淺析小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)初等數論課程例題和練習題論文
1小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)開(kāi)設初等數論課程的必要性
初等數論是一門(mén)古老的數學(xué)基礎學(xué)科，主要研究整數的基本性質(zhì)，它的理論和方法已廣泛用于現代密碼學(xué)、算子理論、最優(yōu)設計、組合代數及信息科學(xué)等諸多領(lǐng)域.師范院校小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)開(kāi)設的初等數論課程作為一門(mén)專(zhuān)業(yè)主干課程，主要研究整數的整除與同余及不定方程，其中的許多內容如整除、約數、倍數、分解質(zhì)因數等概念和性質(zhì)都是現行小學(xué)數學(xué)的主要內容，對小學(xué)數學(xué)的教學(xué)和研究具有重要的指導作用，而小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的數學(xué)類(lèi)課程設置的目標是為了培養合格的小學(xué)數學(xué)教師，所以小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)開(kāi)設初等數論課程很有必要。
由于初等數論要求論證嚴格，所以它是進(jìn)行思維訓練的有效工具，學(xué)習初等數論能發(fā)展學(xué)生的邏輯數學(xué)思維能力。
數論的許多問(wèn)題本身很容易弄懂，容易引起人們的興趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解決卻非常困難。古今中外許多數學(xué)家都是由于被數論問(wèn)題吸引而投身數學(xué)研究，并做出了巨大的貢獻，在初等數論課程中有許多簡(jiǎn)明而又具創(chuàng )造性的問(wèn)題，它們都是培養學(xué)生創(chuàng )造性的很好材料，所以學(xué)習初等數論能激發(fā)學(xué)生對數學(xué)的興趣和創(chuàng )造力。
2小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)初等數論課程例題和練習題的重要性
例題和練習題是初等數論教材的重要組成部分，例題是實(shí)現課程目標、實(shí)施教學(xué)的重要資源，具有示范引領(lǐng)、揭示方法、介紹新知、鞏固新知、思維訓練等功能，而練習題則是將所學(xué)的知識進(jìn)行應用的一個(gè)載體，也是教師檢查學(xué)生學(xué)習狀況的一個(gè)手段，所以初等數論課程的例題和練習題的選擇很重要.當前高等院校數學(xué)系所開(kāi)設的初等數論課程所用的教材雖然由于使用的時(shí)間長(cháng)教材所配置的例題和練習題大部分比較合適，但也存在例題和練習題都偏少且練習題難度偏大和基礎性的題目所占比例太小等問(wèn)題[}z}，更何況小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)是最近幾年開(kāi)設的新專(zhuān)業(yè)，所用的教材也是近幾年編的，大部分的教材在教材內容的選取上比較適合小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)，但例題和練習題的配置大部分是照搬數學(xué)系所用的題目，或者是為了應用某個(gè)定理而生造一些例題和練習題，因而很多例題和練習題不適合小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)，尤其是與小學(xué)數學(xué)教學(xué)沒(méi)有多少聯(lián)系。
初等數論課程的特點(diǎn)是“定理本身易懂，但其證明難懂”，“例題難懂，練習題難做”.多年的教學(xué)實(shí)踐表明，小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習初等數論的困難，不僅在學(xué)習有關(guān)知識，而且也在運用這些知識去解決問(wèn)題，也就是練習題難做，所以例題和練習題的配置是小學(xué)教育初等數論教材改革中需要認真研究的一個(gè)重要方面。
3關(guān)于小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)初等數論課程例題和練習題的思考
3. 1將例題和練習題分層配置以滿(mǎn)足不同層次的學(xué)生學(xué)習的需要
伴隨高校的'擴招，加上小學(xué)教育又是文理兼招，所以學(xué)生的數學(xué)基礎參差不齊，因此教師在教學(xué)時(shí)很難把握教學(xué)的難度，所以將例題和練習題進(jìn)行分層很有必要，以滿(mǎn)足不同層次的學(xué)生學(xué)習的需要.將例題和練習題分層能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，最大限度的調動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。
將例題和練習題按難度分為三個(gè)層次：簡(jiǎn)單、基本和復雜.對簡(jiǎn)單的例題可略講或不講讓學(xué)生自學(xué)，略講時(shí)可適當加深;基本的例題可花大力氣去講;而復雜的例題可只講思路或略講，讓學(xué)有余力的學(xué)生去理解.要布置少量的簡(jiǎn)單的練習題，多布置基本的練習題，而復雜的練習題可讓學(xué)生選做。
以整除的概念這一節為例，整除的概念是初等數論的一個(gè)核心概念，對整除概念的理解是學(xué)習初等數論的基礎。像判斷具體的數字能否被3,9,11等數整除就屬于簡(jiǎn)單的例題和練習題，因為整除的特征是充要條件，所以判斷的方法可多次使用;而證明整除的性質(zhì)就是基本的例題和練習題;而象當n為大于1的整數，證明 不為整數就是復雜的題目了，可只講思路或略講，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習。
3. 2例題和練習題的選擇必須與專(zhuān)業(yè)相符
小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)之一是為了培養合格的小學(xué)師資，為了適應小學(xué)數學(xué)教育的需要，初等數論課程的例題和練習題的選擇還必須與專(zhuān)業(yè)相符，為學(xué)生以后走上工作崗位打下良好的基礎.與小學(xué)數學(xué)密切相關(guān)的內容如整除、同余等必須詳細講解，對其中的定義、定理產(chǎn)生的背景及基本思想、解決問(wèn)題的典型方法和技巧都要多講多練，使學(xué)生深入了解定義產(chǎn)生的客觀(guān)需要、定理論證的整個(gè)過(guò)程，從而對小學(xué)數學(xué)知識做到融會(huì )貫通;而與小學(xué)數學(xué)關(guān)系不密切的內容可略講或讓學(xué)生閱讀，尤其是復雜的理論證明如關(guān)于簡(jiǎn)化剩余系的證明，就不必要求太高，否則會(huì )使學(xué)生望而生畏。如講了被2,3,5,7,9,11,13,19等數整除的特征，但沒(méi)有講被6,13, 17等數整除的特征，可補充相應的例題和練習題，或者讓學(xué)生閱讀相關(guān)的書(shū)籍。
再例如求約數與約數的個(gè)數也是小學(xué)數學(xué)的教學(xué)內容，顯然除了在小學(xué)是用乘法和數的方法之外，還應讓學(xué)生掌握從此數的標準分解式來(lái)求的方法。
3. 3讓學(xué)生收集、改編和自編例題和練習題
小學(xué)數學(xué)隨著(zhù)時(shí)代的發(fā)展也出現了一些與時(shí)俱進(jìn)的內容，而由于時(shí)間和篇幅的限制，初等數論教材上的例題和練習題不僅數量有限，而且有一定的滯后性，因此可以鼓勵學(xué)生通過(guò)各種渠道收集各種例題和練習題.例如可以從中小學(xué)數學(xué)競賽中收集與初等數論相關(guān)的題目，也可以從互聯(lián)網(wǎng)上去收集一些趣味性強且時(shí)代性強又與初等數論密切相關(guān)的目，當然也可以從初等數論的其他教材和習題集及相關(guān)書(shū)籍中收集，例如就有許多趣味性強的題目;也可以將一些題目進(jìn)行改編;當然也可以根據所學(xué)的知識自編題目。收集、改編和自編例題和練習題不僅能提高學(xué)生的學(xué)習興趣，而且能使學(xué)生在收集、改編和自編的過(guò)程中加強對知識的理解從而提高對知識的運用能力。
生活中有許多類(lèi)似童謠的趣味性強且與初等數論有關(guān)的題目，例如：三十六頭羊，分成九行，只許成單，不許成雙，怎樣安排?再例如身份證的使用在現代社會(huì )越來(lái)越頻繁，第二代18位身份證的最后一位是檢驗碼，很多人不知道，其實(shí)它和整除的帶余除法有關(guān)一百盞燈分別標上號碼1,2,3…100，開(kāi)始它們都是滅的，第一個(gè)人把每盞燈的拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)各拉一下，使得每盞燈都亮了，第二個(gè)人把標號為2的倍數的燈的開(kāi)關(guān)拉一下，第三個(gè)人把標號為3的倍數的燈的開(kāi)關(guān)拉一下，以此類(lèi)推，直至當第一百個(gè)人把標號為100的倍數的燈的開(kāi)關(guān)拉一下.問(wèn)最后有哪幾盞燈亮著(zhù)?這個(gè)題目很有趣味，也可將它改編為：一百盞燈分別標上號碼1,2,3 , …,100，開(kāi)始它們都是滅的，第一個(gè)人把標號為1的約數的燈的拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)拉一下，第二個(gè)人把標號為2的約數的燈的拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)拉一下，第三個(gè)人把標號為3的約數的燈的拉線(xiàn)開(kāi)關(guān)拉一下，以此類(lèi)推，直至當第一百個(gè)人把標號為100的約數的燈的開(kāi)關(guān)拉一下.問(wèn)最后有哪幾盞燈亮著(zhù)?而在學(xué)了最小公倍數后就可讓學(xué)生自編如被2,3,6,8,9整除的最小的四位數是多少?
3. 4在例題和練習題中提倡一題多解
隨著(zhù)高校教學(xué)改革的發(fā)展，初等數論的課時(shí)越來(lái)越少，以懷化學(xué)院為例：2001級初等教育專(zhuān)業(yè)(當時(shí)教育部還沒(méi)有開(kāi)設小學(xué)教育專(zhuān)業(yè))周課時(shí)3節，每學(xué)期18周，開(kāi)課二個(gè)學(xué)期共108節課，2005級小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)周課時(shí)4節，每學(xué)期17周，開(kāi)課一個(gè)學(xué)期共68節課，2013級小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)周課時(shí)3節，每學(xué)期16周，開(kāi)課一學(xué)期共48節課.課時(shí)少就必須高效利用例題，而一題多解可讓學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，不僅可得出不同的解法，也有效地訓練了學(xué)生運用知識解決問(wèn)題的能力，尤其是一題多解中的每一種解法都有代表性的例題必須精講。
4結語(yǔ)
初等數論教材的改革是教學(xué)改革的一個(gè)重要方面，一本優(yōu)秀的教材如第一版序中所說(shuō):“作為一個(gè)好的校本，我認為要具有三個(gè)條件.第一是教材要選擇得恰當，安排得自然.第二是說(shuō)理要嚴格而清楚，深入而淺出，也就是邏輯性與直觀(guān)性都要強.第三是要引人入勝，使人有‘欲窮千里目，更上一層樓’之感，換句話(huà)說(shuō)，問(wèn)題的來(lái)源與發(fā)展都要交代清楚，使讀者能從少許見(jiàn)多許，增加他們目前學(xué)習與今后鉆研的興趣.”其中第一點(diǎn)就是教材的內容要選擇恰當，不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生選擇的教材內容應符合相應的專(zhuān)業(yè)培養目標，而本文只僅僅提出了一些關(guān)于選擇例題和練習題的看法，其實(shí)小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)初等數論教材還可以在內容上進(jìn)行改革，例如增加數學(xué)史知識和一些中小學(xué)數學(xué)競賽知識有關(guān)的內容，而且教材改革還必須有相應的教學(xué)改革，才能達到良好的效果。
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