初中數學(xué)概念PCK內涵解析與實(shí)施方法論文
摘 要：教學(xué)實(shí)踐表明，課堂教學(xué)的有效性離不開(kāi)教師的引導，教師引導的有效性決定于教師的專(zhuān)業(yè)水平。根據初中數學(xué)概念教學(xué)的地位和特點(diǎn)，結合 PCK 內涵的四個(gè)組成部分進(jìn)行數學(xué)概念的 PCK 內涵解析，能幫助教師深刻理解概念本質(zhì)、認識概念教學(xué)的學(xué)科教育價(jià)值，能夠理解學(xué)生的經(jīng)驗與困難，可以進(jìn)一步闡釋概念的本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)素養，設計恰當的教學(xué)策略，可以提升概念教學(xué)的有效性。
關(guān)鍵詞：初中數學(xué)概念教學(xué)；PCK 內涵解析；數學(xué)概念 PCK 內涵。
一、初中數學(xué)概念教學(xué)的意義及一般方法。
�。ㄒ唬┏踔袛祵W(xué)概念教學(xué)的意義。
概念是事物本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是思維的基本形式之一，是進(jìn)行判斷和推理的基礎。數學(xué)概念是反映數學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，是形成數學(xué)知識體系的基礎，是數學(xué)思想方法的重要載體。而數學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于讓學(xué)生掌握數學(xué)概念本身，更重要的是在獲得概念本質(zhì)屬性的過(guò)程中，通過(guò)觀(guān)察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的推理能力、抽象思維，體會(huì )數學(xué)的思想方法，促進(jìn)學(xué)生的數學(xué)學(xué)科素養的發(fā)展。因此，數學(xué)概念的教學(xué)對數學(xué)學(xué)科和學(xué)生發(fā)展都有重要的意義。
�。ǘ┏踔袛祵W(xué)概念教學(xué)的一般方法。
在初中數學(xué)課程中，概念眾多，南京師范學(xué)院的章飛教授就概念教學(xué)實(shí)施的角度，將概念分成 3 類(lèi)（對象性概念、度量性概念、觀(guān)念性概念），其中的對象性概念是教學(xué)的重點(diǎn)之一。對象即數學(xué)的研究對象，如各種數、各種式、各種圖形的概念。概念教學(xué)的過(guò)程一般要經(jīng)歷：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的獲得（揭示概念本質(zhì)屬性的過(guò)程）；三是概念的鞏固與運用（了解概念的運用，在運用中進(jìn)一步理解、鞏固概念）三個(gè)過(guò)程。其中概念的獲得最重要，它主要有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成（具體見(jiàn)圖 1、圖 2）。
從圖中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通過(guò)教師的講解、解釋?zhuān)瑢W(xué)生逐步明確概念的內涵；通過(guò)運用變式的材料和例證，學(xué)生明確概念的外延�！案拍畹男纬伞笔墙�(jīng)歷對具體特殊實(shí)例的特征的歸納、類(lèi)比，檢驗后明確概念的本質(zhì)屬性；給出定義并用常用的形式符號表示概念。這就要求學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)對概念本質(zhì)屬性的抽象過(guò)程，在此過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的抽象思維、推理能力、符號意識、模型思想等，并使學(xué)生逐步形成數學(xué)的學(xué)科觀(guān)念。
可見(jiàn)，不管采用哪種方式，教師都必須準確、深刻地理解概念的本質(zhì)屬性，了解概念的內涵外延，有清晰、完整的概念結構體系。同時(shí)，要了解不同概念適用哪種概念獲得的方式。這就依靠教師對概念本身的理解，并設計出有效的概念教學(xué)策略。如果教師對概念本質(zhì)屬性的理解有偏差，對概念體系的認識不完整，對概念承載的數學(xué)教育價(jià)值不明確，那么，不論采取了怎樣的課堂模式和教學(xué)策略，都不能夠達成概念教學(xué)應有的目標，也就不能體現概念教學(xué)的意義。
二、進(jìn)行初中數學(xué)概念 PCK 內涵解析的作用。
�。ㄒ唬┻\用 PCK 內涵解析進(jìn)行概念教學(xué)可以進(jìn)一步闡釋概念的本質(zhì)屬性。
經(jīng)過(guò)十多年的新課程改革實(shí)驗，《義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011 年版）》倡導的教學(xué)理念已經(jīng)逐步轉化為教學(xué)行為，在概念教學(xué)中，教師一般都能讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，很少出現“一個(gè)定義、幾項注意”的概念教學(xué)方式。但是，在“引導學(xué)生探究概念本質(zhì)屬性”的過(guò)程中，卻屢屢出現對本質(zhì)屬性理解不準確的問(wèn)題。尤其是，初中數學(xué)教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發(fā)生式定義”方式給出的，其定義并沒(méi)有揭示了概念的本質(zhì)屬性。在這些概念的教學(xué)中，教師就更容易出現將“形式化定義”作為概念本質(zhì)屬性的現象，在課堂上反復進(jìn)行針對定義的辨析，而忽略引導學(xué)生體會(huì )概念所蘊含的豐富的問(wèn)題情境、思想方法，使概念教學(xué)缺少了應有的教育價(jià)值。這樣，既不能使學(xué)生深刻理解概念，也不能通過(guò)概念教學(xué)的過(guò)程發(fā)展學(xué)生的數學(xué)能力。例如，在“方程概念”的教學(xué)中，有些教師認為“方程”概念的本質(zhì)屬性是“含有未知數的等式”,由此可見(jiàn)，在課堂上讓學(xué)生大量進(jìn)行“判定下列各式是不是方程”的訓練，使方程概念的教學(xué)成為辨析形式化定義的刻板過(guò)程，不能體現方程概念的教育價(jià)值。其實(shí)“方程是刻畫(huà)現實(shí)世界數量關(guān)系的有效模型”,其本質(zhì)是：建立已知、未知之間的聯(lián)系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問(wèn)題“.在方程概念的學(xué)習中，學(xué)生應經(jīng)歷”用方程刻畫(huà)不同情境中的等量關(guān)系的過(guò)程“,抽象出”本質(zhì)屬性“,并體會(huì )”方程是刻畫(huà)現實(shí)世界數量關(guān)系的重要模型“這一思想，以發(fā)展學(xué)生的抽象思維和模型思想，體現數學(xué)學(xué)科概念教學(xué)的價(jià)值。
�。ǘ┻M(jìn)行初中數學(xué)概念 PCK 內涵解析可以有效發(fā)展學(xué)生的數學(xué)素養。
正確理解概念的本質(zhì)特征是教師進(jìn)行數學(xué)概念教學(xué)的必要前提，是通過(guò)概念教學(xué)發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養、體現概念教育價(jià)值的保證。那么，在概念教學(xué)中怎樣才能避免出現以上問(wèn)題，從而體現概念教學(xué)的價(jià)值呢？
如二次函數概念的學(xué)習，有利于發(fā)展學(xué)生”數學(xué)抽象“的核心素養，發(fā)展符號意識。抽象是數學(xué)最本質(zhì)的特征之一，也是數學(xué)最基本的思想之一。在二次函數概念教學(xué)時(shí)，學(xué)生將經(jīng)歷從豐富的實(shí)際問(wèn)題中建立出函數關(guān)系式，然后分析所得到的函數關(guān)系的特點(diǎn)，抽象出共性特征，從而建立二次函數的'概念。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生最主要的思維活動(dòng)就是”抽象“,因此，合理設計二次函數概念的教學(xué)將有利于發(fā)展學(xué)生”數學(xué)抽象“的核心素養，同時(shí)在建立二次函數一般形式的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的符號意識。
再如，二次函數概念的教學(xué)，有利于發(fā)展學(xué)生”數學(xué)建�！暗暮诵乃仞B，體會(huì )數學(xué)應用的廣泛性。二次函數在軍事、體育、物理、心理、建筑等現實(shí)世界中都有廣泛應用，是一種重要的”數學(xué)模型“.在二次函數概念的學(xué)習中，學(xué)生需要分析不同情境中變量關(guān)系與變化規律，建立變量之間的函數關(guān)系式，這個(gè)過(guò)程就是”建�！�.
二次函數概念教學(xué)這一重要概念的教育價(jià)值還體現在”過(guò)程與方法“層面。對于學(xué)生而言，獲得二次函數概念的過(guò)程是”從特殊到一般再到特殊“的認識事物的過(guò)程，而二次函數所刻畫(huà)的問(wèn)題的復雜性，更實(shí)現了學(xué)生研究函數問(wèn)題經(jīng)驗與方法的進(jìn)一步的積累與提升。
由引可見(jiàn)，對一個(gè)概念的”P(pán)CK 內涵“作透徹解析，可以幫助教師深入理解所教概念的本質(zhì)，了解這一概念與其他內容的聯(lián)系，獲得概念教學(xué)目標中的知識技能目標。能夠幫助教師理解數學(xué)內容蘊含的數學(xué)思想方法、使學(xué)生在學(xué)習該知識的過(guò)程中能夠發(fā)展其數學(xué)素養、形成學(xué)科觀(guān)念。
三、初中數學(xué)概念 PCK 內涵解析的認識與實(shí)施的方法。
�。ㄒ唬㏄CK 內涵解析的認識。
PCK 即學(xué)科教學(xué)知識，是 Pedagogical ContentKnowledge 的簡(jiǎn)稱(chēng)，1986 年由美國的舒爾曼教授最先提出，將其定義為”特定教學(xué)內容與教學(xué)法的整合與轉換，是教師獨特的知識領(lǐng)域，是他們專(zhuān)業(yè)理解的特殊形式“.通俗地說(shuō)，就是”使人易于懂得該學(xué)科內容的表達和闡述方式“.
1990 年，格羅茲曼作為舒爾曼理論的繼承者，將PCK 內涵分成四個(gè)部解：一是教師關(guān)于一門(mén)學(xué)科教學(xué)目的的統領(lǐng)性觀(guān)念---關(guān)于學(xué)科性質(zhì)的知識、關(guān)于學(xué)生學(xué)習哪些重要內容的知識或觀(guān)念；二是關(guān)于學(xué)生對某一課題理解和誤解的知識；三是關(guān)于課程和教材的知識，它主要指關(guān)于教材和其他可用于特定主題教學(xué)的各種教學(xué)媒體和材料的知識，還包括學(xué)科內容與其他知識之間的橫向和縱向聯(lián)系的結構的知識；四是特定主題教學(xué)策略和表征的知識。
�。ǘ┏踔袛祵W(xué)概念 PCK 內涵解析的方法。
根據 PCK 內涵的四個(gè)方面，結合數學(xué)概念教學(xué)的一般過(guò)程，進(jìn)行數學(xué)概念 PCK 內涵解析的具體步驟如下：一是解析數學(xué)概念的本質(zhì)屬性及教育價(jià)值；二是解析概念與其他概念的聯(lián)系；三是解析學(xué)生學(xué)習概念的經(jīng)驗與困惑；在三項解析的基礎上，設計概念教學(xué)的策略，概念教學(xué)解析的作用在于，解析對確定教學(xué)目標、設計教學(xué)策略有決定性的作用，解析準確透徹，目標會(huì )具體明確，策略也就具有針對性。
1.解析數學(xué)概念的特征。
首先，要解析數學(xué)概念的內涵，即要指出”概念的內涵（本質(zhì)屬性）、外延、定義、數學(xué)符號表示（圖形）、概念的作用“;這項分析能夠使教師明確概念對應的”知識技能教學(xué)目標“.其次，要解析概念的教育價(jià)值，即要指出”概念蘊含的數學(xué)思想方法、獲得概念的過(guò)程中能夠發(fā)展的數學(xué)能力、形成的學(xué)科觀(guān)念、發(fā)展的學(xué)科基本素養；這項分析能夠使教師獲得本概念對應的“過(guò)程性教學(xué)目標”.再次，要明確《義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011 年版）》對此概念的要求，分解出課程標準要求的概念的各要素及其應達到的水平，然后寫(xiě)出概念教學(xué)的三維教學(xué)目標。解析概念的本質(zhì)屬性和教育價(jià)值，決定了本節教學(xué)目標的確定，實(shí)質(zhì)上，也就決定了教學(xué)策略的選擇與設計的方向。
例如，反比例函數的概念教學(xué)中，反比例函數的定義是形式化定義：“一般地，若兩個(gè)變量 x、y 之間的對應關(guān)系可以表示成 y=kx（k 是常數，k≠0）的形式，則稱(chēng) y 是 x 的反比例函數”.顯然，定義是對其函數關(guān)系式的一般特征的描述，只是反比例函數概念描述的兩個(gè)變量變化規律：在變化的過(guò)程中，兩個(gè)變量 x,y 的乘積一定，即 xy=k.正因為其兩個(gè)變量乘積一定的本質(zhì)，才使得其具有 y=kx的形式。其外延是：一切具有 y=kx（k≠0）形式的函數或一切具有乘積一定的變量關(guān)系的函數是反比例函數。其數學(xué)符號表示可以有三種形式：表達式、圖象和表格；其作用是：分析現實(shí)情境中的數量關(guān)系，建立反比例函數模型后，利用反比例函數的表達式和圖象、性質(zhì)可以解決相應的實(shí)際問(wèn)題。
反比例函數概念的教育價(jià)值是要抽象出反比例函數概念的本質(zhì)屬性，其教學(xué)的過(guò)程應該是從情境出發(fā)，抽象模型。抽象分兩個(gè)角度，一是用表達式描述各個(gè)情境中的變量關(guān)系，從表達式的共同特征獲得 y=kx的形式特征；二是用表格表示各個(gè)情境中的變量關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì )變量之間乘積一定的相依變化關(guān)系。在這樣的學(xué)習過(guò)程中，教師應注意發(fā)展學(xué)生的分析能力和符號意識；同時(shí)，要對不同情境下的變量關(guān)系（表格和表達式）進(jìn)行觀(guān)察、比較、分析、歸納。反比例函數是一個(gè)觀(guān)念性概念，建立概念的過(guò)程，也是讓學(xué)生形成觀(guān)念的過(guò)程，即在研究問(wèn)題中分析出具有兩個(gè)變量乘積一定的規律時(shí)，就能夠有建立反比例函數模型的意識和觀(guān)念，并借此解決實(shí)際問(wèn)題。
《義務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011 年版）》對反比例函數概念的要求是：“結合具體情境體會(huì )反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式”.這一要求與概念內涵解析的結果具有一致性：反比例函數的意義即概念的本質(zhì)，包括表達式和變化規律；要求在“具體情境中體會(huì )”就要有抽象本質(zhì)、建立模型的過(guò)程，確定反比例函數的表達式則是在理解概念基礎上的技能�；谏鲜龇治�，可以確定反比例函數概念的教學(xué)目標是：經(jīng)歷從現實(shí)情境中抽象反比例函數概念的過(guò)程，體會(huì )反比例函數所描述的變化規律，能說(shuō)出反比例函數的定義并能確定其表達式；在抽象反比例函數概念的過(guò)程中，發(fā)展符號意識、推理能力和抽象思維，體會(huì )數學(xué)建模的必要性。反比例函數概念教學(xué)的主干思路是提供問(wèn)題情境，讓學(xué)生用表達式和表格兩種形式表示其中的變量關(guān)系---對兩種形式表示的變量關(guān)系進(jìn)行觀(guān)察、比較、分析，歸納其共同特征，抽象概念的本質(zhì)（表達式和乘積一定的變化規律），得到其形式化定義，明晰概念---進(jìn)行概念辨析、舉出概念的正例和反例---確定表達式。
反比例函數概念的教學(xué)策略是：設置三個(gè)貼近學(xué)生生源的問(wèn)題情境，并讓學(xué)生分析這些問(wèn)題情境。讓學(xué)生用表格表示問(wèn)題情境中的變量關(guān)系，然后回答以下問(wèn)題：
�。�1）兩個(gè)變量的關(guān)系是不是函數關(guān)系？
�。�2）當自變量均值變化時(shí)，因變量是否呈現均值變化的規律？因變量隨自變量的變化有什么規律？
�。�3）用表達式表示兩個(gè)變量的關(guān)系。之后，教師要幫助學(xué)生抽象概念的本質(zhì)屬性，引發(fā)學(xué)生思考：
�。�1）以上三個(gè)問(wèn)題情境中，變量的變化規律有什么特征？
�。�2）它們的表達式在形式上有什么共同特征？
在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在問(wèn)題的引導下經(jīng)歷“問(wèn)題情境 - 建立模型-解釋、應用”的過(guò)程，發(fā)展抽象思維與推理能力，體會(huì )模型思想。
2.解析概念與其他概念的聯(lián)系。
解析概念與其他概念的聯(lián)系時(shí)，一是要分析概念所在的概念體系，明確地畫(huà)出概念體系結構圖；二是要分析此概念與其他概念間的橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系及其研究方法之間的關(guān)系。這一分析過(guò)程，為設計教學(xué)策略提供重要的依據，尤其是在“引入”概念這個(gè)環(huán)節中，分析能夠讓學(xué)生體會(huì )研究新概念的必要性，并獲得研究思路。
例如，因式分解的概念與其他概念聯(lián)系解析如下：
橫向聯(lián)系：因式分解是將多項式化成整式的乘積形式，是研究分式的化簡(jiǎn)、運算的工具，在分式的通分、約分中，常常需要把分子、分母中的多項式化成乘積形式，以便運用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。
縱向聯(lián)系：從小學(xué)階段的分解質(zhì)因數到初中階段的分解因式。小學(xué)學(xué)過(guò)的分解質(zhì)因數與初中的分解因式具有類(lèi)似的作用，前者是為了研究分數的通分、約分，需要把一個(gè)整數化成幾個(gè)因數的乘積形式；而后者是為了研究分式的通分、約分，需要把一個(gè)整式化成積的形式，反映出從“數”到“式”的發(fā)展過(guò)程。
根據上述分析，在引入“因數分解”的概念時(shí)，可以采用從“數”到“式”的類(lèi)比，指出引入“因式分解”的概念的必要性，促進(jìn)概念的形成。
3.解析學(xué)生學(xué)習概念的難點(diǎn)。
教師要突破概念學(xué)習的難點(diǎn)解析學(xué)生學(xué)習概念的經(jīng)驗與困惑時(shí)，這個(gè)解析越具體、越有價(jià)值。具體的分析能夠“突破難點(diǎn)”具有很強的針對性，有利于促進(jìn)目標的達成。
例如：學(xué)習反比例函數概念的經(jīng)驗與困惑分析。
經(jīng)驗：學(xué)生在學(xué)習“變量之間的關(guān)系”時(shí)，通過(guò)大量實(shí)例體會(huì )變量之間的關(guān)系，并會(huì )用表格、圖象、表達式表示變量間的關(guān)系；能理解用符號（表格、圖象、表達式）表示的變量關(guān)系，并借助這些符號研究變量變化的對應關(guān)系和變化趨勢；通過(guò)一次函數概念的學(xué)習，積累了探究一次函數概念時(shí)，既關(guān)注抽象表達式的共同特征，又注重用表格體會(huì )變量間均值變化的規律的活動(dòng)經(jīng)驗，有助于抽象反比例函數的概念。
困惑：首先，學(xué)生容易發(fā)現表達式具有的共同特征，但不容易理解“兩個(gè)變量的乘積一定”的變化規律；其次，在抽象出函數概念本質(zhì)時(shí)，提供的現實(shí)情境往往會(huì )讓學(xué)生認為“一個(gè)變量增大而另一個(gè)變量減小”是反比例函數的本質(zhì)屬性，因此排除這一非本質(zhì)屬性是學(xué)生認識的一個(gè)難點(diǎn)�；谏鲜龇治鲈O計的教學(xué)策略是：
對第一個(gè)困惑，前文已給出具體的策略。即設計幾個(gè)問(wèn)題情境，通過(guò)用表格表示變量關(guān)系，讓學(xué)生在觀(guān)察、分析中體會(huì )“乘積型”的變化規律，然后抽象表達式的共同特征，可以獲得概念本質(zhì)，這里用“表格”來(lái)表征問(wèn)題情境中兩個(gè)變量的關(guān)系，最關(guān)鍵的策略。
對于學(xué)生認為“一個(gè)變量總隨著(zhù)另一個(gè)變量增大而減小”是反比例函數本質(zhì)屬性的問(wèn)題，可以給出一個(gè)y 隨 x 的增大的反比例函數如下表。
讓學(xué)生思考：以上變量 y 隨 x 的增大怎樣變化？這個(gè)例子可以讓學(xué)生體會(huì )：當 x 從 -5 到 -1 的不斷增大的過(guò)程中，y 也從4/5到 4 在不斷地增大，即比例中的 y并不是隨著(zhù) x 的增大而減小，其本質(zhì)是“x 與 y 的乘積不變”,這樣，學(xué)生就能排除“反比例函數是一個(gè)變量隨著(zhù)另一個(gè)變量的增大而減小”這一非本質(zhì)屬性，獲得概念的本質(zhì)：兩個(gè)變量的乘積一定。
由此可見(jiàn)，在概念學(xué)習中，對學(xué)生困難的具體分析，是獲得突破難點(diǎn)的教學(xué)策略的重要依據。
教學(xué)策略設計與前三項分析有良好的針對性，概念形成方式的選擇也決定于前三項分析的結果。其中，第一項分析---概念本質(zhì)屬性和教育價(jià)值分分析，是PCK 內涵分析的核心，這一分析決定了概念教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，給出了概念教學(xué)的方向，基本決定了獲得概念的方式，也在很大程度上決定了概念教學(xué)的過(guò)程能否體現這個(gè)概念承載的學(xué)科素養的發(fā)展和知識技能的落實(shí)，對整節課的教學(xué)效果有著(zhù)決定性的意義。第二項分析---概念的前后聯(lián)系的分析，能幫助教師體會(huì )引入概念的必要性，能讓教師看到概念結構體系，從而設計幫助學(xué)生獲得概念體系的策略，對概念的理解鞏固有重要意義。第三項分析---學(xué)生學(xué)習概念的經(jīng)驗和困惑的分析，則能幫助教師有針對性地設計突破難點(diǎn)的教學(xué)策略，使得教學(xué)具有明顯的針對性，對提高課堂的有效性有不可低估的作用。
總之，在概念教學(xué)設計時(shí)，對數學(xué)概念進(jìn)行深刻的PCK 內涵解析，是提高概念教學(xué)的有效性，使學(xué)生在概念學(xué)習中能夠提高分析能力、發(fā)展學(xué)科素養的一個(gè)有效措施，值得我們進(jìn)一步研究。
參考文獻：
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