在鏟斗鏟裝過(guò)程中對滿(mǎn)斗率的數學(xué)模型的探討論文

　　1關(guān)于鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型所提出的假設

　　工程問(wèn)題到數學(xué)問(wèn)題的轉變不可避免地涉及到部分條件的假設，以保證對物理過(guò)程進(jìn)行定性描述的數學(xué)方程的精簡(jiǎn)性，提出的假設要求必須對所研究的目標物理參數影響小。提出假設是為研究問(wèn)題方便而做的工作準備，同時(shí)能提高求解智能裝載機器人裝載效率最優(yōu)解時(shí)的代碼執行效率。對本研究所建立的數學(xué)模型作出以下假設。(1)物料的濕度較低，物料自身的黏著(zhù)系數對滿(mǎn)斗率影響很小。(2)鏟斗鏟入料堆過(guò)程中所受的阻力對滿(mǎn)斗率無(wú)影響。(3)鏟斗鏟入料堆時(shí)為水平鏟入，且物料堆體積足夠大，物料平均塊度不能大于 10 mm。(4)鏟斗在提升過(guò)程中可被鏟斗影響的物料能全部落入鏟斗的空斗區域。

　　2 裝載機鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型

　　2. 1 裝載機裝載過(guò)程分析

　　裝載機鏟斗鏟裝物料過(guò)程中受力復雜，但是鏟裝的主要能耗集中在克服鏟斗鏟入阻力以及物料提升2 個(gè)階段，其中克服鏟斗鏟入阻力做功主要是將鏟斗前刃鏟入物料中，此時(shí)鏟斗內的物料為主動(dòng)填充物料，鏟斗的滿(mǎn)斗率大小和鏟斗鏟入物料的深度有很大的關(guān)系。鏟斗鏟入物料的過(guò)程是劇烈能耗的過(guò)程，由于裝載機本身功率大小的限制，通常在鏟斗鏟入一定深度后裝載機整車(chē)速度會(huì )降低為 0，此時(shí)裝載機無(wú)法繼續前行鏟挖，因此鏟入深度是一個(gè)限制裝載機性能的重要參數。裝載機鏟斗鏟入深度的大小受鏟挖物料種類(lèi)的影響，低密度堆積物料的鏟斗鏟入深度要更大，高密度堆積物料的鏟斗鏟入深度更小。鏟斗在完成主動(dòng)填充物料之后就是鏟斗提升階段，此階段進(jìn)一步使部分可被鏟斗影響的鏟斗外物料旋轉落入鏟斗內，對滿(mǎn)斗率起著(zhù)至關(guān)重要的作用，此時(shí)落入的物料填充的區域為鏟斗作業(yè)時(shí)的空斗區域。

　　2. 2 鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型

　　鏟斗鏟裝物料的多少等于鏟斗在完成水平鏟入物料后已經(jīng)入斗的物料量加上隨后鏟斗上升時(shí)影響并落入鏟斗的物料量之和。為建立裝入物料的數學(xué)模型，需要先以鏟斗側面的中間面為模型面，建立一個(gè)笛卡爾坐標系，坐標系原點(diǎn)取鏟斗側面的中間面上鏟斗鏟入物料堆的鏟入點(diǎn)，在鏟入物料的過(guò)程中，鏟斗為運動(dòng)件，物料相對靜止。

　　當鏟入深度 d=0 mm 時(shí)，鏟斗與物料堆的相對位置。隨著(zhù)鏟裝作業(yè)的進(jìn)行，f 1 為鏟斗底面曲線(xiàn)函數，f 2 為鏟斗斗面函數，f 3 為料堆中間面的物料堆的外形函數，鏟裝時(shí)鏟斗運動(dòng)，即 f 1 、f 2 發(fā)生移動(dòng)。圖 1 鏟裝過(guò)程的坐標系建立Fig．1 Coordinate system of scoop process當 d≥0 時(shí)，引入參數 S t 、S e :S t 為中心面處鏟斗鏟入后可影響的鏟斗外的物料面積，S e 為中心面處鏟斗水平鏟入物料的空斗面積，根據定積分的意義，可以將中心面處單獨區域的面積求解轉變成對變限積分求解。在建立 S t 數學(xué)模型的過(guò)程中，將料堆的外形函數視為靜態(tài)，斗形函數視為動(dòng)態(tài)，鏟裝的過(guò)程中 S t 便可以等效為變函數的定積分問(wèn)題，由此可以得出 S t 的函數為S t = ∫dc( xtanα+ xtanβ － dtanβ) dx，(1)式中，d 為鏟斗水平鏟入深度，mm;c 為鏟斗斗面與料堆交點(diǎn)的橫軸坐標值，mm;α 為料堆自然安息角，(°); β 為鏟斗前角，(°)。為了方便建立鏟斗水平鏟入物料時(shí)空斗面積的數學(xué)模型，需要對動(dòng)態(tài)函數進(jìn)行靜態(tài)處理和對鏟斗單獨取坐標系變化，這樣可以將本來(lái)復雜的多函數移動(dòng)轉變成單函數移動(dòng)，這個(gè)過(guò)程便是將 f 1 和 f 2 視為已確定函數，f 3 為變函數，f 3 函數與縱軸截距的意義為鏟斗鏟入深度 d，

　　圖 2 鏟斗坐標系變換Fig．2 Coordinate system transformation of bucket在完成對問(wèn)題的簡(jiǎn)化后便需要對 S e 的變化進(jìn)行數學(xué)模型建立。通過(guò)圖 2 可知，中心面處鏟斗的空斗面積 S e 的變化為分段函數，為此也需要在建立數學(xué)模型時(shí)進(jìn)行分段處理。在已經(jīng)變換好的坐標系中，斗形函數 f 1 和鏟斗斗面函數 f 2 轉變?yōu)橐汛_定函數，而f 3 函數為變函數，隨著(zhù)鏟入深度的增加 S e 不斷減小，求解 S e 就變成了在變函數的條件下對函數圍成面積的求解。至此，便可以得出S e= S1－ ∫0α 1ytanπ2－ β( )－y － dtan α + β －π2( )??dy，0 ≤ d ＜槡200 3;S e = ∫0α 2r 2－ x槡2+ y1－ xtan α + βπ2( )－ d[ ]dx，d ≥槡200 3;式中，α 1 為料堆外形函數與鏟斗斗形函數的交點(diǎn)在 y軸上的數值，mm;α 2 為料堆外形函數與鏟斗斗底函數的交點(diǎn)在 x 軸上的數值，mm;r 為鏟斗斗形曲率半徑，mm;y 1 為鏟斗斗形曲率圓心所處的位置，mm; S 1為鏟斗側面面積，mm 2 。通過(guò)工程問(wèn)題數學(xué)化的轉變，在鏟裝過(guò)程中中心面的表示函數所圍成面積的變限積分 S t 、S e 就已經(jīng)得出，S t 、S e 是為解決滿(mǎn)斗率問(wèn)題所建立的初步的數學(xué)模型，也為接下來(lái)求解體積函數做好了前期準備。S t 、S e 函數的成功建立也是體積函數建立的必要前提，保證了函數的可解性。關(guān)于變限積分的面積函數的建立至此已經(jīng)結束，接下來(lái)便是討論如何建立可行有效的體積函數。在考慮體積函數的問(wèn)題時(shí)，需要再次轉換看待問(wèn)題的角度，把平面問(wèn)題實(shí)體化。根據對鏟斗和料堆的實(shí)際了解可以知道:如果以中心面為基準，鏟斗的物料體積函數 V e 便可以直接通過(guò)鏟斗面積與斗長(cháng)的乘積得到，對于鏟斗的空斗面積也是類(lèi)似的原理。至此體積函數 V e 便已經(jīng)確定，但是體積函數 V t 還未確定。V t的相關(guān)量 S t 是一個(gè)較為復雜的變上下限積分，如果要求解 V t ，就要考慮到料堆的外形。已知的料堆外形可以近似地認為是圓錐體，V t 也可以看成是 S t 的旋轉體積，所以求解出 V t 函數的結果就是已知面積的旋轉體積的數值。通過(guò)對體積函數 V e 和 V t 的分析，可以得出 V e 和 V t 的函數V t =πarcsinl2r 1( )360°(dtanαr 1+ St )2－ (dtanαr 1 )2[ ] ，V e= lSe ，式中，l為鏟斗斗長(cháng)，mm;r 1 為鏟斗可影響的最高點(diǎn)對應的圓錐料堆的頂部圓錐底面圓半徑，mm。已得出的 V e 、V t 體積函數之比便是對通用鏟裝物理過(guò)程的.數學(xué)描述，得到數學(xué)模型后還需要就函數中某一相關(guān)因素對滿(mǎn)斗率的影響進(jìn)行討論，驗證數學(xué)模型的正確性。本研究之后便是利用已建立的數學(xué)模型就鏟入深度與滿(mǎn)斗率之間的關(guān)系進(jìn)行一次初步求解。

　　3 相關(guān)參數的選取

　　以廣西柳州工程機械股份有限公司的 Zl50 系列輪式裝載機的鏟斗數據為數學(xué)模型中的鏟斗參數依據，從而得出數學(xué)模型的求解結果。鏟斗底板尺寸 b x取 690 mm，鏟斗斗長(cháng) l 為 2 970 mm，鏟斗側面斗寬 b w取 1 200 mm，鏟斗前角 β 為 60°，鏟斗斗底曲率半徑取600 mm。料堆為礦石料堆，自然安息角 α 為35° ，鏟斗鏟入料堆的水平面上的料堆面的半徑取 4 000 mm。

　　4 鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型求解

　　取定相關(guān)參數后，鏟裝數學(xué)模型中剩余未知量為1 個(gè)自變量和 2 個(gè)因變量，自變量為鏟入深度 d，因變量為物料體積函數 V e 和 V t 。在建立鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型后，試探性地對鏟斗鏟入深度與滿(mǎn)斗率之間的關(guān)系進(jìn)行求解，主要是為了驗證鏟裝過(guò)程數學(xué)模型的有效性和對某一具體問(wèn)題的可解性。因此，對于鏟裝數學(xué)模型的求解分為數學(xué)模型中的斗形函數驗證和鏟斗物料填充率的最優(yōu)解的求解兩大部分。其中斗形函數的驗證為數學(xué)模型有效性的驗證，鏟斗物料填充率的最優(yōu)解的求解為驗證數學(xué)模型的可解性。

　　4. 1 鏟斗數學(xué)模型的斗形函數驗證

　　根據已建立的鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型可知，斗形函數為變限積分函數。為驗證建立的數學(xué)模型的有效性，需要利用 MATLAB 的函數可視化處理，對比數學(xué)模型中的變限積分函數與實(shí)際斗形是否基本符合。將相關(guān)參數輸入鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型中的被積分函數，得出斗形如圖 3 所示。圖 3 斗形函數求解結果Fig．3 Ｒesults of solving bucket shape function

　　5 結 論

　　本研究所建立的數學(xué)模型對工程實(shí)際有很強的適用性，可以利用該模型求解出各類(lèi)參數的鏟斗在工作時(shí)的最佳鏟入深度，使得鏟斗的滿(mǎn)斗率達到最大值，提高資源的利用率。也可將鏟斗外形函數設為求解目標，利用鏟裝過(guò)程中滿(mǎn)斗率的數學(xué)模型優(yōu)化鏟斗尺寸，如何利用鏟裝過(guò)程滿(mǎn)斗率的數學(xué)模型對鏟斗參數優(yōu)化設計，也是筆者正在探求的一個(gè)問(wèn)題。此外，如果料堆的安息角與重力加速度之間的數學(xué)關(guān)系能夠明確，鏟裝過(guò)程的數學(xué)模型可用于討論不同重力下的鏟裝機理。本研究所建立的鏟斗裝載過(guò)程的數學(xué)模型也可用于智能裝載機器人裝載過(guò)程的主動(dòng)求解優(yōu)化，在不同的情況下求解出最優(yōu)的鏟入深度，提高工作效率，降低能耗。

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