函數的定義域教學(xué)設計
一. 教學(xué)內容：
函數的定義域與值域、單調性與奇偶性
二. 教學(xué)目標：
理解函數的性質(zhì)，能夠運用函數的性質(zhì)解決問(wèn)題。
三. 教學(xué)重點(diǎn)：函數性質(zhì)的運用．
四. 教學(xué)難點(diǎn)：函數性質(zhì)的理解。
�。蹖W(xué)習過(guò)程］
一、知識歸納：
1. 求函數的解析式
�。�1）求函數解析式的常用方法：
�、贀Q元法（ 注意新元的取值范圍）
�、诖ㄏ禂捣ǎㄒ阎瘮殿�(lèi)型如：一次、二次函數、反比例函數等）
�、壅w代換（配湊法）
�、軜嬙旆匠探M（如自變量互為倒數、已知f（x）為奇函數且g（x）為偶函數等）
�。�2）求函數的解析式應指明函數的定義域，函數的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時(shí)也要注意變量的實(shí)際意義。
�。�3）理解軌跡思想在求對稱(chēng)曲線(xiàn)中的應用。
2. 求函數的定義域
求用解析式y＝f（x）表示的函數的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：
�、偃鬴（x）是整式，則函數的定義域是實(shí)數集R；
�、谌鬴（x）是分式，則函數的定義域是使分母不等于0的實(shí)數集；
�、廴鬴（x）是二次根式，則函數的定義域是使根號內的式子大于或等于0的實(shí)數集合；
�、苋鬴（x）是由幾個(gè)部分的數學(xué)式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數集合；
�、萑鬴（x）是由實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的函數，則函數的定義域應符合實(shí)際問(wèn)題.
3. 求函數值域（最值）的一般方法：
�。�1）利用基本初等函數的值域；
�。�2）配方法（二次函數或可轉化為二次函數的函數）；
�。�3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函數）
�。�4）函數的單調性：特別關(guān)注 的圖象及性質(zhì)
�。�5）部分分式法、判別式法（分式函數）
�。�6）換元法（無(wú)理函數）
�。�7）導數法（高次函數）
�。�8）反函數法
�。�9）數形結合法
4. 求函數的單調性
�。�1）定義法：
�。�2）導數法：
�。�3）利用復合函數的單調性：
�。�4）關(guān)于函數單調性還有以下一些常見(jiàn)結論：
�、賰蓚�(gè)增（減）函數的和為_(kāi)____；一個(gè)增（減）函數與一個(gè)減（增）函數的差是______；
�、谄婧瘮翟趯ΨQ(chēng)的兩個(gè)區間上有_____的單調性；偶函數在對稱(chēng)的兩個(gè)區間上有_____的單調性；
�、刍榉春瘮档膬蓚�(gè)函數在各自定義域上有______的單調性；
�。�5）求函數單調區間的常用方法：定義法、圖象法、復合函數法、導數法等
�。�6）應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
5. 函數的奇偶性
奇偶性：定義：注意區間是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，比較f（x） 與f（－x）的關(guān)系。f（x） －f（－x）＝0 f（x） ＝f（－x） f（x）為偶函數；
f（x）+f（－x）＝0 f（x） ＝－f（－x） f（x）為奇函數。
判別方法：定義法，圖象法，復合函數法
應用：把函數值進(jìn)行轉化求解。
6. 周期性：定義：若函數f（x）對定義域內的任意x滿(mǎn)足：f（x+T）＝f（x），則T為函數f（x）的周期。
其他：若函數f（x）對定義域內的任意x滿(mǎn)足：f（x+a）＝f（x－a），則2a為函數f（x）的周期.
應用：求函數值和某個(gè)區間上的函數解析式。
二、典型例題分析
例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求從集合A到集合B的映射的個(gè)數。
分析：解決這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是要掌握映射的概念：設A、B是兩個(gè)集合，對于集合A中的任何一個(gè)元素，按照某種對應法則f，若集合B中都有唯一確定的元素和它對應，這時(shí)對應法則f叫做從集合A到集合B的映射。這里要掌握關(guān)鍵的兩個(gè)詞“任何”、“唯一”。對于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一個(gè)元素的象都有b1或b2這兩種情形，由乘法原理可知，A到B的映射的個(gè)數共有N＝222＝8個(gè)。
例2. 線(xiàn)段|BC|＝4，BC的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)的距離之和為6，設|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函數表達式及這函數的定義域。
解：1若A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，如圖所示，由余弦定理可知，
x2＝22+y2－4ycosAMB ①
�。�6－x）2＝22+y2－4ycos（180－AMB） ②
�、�+② x2+（6－x）2＝2y2+8 y2＝x2－6x+14
又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，
又三點(diǎn)A、B、C能構成三角形
1＜x＜5
2若三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，由題意可知，
x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5
綜上所述：
說(shuō)明：第一，首先要分析三點(diǎn)A、B、C是否在同一條直線(xiàn)上，因為由題意，A、B、C不一定能構成三角形，它們也可在同一條直線(xiàn)上，所以要分兩種情形來(lái)討論。第二，實(shí)際問(wèn)題在求解析式時(shí)要特別注意函數的定義域。
例3. 設f（x）為定義在R上的偶函數，當x－1時(shí)，y＝f（x）的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－2，0），斜率為1的射線(xiàn)，又在y＝f（x）的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在（0，2），且過(guò)點(diǎn)（－1，1）的一段拋物線(xiàn)，試寫(xiě)出函數f（x）的表達式，并在圖中作出其圖象。
解：（1）當x－1時(shí)，設f（x）＝x+b
∵射線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（－2，0） 0＝－2+b即b＝2，f（x）＝x+2
�。�2）當－11時(shí)，設f（x）＝ax2+2
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（－1，1），1＝a（－1）2+2，即a＝－1
f（x）＝－x2+2
�。�3）當x1時(shí)，f（x）＝－x+2
綜上可知：f（x）＝ 作圖由讀者來(lái)完成。
例4. 求下列函數的定義域
�。�1） （2）
解：（1）
x4或x－1且x－3，即函數的定義域為（－，－3）（－3，－1）[4，+]
�。�2） ，則
0x2－3x－108，即
�。�3x＜－2或5＜x6即定義域為[－3，－2]（5，6）
說(shuō)明：求函數的定義域，我們常�？梢詮囊韵氯齻�(gè)方面來(lái)考慮：若有分母則分母不為零、若有偶次根式則被開(kāi)方數大于或等于零、若有對數式，則真數大于零、底數大于零且不等于1。求函數的定義域，實(shí)質(zhì)上就是求由以上不等式組成的'不等式組的解集。
變、已知函數f（x）的定義域為[－1，4]，求 的定義域。
解： ，則
又 ， 或
則 或 即為所求函數的定義域。
說(shuō)明：此題實(shí)質(zhì)上是求復合函數的定義域，我們把 看成是由y＝f（u）、 兩個(gè)函數復合而成的，因為－1u＜4，則 ，從而求出x的范圍，另外，對不等式進(jìn)行倒數運算時(shí)，應注意不等式兩邊必須同號，取倒數后不等號的方向改變，這里也是學(xué)習時(shí)常常容易發(fā)生錯誤的地方，應加以重視。
例5. 若對于任何實(shí)數x，不等式： 恒成立，求實(shí)數a的取值范圍。
解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去絕對值把f（x）表示成分段函數后為
5－3x x＜1
f（x）＝ 3－xx2
3x－5 x＞2
作出y＝f（x）的圖象如圖，由此可知f（x）的最小值為1，f（x）＞a對一切實(shí)數x恒成立，則a＜1。
說(shuō)明：該題看上去是一個(gè)不等式的問(wèn)題，若用去絕對值分類(lèi)討論的方法來(lái)求解則比較繁鎖，而如果注意到不等式左邊是一個(gè)關(guān)于x的函數，只要利用數形結合的思想求出此函數的最小值就很快解決了問(wèn)題，這種解題思想應引起我們的注意。另外，對于函數f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它寫(xiě)成分段函數的形式，作出函數的圖象，則該函數的所有性質(zhì)，包括函數的單調區間，值域等一切問(wèn)題都可以迎刃而解了。
例6. 求函數 的值域。
解：令 ，則13－4x＝t2
該二次函數的對稱(chēng)軸為t＝1，又t0由二次函數的性質(zhì)可知y4，當且僅當t＝1即x＝3時(shí)等式成立，原函數的值域為（－，4）。
說(shuō)明：對于所有形如 的函數，求值域時(shí)我們可以用換元法令
轉化為關(guān)于t的二次函數在區間[0，+）上的最值來(lái)處理。這里要注意t0的范圍不能少。如：已知f（x）的值域為 ，試求函數 的值域。該題我們只需要把f（x）看成是一個(gè)變量，則求值域時(shí)仍可用上述換元法，但是如果被開(kāi)方數不是關(guān)于x的一次式，而含x的平方項，則就不能用上述換元法了。如求函數 的值域，若令 ，則x無(wú)法用t來(lái)表示。這里我們如果注意到x的取值范圍：－22，則－11的話(huà)，我們就可以用三角換元：令 [0，]，問(wèn)題也就轉化為三角函數求最值了。同樣我們作三角換元時(shí)，要注意的限制條件，因為當取遍0到之間的每一個(gè)值時(shí)， 恰好可以取遍－1到1之間的每一個(gè)值，若不限制的范圍，則根號無(wú)法直接去掉，就會(huì )給我們解題增添麻煩。
例7. 求下列函數的最值。
�。�1） （2）
解：（1）先求出函數的定義域：
�。�27，又在區間[－2，7]上函數 單調遞增， 單調遞增，所以 在定義域內也單調遞增。
當x＝－2時(shí)， ；當x＝7時(shí)，
�。�2）∵ 0 y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：
y2＝x2（1－x2） ，又y， 。
說(shuō)明：對于一些比較復雜的函數，求值域或最值時(shí)，如果我們能利用函數的單調性、奇偶性或運用基本不等式，問(wèn)題往往會(huì )很快得到解決。在運用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”的條件，特別是要注意等號能否成立。
例8. 設a＞0，x[－1，1]時(shí)函數y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函數取得最小值和最大值時(shí)相應的x的值。
解：
∵a＞0， ＜0，又定義域為[－1，1]
x＝1時(shí) ，即－1－a+b＝－1 a－b＝0
下面分a的情形來(lái)討論：
1當0＞ －1即0＜a2時(shí)，
當 時(shí)， 即 ，則
a2+4a－4＝0，
又a（0，2），則
2當 ＜－1，即a＞2時(shí)，當x＝－1時(shí)
�。�1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b a＝1 與a＞2矛盾，舍去
綜上所述：x＝1時(shí)， ， 時(shí) 。
例9. 已知函數y＝f（x）＝ （a，b，cR，a0，b0）是奇函數，當x0時(shí)，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）
�。�1）試求函數f（x）的解析式；
�。�2）問(wèn)函數f（x）的圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱(chēng)的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標；若不存在，說(shuō)明理由
解：（1）∵f（x）是奇函數，
f（－x）＝－f（x），即
c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，
當且僅當x＝ 時(shí)等號成立，于是2 ＝2，a＝b2，
由f（1）＜ 得 ＜ 即 ＜ ，2b2－5b+2＜0，解得 ＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+
�。�2）設存在一點(diǎn)（x0，y0）在y＝f（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對稱(chēng)點(diǎn)（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的圖象上，則
消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1
y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)（1+ ，2 ），（1－ ，－2 ）關(guān)于（1，0）對稱(chēng)
例10. 已知奇函數f（x）的定義域為R，且f（x）在［0，+）上是增函數，是否存在實(shí)數m，使f（cos2－3）+f（4m－2mcos）f（0）對所有［0， ］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數m的范圍，若不存在，說(shuō)明理由
解：∵f（x）是R上的奇函數，且在［0，+）上是增函數，f（x）是R上的增函數 于是不等式可等價(jià)地轉化為f（cos2－3）f（2mcos－4m），
即cos2－32mcos－4m，即cos2－mcos+2m－2
設t＝cos，則問(wèn)題等價(jià)地轉化為函數
g（t）?＝t2－mt+2m－2＝（t－ ）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉化為函數g（t）在［0，1］上的最小值為正
當 0，即m0時(shí)，g（0）＝2m－21與m0不符；
當01時(shí)，即02時(shí)，g（m）＝－ +2m－20
4－2 4+2 ，?4－2 2
當 1，即m2時(shí)，g（1）＝m－11 m2
綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m4－2
另法（僅限當m能夠解出的情況）cos2－mcos+2m－20對于［0， ］恒成立，
等價(jià)于m（2－cos2）/（2－cos） 對于［0， ］恒成立
∵當［0， ］時(shí)，（2－cos2）/（2－cos） 4－2 ，
m4－2
例11. 設a為實(shí)數，記函數f（x）＝a 的最大值為g（a）。
�。�1）設t＝ ，求t的取值范圍并把f（x）表示為t的函數m（t）；
�。�2）求g（a）；
�。�3）求滿(mǎn)足g（a）＝g（ ）的所有實(shí)數a.
解：（1）∵t＝
要使t有意義，必須有1+x0且1－x0，即－11.
∵t2＝2+2 [2，4]，t ……①
t的取值范圍是[ ，2]由①得 ＝ x2－1
m（t）＝a（ t2－１）＋t＝ at2+t－a， t[ ，2]
�。�2）由題意知g（a）即為函數m（t）＝ at2+t－a， t[ ，2]的最大值.
注意到直線(xiàn)t＝－ 是拋物線(xiàn)m（t）＝ at2+t－a的對稱(chēng)軸，分下列情況討論.
當a0時(shí)，函數y＝m（t）， t[ ，2]的圖像是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一段，由t＝－ 0知m（t）在[ ，2]上單調遞增，
g（a）＝m（2）＝a+2.
當a＝0時(shí)，m（t）＝t， t[ ，2]， g（a）＝2.
當a0時(shí)，函數y＝m（t）， t[ ，2]的圖像是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的一段，
若有t＝－ [0， ]，即a－ ，則g（a）＝m（ ）＝ .
若有t＝－ （ ，2），即a ，則g（a）＝m（－ ）＝－a－ .
若有t＝－[0， ]，即a ，則g（a）＝m（2）＝a+2.
綜上有g(shù)（a）＝
�。�3）當a－ 時(shí)，g（a）＝a+2 ，
當 時(shí)，－a ，，所以 ，
g（a）＝ 2 ＝ .因此當a－ 時(shí)，g（a）.
當a0時(shí)， 0，由g（a）＝g（ ）知a+2＝ +2解得a＝1.
當a0時(shí)， ＝1，因此a－1或 －1，從而g（a）＝ 或g（ ）＝ .
要使g（a）＝g（ ），必須有a－ 或 － ，即－ －
此時(shí)g（a）＝ ＝g（ ）.
綜上知，滿(mǎn)足g（a）＝g（ ）的所有實(shí)數a為：－ － 或a＝1.
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