？2變?yōu)槭亲兓男虏糠�，增加了分數概念或小數的概念以及約分的技能的認知負荷。若學(xué)生能區分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結構特征變化，不帶來(lái)認知負荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。這種區分，以學(xué)生的感知為標準。
教學(xué)的關(guān)鍵是化“難”為“易”，化“垂直變式”為學(xué)生容易理解的“水平變式”，化“大變”為學(xué)生容易區分的“小變”，化“質(zhì)變”為“量變”，這是數學(xué)教學(xué)的重要技能。
值得一提的是，水平變式和垂直變式的劃分是相對認知水平而言的。例如，上述問(wèn)題變式對小學(xué)生而言，可能有認知負荷，那么是垂直變式，而對中學(xué)生而言，可能沒(méi)有認知負荷，是水平變式。兩類(lèi)結構的區分主要以有無(wú)認知負荷為標準。
水平變式是問(wèn)題表面重復部分，垂直變式是問(wèn)題表面變化部分，增加了認知負荷，二者圍繞數學(xué)結構“中心軸”發(fā)展，三者（水平部分，垂直部分，數學(xué)結構“中心軸”）形成了螺旋式發(fā)展問(wèn)題空間。變式教學(xué)的精髓就是把認知負荷大的問(wèn)題，分解為認知負荷小的問(wèn)題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進(jìn)，分解水平變式。（這即是中國數學(xué)教學(xué)的傳統策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點(diǎn)”的做法。）
問(wèn)題變式的優(yōu)勢在于“漸”。變式題不同于記憶型題目和高層思維型開(kāi)放題，而是在記憶型題目和高層思維型開(kāi)放題兩個(gè)“極端”之間保持“平衡”，漸漸地增加認知負荷，更注意題與題之間的變化，由水平變式到垂直變式，逐步區分表面形式特征并提取數學(xué)結構的元素，逐步區分題目中的數學(xué)結構的元素，發(fā)現“變中的不變”，同時(shí)培養“以不變應萬(wàn)變”的能力，從量變到質(zhì)變，漸漸領(lǐng)悟，把握數學(xué)教學(xué)的規律（如下頁(yè)圖）。
圖1 問(wèn)題變式結構示意圖
�。ㄈ﹩�(wèn)題變式的意義
表面形式有差異的水平變式仍然有重要的價(jià)值。Marton變式學(xué)習理論認為，經(jīng)驗不斷重復才能形成意義。重復是手段，擴展重復形成意識。第一次經(jīng)歷與第二次經(jīng)歷是互相彌補的。第一次關(guān)注理論描述效度。當第二次經(jīng)歷時(shí)，第一次所經(jīng)歷的方面被放大。第二次的經(jīng)歷“豐富”并“加深”第一次經(jīng)歷的各個(gè)方面。經(jīng)歷者與經(jīng)驗的關(guān)系只有第二次才能看到。第一次是第二次的基礎，每次焦點(diǎn)不同，強調的方面也不同。學(xué)習經(jīng)驗的兩個(gè)維度是直接維度（內容）和間接維度（方法）。學(xué)習是經(jīng)驗的“回歸”方式，重復是手段，重復的意義在于保持某些方面變而其他方面不變，強調內容不變的某些方面，使其他在邊緣的東西，慢慢淡化，突出主要因素，慢慢形成結構。
水平變式題雖然只是解題技能的簡(jiǎn)單重復，但量變是質(zhì)變的基礎，學(xué)生通過(guò)表面形式特征的重復，才能慢慢形成問(wèn)題的.圖式，進(jìn)而成為問(wèn)題解決的基礎。
當然，沒(méi)有垂直變式題，只有水平變式是不行的。數學(xué)學(xué)習停留于淺層的學(xué)習是經(jīng)驗的淺層“回歸”方式，不會(huì )實(shí)現深層意義的“回歸”和深層結構的“回歸”。按照Sfard（1991）數學(xué)概念的二重性分析，沒(méi)有垂直變式題，只有水平變式，數學(xué)學(xué)習不能到達內化和濃縮化階段，僅停留于過(guò)程性理解，難以生成概念性理解，難以生成抽象化和高層數學(xué)理解。
三、數學(xué)問(wèn)題變式的功能：“概念與過(guò)程”
數學(xué)學(xué)習往往要經(jīng)歷“過(guò)程”達成，然后轉化為“概念”（對象）的認知過(guò)程（Sfard,1991；鮑建生，等，2003）。從這個(gè)意義上，問(wèn)題變式也不可避免地扮演過(guò)程的操作性和概念的結構性?xún)芍亟巧�，鮑建生等（2003）把變式分為“概念性變式與過(guò)程性變式”正基于這種考慮。
教學(xué)上，問(wèn)題變式不要無(wú)的放矢，為變而變，變式題設計總是圍繞數學(xué)概念的元素和關(guān)系，分別設計區別該元素的題組，圍繞“期望達成的概念和程序”而設計“問(wèn)題變式題組”。變式問(wèn)題，包含雙重目的：概念與過(guò)程，即建構概念和技能與發(fā)展思維過(guò)程，也就是兼顧“內容和過(guò)程”，兼顧數學(xué)知識基礎到高層次思維能力。
例如，我們通過(guò)這樣的題目：“2個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”“4個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”“6個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”，學(xué)習除法概念和除法運算程序。
而通過(guò)題組：“1個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”“1個(gè)蘋(píng)果，3個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”“2個(gè)蘋(píng)果，3個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”，同時(shí)學(xué)習分數概念和除法運算程序。
而兩者結合，題組：“個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”“個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”“個(gè)蘋(píng)果，2個(gè)人分，每個(gè)人分多少個(gè)”，則圍繞分數除法的概念和分數除法的運算程序，設計新的變式題組。而對于分數除法的概念和運算程序建立，是以“除法概念”和“分數概念”及“除法運算”和“分數運算”為基礎的。
事實(shí)上，這組題目顯示了發(fā)展概念和培養過(guò)程的相輔相成，具有概念與過(guò)程雙重性。
因此，問(wèn)題變式的發(fā)展，是為了概念發(fā)展的螺旋式改變而設計，通過(guò)“結構”問(wèn)題產(chǎn)生認知“功能”，達成教學(xué)“目標”。發(fā)展數學(xué)認知結構的概念和過(guò)程的關(guān)系如下圖所示。
圖2 問(wèn)題變式的雙重目的：概念與過(guò)程關(guān)系圖示
四、問(wèn)題變式：結構與功能的統一
在學(xué)習者眼中，變式題包含的概念（數學(xué)結構）是源題目的重復，是再認（重復性）題目，認知的功能是“鞏固”，否則，垂直變式不能區分題目包含的數學(xué)概念和關(guān)系（數學(xué)結構），即增加了新的認知元素，必須區分題目的認知負荷。在學(xué)習者眼中，是發(fā)展性題目，認知的功能扮演“發(fā)展”的角色。問(wèn)題變式本身展示了結構與功能的統一。我們以一個(gè)例子加以說(shuō)明。
源問(wèn)題：x2+5x+6
變式題組一：
變式子問(wèn)題1：x2+6x+8
變式子問(wèn)題2：y2+5y+6
變式子問(wèn)題3：x2+10x+16
變式題組二：
a,b取何值時(shí)可使下列各式因式分解
變式子問(wèn)題1：x2+ax+6
變式子問(wèn)題2：x2+5x+b
變式子問(wèn)題3：x2+ax+b
變式子問(wèn)題4：x3+ax+b
變式子問(wèn)題5：xn+ax+b
根據一般初二學(xué)生的認知水平，變式題組一為水平變式題，變式題組二為垂直變式題①。學(xué)生的認知過(guò)程可以作以下的描述。
1.源問(wèn)題提供了問(wèn)題解決的正確圖式。其中包括與學(xué)習有關(guān)的關(guān)鍵成分：規則功能、適用條件，以及在具體情境中的操作過(guò)程。學(xué)生從源問(wèn)題x2+5x+6獲得十字相乘法的規則和圖式認識。
2.對于可以用十字相乘法的數學(xué)結構，引出一系列的水平變式“子問(wèn)題”。經(jīng)過(guò)表面相似問(wèn)題的解決，學(xué)習者就可能會(huì )形成一種心理定勢，建立起十字相乘法的數學(xué)結構，突破源問(wèn)題數字和字母的限制。
3.接著(zhù)，通過(guò)垂直變式題x2+ax+6，發(fā)展原來(lái)的數學(xué)結構，建立新數學(xué)結構。對于新問(wèn)題x2+ax+6，學(xué)生開(kāi)始反思x2+5x+6=(x+2)(x+3)中x2+5x+6系數5和6與2和3的關(guān)系，逐步擺脫例題表面內容（系數5和6）的制約，由表層結構特征過(guò)渡到數學(xué)結構特征，突破系數的限制，認識到等號左側一次項系數與等號右側一次項系數的一一對應關(guān)系即a=2+3。
4.同理，通過(guò)垂直變式題x2+5x+b會(huì )努力地對問(wèn)題表面特征（系數5和6）的變化進(jìn)行自我解釋?zhuān)鸩綌[脫例題表面內容（系數5和6）的制約，突破系數的限制，認識到等號左側常數項與等號右側常數項的一一對應關(guān)系即b=2×3［化為x2+5x+b=(x+2)(x+3)］。
5.發(fā)展高層次的結構：韋達定理，隨即乘勝追擊，推廣到于三次、四次方程，進(jìn)一步n次方程的情形。
問(wèn)題變式的核心是數學(xué)結構的學(xué)習。它逐步增加認知負荷，逐步驅動(dòng)高層的數學(xué)思維，逐步由表層類(lèi)比（數字和字母的變化）向結構類(lèi)比（因式分解的一般規則）轉化。它增加了深層策略，把原來(lái)的程序知識轉化為策略知識，由表層學(xué)習向結構學(xué)習轉化，逐步增加輸出深層結構的學(xué)習結果，逐步增加對數學(xué)本質(zhì)的深層體會(huì )，逐步增加對深層數學(xué)價(jià)值的體會(huì )，使數學(xué)學(xué)習由起點(diǎn)（例題）到終點(diǎn)（垂直變式題）深層經(jīng)歷。
五、問(wèn)題變式的問(wèn)題解決過(guò)程理論小結
綜上所述，變式本身是對問(wèn)題結構的學(xué)習。水平變式題建立覆蓋所有正例并排除所有反例的一般描述的數學(xué)結構，垂直變式是條件認知的較深層次的加工，它抽取問(wèn)題表面特征以外的結構特征，不會(huì )受阻于問(wèn)題的表面特征，構成題目的“結構骨架”。學(xué)習者由水平變式題到垂直變式題的解答，建立題目的數學(xué)結構，逐步由表層區分過(guò)渡到結構區分。水平變式是垂直變式的基礎，垂直變式是水平變式的必然發(fā)展，二者互相依存，互為補充。
欲從水平變式“過(guò)渡到”垂直變式，關(guān)鍵要把握認知負荷的問(wèn)題，認知負荷太大或太小，不會(huì )從水平變式“過(guò)渡到”垂直變式，好的課程設計要使題目的難度在學(xué)生的最近發(fā)展區內，變化題目的表面形式特征，同時(shí)控制不變的數學(xué)結構，最終讓學(xué)生掌握“變中的不變”，培養“以不變應萬(wàn)變”的本領(lǐng)。在不斷“區分”中，學(xué)習數學(xué)的“思維”，促進(jìn)“表層學(xué)習向深層學(xué)習”方式的培養。課程論和方法論是不可分割的一個(gè)整體，從“結構”到“建構”，形成整體“結構”，才會(huì )產(chǎn)生整體“功能”。當然，變式的“度”至關(guān)重要，變的“度”太小，成了題海戰術(shù)，變的“度”太大，又跳到另一個(gè)極端，學(xué)生不能掌控，產(chǎn)生失敗感，同樣不能產(chǎn)生高層次思維，不能產(chǎn)生認知“功能”。
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