數學(xué)知識點(diǎn)總結
總結是在一段時(shí)間內對學(xué)習和工作生活等表現加以總結和概括的一種書(shū)面材料，它能夠給人努力工作的動(dòng)力，不妨坐下來(lái)好好寫(xiě)寫(xiě)總結吧�？偨Y怎么寫(xiě)才能發(fā)揮它的作用呢？以下是小編精心整理的數學(xué)知識點(diǎn)總結，歡迎大家分享。
數學(xué)知識點(diǎn)總結1
一、直線(xiàn)與圓：
1、直線(xiàn)的傾斜角 的范圍是
在平面直角坐標系中，對于一條與 軸相交的直線(xiàn) ，如果把 軸繞著(zhù)交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè )较蜣D到和直線(xiàn) 重合時(shí)所轉的最小正角記為， 就叫做直線(xiàn)的傾斜角。當直線(xiàn) 與 軸重合或平行時(shí)，規定傾斜角為0;
2、斜率：已知直線(xiàn)的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα.
過(guò)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線(xiàn)的斜率k=( y2-y1)/(x2-x1)，另外切線(xiàn)的斜率用求導的方法。
3、直線(xiàn)方程：⑴點(diǎn)斜式：直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) 斜率為 ，則直線(xiàn)方程為 ,
�、菩苯厥剑褐本�(xiàn)在 軸上的截距為 和斜率，則直線(xiàn)方程為
4、 ， ,① ∥ , ; ② .
直線(xiàn) 與直線(xiàn) 的位置關(guān)系：
(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意檢驗(2)垂直 A1A2+B1B2=0
5、點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離公式 ;
兩條平行線(xiàn) 與 的距離是
6、圓的標準方程： .⑵圓的一般方程：
注意能將標準方程化為一般方程
7、過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn),一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與軸垂直的直線(xiàn).
8、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,通常轉化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構造直角三角形解決弦長(cháng)問(wèn)題.① 相離 ② 相切 ③ 相交
9、解決直線(xiàn)與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(cháng)、弦心距構成直角三角形) 直線(xiàn)與圓相交所得弦長(cháng)
二、圓錐曲線(xiàn)方程：
1、橢圓： ①方程 (a>b>0)注意還有一個(gè);②定義: PF1+PF2=2a>2c; ③ e= ④長(cháng)軸長(cháng)為2a，短軸長(cháng)為2b，焦距為2c; a2=b2+c2 ;
2、雙曲線(xiàn)：①方程 (a,b>0) 注意還有一個(gè);②定義: PF1-PF2=2a<2c; ③e= ;④實(shí)軸長(cháng)為2a，虛軸長(cháng)為2b，焦距為2c;漸進(jìn)線(xiàn) 或 c2=a2+b2
3、拋物線(xiàn) ：①方程y2=2px注意還有三個(gè)，能區別開(kāi)口方向; ②定義:PF=d焦點(diǎn)F( ,0),準線(xiàn)x=- ;③焦半徑 ; 焦點(diǎn)弦=x1+x2+p;
4、直線(xiàn)被圓錐曲線(xiàn)截得的弦長(cháng)公式：
5、注意解析幾何與向量結合問(wèn)題：1、 , . (1) ;(2) .
2、數量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數量abcosθ叫做a與b的數量積，記作a·b，即
3、模的計算：a= . 算�？梢韵人阆蛄康钠椒�
4、向量的運算過(guò)程中完全平方公式等照樣適用：
三、直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體：
1、學(xué)會(huì )三視圖的分析：
2、斜二測畫(huà)法應注意的地方：
(1)在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它畫(huà)成對應軸 o'x'、o'y'、使∠x(chóng)'o'y'=45°(或135° ); (2)平行于x軸的線(xiàn)段長(cháng)不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(cháng)減半.(3)直觀(guān)圖中的45度原圖中就是90度，直觀(guān)圖中的90度原圖一定不是90度.
3、表(側)面積與體積公式：
�、胖w：①表面積：S=S側+2S底;②側面積：S側= ;③體積：V=S底h
�、棋F體：①表面積：S=S側+S底;②側面積：S側= ;③體積：V= S底h：
�、桥_體①表面積：S=S側+S上底S下底②側面積：S側=
�、惹蝮w：①表面積：S= ;②體積：V=
4、位置關(guān)系的證明(主要方法)：注意立體幾何證明的書(shū)寫(xiě)
(1)直線(xiàn)與平面平行：①線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行;②面面平行 線(xiàn)面平行。
(2)平面與平面平行：①線(xiàn)面平行面面平行。
(3)垂直問(wèn)題：線(xiàn)線(xiàn)垂直 線(xiàn)面垂直 面面垂直。核心是線(xiàn)面垂直：垂直平面內的兩條相交直線(xiàn)
5、求角：(步驟-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
�、女惷嬷本�(xiàn)所成角的求法：平移法：平移直線(xiàn)，構造三角形;
�、浦本�(xiàn)與平面所成的角：直線(xiàn)與射影所成的角
四、導數：
1、導數的定義： 在點(diǎn) 處的導數記作 .
2. 導數的幾何物理意義：曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處切線(xiàn)的斜率
�、賙=f/(x0)表示過(guò)曲線(xiàn)y=f(x)上P(x0,f(x0))切線(xiàn)斜率。V=s/(t) 表示即時(shí)速度。a=v/(t) 表示加速度。
3.常見(jiàn)函數的導數公式: ① ;② ;③ ;
4.導數的四則運算法則：
5.導數的應用：
(1)利用導數判斷函數的單調性：設函數 在某個(gè)區間內可導,如果 ,那么 為增函數;如果 ,那么為減函數;
注意：如果已知 為減函數求字母取值范圍,那么不等式 恒成立。
(2)求極值的步驟：
�、偾髮� ;
�、谇蠓匠� 的根;
�、哿斜恚簷z驗 在方程 根的左右的符號，如果左正右負,那么函數 在這個(gè)根處取得極大值;如果左負右正,那么函數 在這個(gè)根處取得極小值;
(3)求可導函數最大值與最小值的步驟：
?求 的根; ?把根與區間端點(diǎn)函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。
五、常用邏輯用語(yǔ)：
1、四種命題：
�、旁}：若p則q;⑵逆命題：若q則p;⑶否命題：若 p則 q;⑷逆否命題：若 q則 p
注：
1、原命題與逆否命題等價(jià);逆命題與否命題等價(jià)。判斷命題真假時(shí)注意轉化。
2、注意命題的否定與否命題的區別：命題否定形式是 ;否命題是 .命題“ 或 ”的否定是“ 且 ”;“ 且 ”的否定是“ 或 ”.
3、邏輯聯(lián)結詞：
�、徘�(and) ：命題形式 p q; p q p q p q p
�、苹�(or)：命題形式 p q; 真 真 真 真 假
�、欠�(not)：命題形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”;
“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”;
“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”
4、充要條件
由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件;由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。
5、全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題：
短語(yǔ)“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題。
短語(yǔ)“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號 表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。
全稱(chēng)命題p： ; 全稱(chēng)命題p的否定 p：。
特稱(chēng)命題p： ; 特稱(chēng)命題p的否定 p：
數學(xué)知識點(diǎn)總結2
�。�1）先看“充分條件和必要條件”
當命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p=>q，則我們稱(chēng)p為q的充分條件，q是p的必要條件。這里由p=>q，得出p為q的充分條件是容易理解的。
但為什么說(shuō)q是p的必要條件呢？
事實(shí)上，與“p=>q”等價(jià)的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是說(shuō)，q對于p是必不可少的，因而是必要的。
�。�2）再看“充要條件”
若有p=>q，同時(shí)q=>p，則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡(jiǎn)稱(chēng)為p是q的充要條件。記作p<=>q
�。�3）定義與充要條件
數學(xué)中，只有A是B的充要條件時(shí)，才用A去定義B，因此每個(gè)定義中都包含一個(gè)充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說(shuō)，一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。
顯然，一個(gè)定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一個(gè)含有充要條件的語(yǔ)句來(lái)表示。
“充要條件”有時(shí)還可以改用“當且僅當”來(lái)表示，其中“當”表示“充分”�！皟H當”表示“必要”。
�。�4）一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質(zhì)定理中的“結論”都可作為必要條件。
高考數學(xué)集合復習知識點(diǎn)
1、集合的概念
集合是數學(xué)中最原始的不定義的概念，只能給出，描述性說(shuō)明：某些制定的且不同的對象集合在一起就稱(chēng)為一個(gè)集合。組成集合的對象叫元素，集合通常用大寫(xiě)字母A、B、C、…來(lái)表示。元素常用小寫(xiě)字母a、b、c、…來(lái)表示。
集合是一個(gè)確定的整體，因此對集合也可以這樣描述：具有某種屬性的對象的全體組成的一個(gè)集合。
2、元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系有屬于和不屬于兩種：元素a屬于集合A，記做a∈A；元素a不屬于集合A，記做a？A。
3、集合中元素的特性
�。�1）確定性：設A是一個(gè)給定的集合，x是某一具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。例如A={0，1，3，4}，可知0∈A，6？A。
�。�2）互異性：“集合張的元素必須是互異的”，就是說(shuō)“對于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的”。
�。�3）無(wú)序性：集合與其中元素的排列次序無(wú)關(guān)，如集合{a，b，c}與集合{c，b，a}是同一個(gè)集合。
4、集合的分類(lèi)
集合科根據他含有的元素個(gè)數的多少分為兩類(lèi)：
有限集：含有有限個(gè)元素的集合。如“方程3x+1=0”的解組成的集合”，由“2，4，6，8，組成的集合”，它們的元素個(gè)數是可數的，因此兩個(gè)集合是有限集。
無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合，如“到平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等于所有點(diǎn)”“所有的三角形”，組成上述集合的元素不可數的，因此他們是無(wú)限集。
特別的，我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記錯F，如{x？R|+1=0}。
5、特定的集合的表示
為了書(shū)寫(xiě)方便，我們規定常見(jiàn)的數集用特定的字母表示，下面是幾種常見(jiàn)的數集表示方法，請牢記。
�。�1）全體非負整數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)非負整數集（或自然數集），記做N。
�。�2）非負整數集內排出0的集合，也稱(chēng)正整數集，記做N�；騈+。
�。�3）全體整數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為整數集Z。
�。�4）全體有理數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為有理數集，記做Q。
�。�5）全體實(shí)數的集合通常簡(jiǎn)稱(chēng)為實(shí)數集，記做R。
不等式的解集：
�、倌苁共坏仁匠闪⒌奈粗獢档闹�，叫做不等式的解。
�、谝粋�(gè)含有未知數的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。
�、矍蟛坏仁浇饧倪^(guò)程叫做解不等式。
不等式的判定：
�、俪Ｒ�(jiàn)的不等號有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。分別讀作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
�、谠诓坏仁健癮>b”或“a
�、鄄坏忍柕拈_(kāi)口所對的數較大，不等號的尖頭所對的數較��；
�、茉诹胁坏仁綍r(shí)，一定要注意不等式關(guān)系的關(guān)鍵字，如：正數、非負數、不大于、小于等等。
數學(xué)知識點(diǎn)總結3
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。
2、集合的中元素的三個(gè)特性：1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無(wú)序性.
3、集合的表示：(1){?}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}4
�。系谋硎痉椒ǎ毫信e法與描述法。
常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實(shí)數集R
5.關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表
示某些對象是否屬于這個(gè)集合的方法。6、集合的分類(lèi)：
(1)．有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)．無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合
(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?
2．“相等”關(guān)系:對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，即：A=B
�、偃魏我粋�(gè)集合是它本身的子集。即A?A
�、谌绻鸄?B,且A?B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A B(或BA)
�、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C④如果A?B同時(shí)B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算
1．交集的定義：一般地，由所有屬于A(yíng)且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．
記作A∩B(讀作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集與補集（1）補集：設S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即A?S），由S中所有不屬于A(yíng)的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}
�。�2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。
�。�3）性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U二、函數的有關(guān)概念
合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．
能使函數式有意義的實(shí)數x的集合稱(chēng)為函數的定義域，求函數的定義域時(shí)列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過(guò)四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.
2.構成函數的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域
再注意：（1）由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數相等（或為同一函數）（2）兩個(gè)函數相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
3．區間的概念（1）區間的分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間；（2）無(wú)窮區間；（3）區間的數軸表示．4．映射一般地，設A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：A?B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A?B”
給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說(shuō)明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應滿(mǎn)足：（Ⅰ）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個(gè)；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
5.常用的函數表示法:解析法：圖象法：列表法：
6.分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（1）分段函數是一個(gè)函數，不要把它誤認為是幾個(gè)函數；
�。�2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．7．函數單調性（1）．設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個(gè)區間D內的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當x1 如果對于區間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當x1 注意：函數的單調性是在定義域內的某個(gè)區間上的性質(zhì)，是函數的局部性質(zhì)； �。�2）圖象的特點(diǎn)如果函數y=f(x)在某個(gè)區間是增函數或減函數，那么說(shuō)函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法 (A)定義法：○1任取x1，x2∈D，且x1 8．函數的奇偶性 �。�1）一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數． �。�2）．一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數． 注意：○1函數是奇函數或是偶函數稱(chēng)為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質(zhì)；函數可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。 2由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內的任意一個(gè)x，○ 則－x也一定是定義域內的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)）．（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征 偶函數的圖象關(guān)于y軸對稱(chēng)；奇函數的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)． 總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：○1首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)；○2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；○3作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．9、函數的解析表達式 �。�1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域. �。�2）.求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時(shí)，可用待定系數法；已知復合函數f[g(x)]的表達式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)。 補充不等式的解法與二次函數（方程）的性質(zhì) 把一個(gè)合數用質(zhì)因數相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數。 例如把28分解質(zhì)因數 28=2×2×7 幾個(gè)數公有的因數，叫做這幾個(gè)數的公因數。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數的最大公因數，例如12的約數有1、2、3、4、6、12;18的約數有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因數，6是它們的最大公因數。 公約數只有1的兩個(gè)數，叫做互質(zhì)數，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數，有下列幾種情況： 1和任何自然數互質(zhì)。 相鄰的兩個(gè)自然數互質(zhì)。 兩個(gè)不同的質(zhì)數互質(zhì)。 當合數不是質(zhì)數的倍數時(shí)，這個(gè)合數和這個(gè)質(zhì)數互質(zhì)。 兩個(gè)合數的公約數只有1時(shí)，這兩個(gè)合數互質(zhì)，如果幾個(gè)數中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)這幾個(gè)數兩兩互質(zhì)。 如果較小數是較大數的因數，那么較小數就是這兩個(gè)數的最大公因數。 如果兩個(gè)數是互質(zhì)數，它們的最大公因數就是1。 幾個(gè)數公有的倍數，叫做這幾個(gè)數的公倍數，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數的最小公倍數，如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、 ?? 3的倍數有3、6、9、12、15、18 ?? 其中6、12、18??是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數。。 如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個(gè)數的最小公倍數。 如果兩個(gè)數是互質(zhì)數，那么這兩個(gè)數的積就是它們的最小公倍數。 幾個(gè)數的公因數的個(gè)數是有限的，而幾個(gè)數的公倍數的個(gè)數是無(wú)限的。 考點(diǎn)要求： 1、幾何體的展開(kāi)圖、幾何體的三視圖仍是高考的'熱點(diǎn)。 2、三視圖和其他的知識點(diǎn)結合在一起命題是新教材中考查學(xué)生三視圖及幾何量計算的趨勢。 3、重點(diǎn)掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結構特征的題型。 4、要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長(cháng)（正）方體、三棱錐等幾何體的三視圖。 知識結構： 1、多面體的結構特征 �。�1）棱柱有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行。 正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形。 �。�2）棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。 正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐。特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體。反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心。 �。�3）棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形。 2、旋轉體的結構特征 �。�1）圓柱可以由矩形繞一邊所在直線(xiàn)旋轉一周得到。 �。�2）圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線(xiàn)旋轉一周得到。 �。�3）圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線(xiàn)旋轉一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線(xiàn)旋轉半周得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到。 �。�4）球可以由半圓面繞直徑旋轉一周或圓面繞直徑旋轉半周得到。 3、空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖。 三視圖的長(cháng)度特征：“長(cháng)對正，寬相等，高平齊”，即正視圖和側視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長(cháng)，側視圖和俯視圖一樣寬。若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線(xiàn)是它們的分界線(xiàn)，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線(xiàn)的畫(huà)法。 4、空間幾何體的直觀(guān)圖 空間幾何體的直觀(guān)圖常用斜二測畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本步驟是： �。�1）畫(huà)幾何體的底面 在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它們畫(huà)成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x(chóng)′O′y′=45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中平行于x′軸、y′軸。已知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中長(cháng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(cháng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半。 �。�2）畫(huà)幾何體的高 在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀(guān)圖中對應的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中仍平行于z′軸且長(cháng)度不變。 �。ㄒ唬�、映射、函數、反函數 1、對應、映射、函數三個(gè)概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射。 2、對于函數的概念，應注意如下幾點(diǎn)： �。�1）掌握構成函數的三要素，會(huì )判斷兩個(gè)函數是否為同一函數。 �。�2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問(wèn)題尋求變量間的函數關(guān)系式，特別是會(huì )求分段函數的解析式。 �。�3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復合函數，其中g(shù)（x）為內函數，f（u）為外函數。 3、求函數y=f（x）的反函數的一般步驟： �。�1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域； �。�2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）； �。�3）將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f—1（x），并注明定義域。 注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起。 �、谑煜さ膽�，求f—1（x0）的值，合理利用這個(gè)結論，可以避免求反函數的過(guò)程，從而簡(jiǎn)化運算。 �。ǘ�、函數的解析式與定義域 1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒(méi)有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫(xiě)出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時(shí)，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類(lèi)型： �。�1）有時(shí)一個(gè)函數來(lái)自于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這時(shí)自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結合實(shí)際意義考慮； �。�2）已知一個(gè)函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如： �、俜质降姆帜覆坏脼榱�； �、谂即畏礁谋婚_(kāi)方數不小于零； �、蹖岛瘮档恼鏀当仨毚笥诹�； �、苤笖岛瘮岛蛯岛瘮档牡讛当仨毚笥诹闱也坏扔�1； �、萑呛瘮抵械恼泻瘮祔=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。 應注意，一個(gè)函數的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。 �。�3）已知一個(gè)函數的定義域，求另一個(gè)函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。 已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿(mǎn)足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時(shí)f（x）的定義域，即g（x）的值域。 2、求函數的解析式一般有四種情況。 �。�1）根據某實(shí)際問(wèn)題需建立一種函數關(guān)系時(shí)，必須引入合適的變量，根據數學(xué)的有關(guān)知識尋求函數的解析式。 �。�2）有時(shí)題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。 �。�3）若題設給出復合函數f[g（x）]的表達式時(shí)，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時(shí)必須求出g（x）的值域，這相當于求函數的定義域。 �。�4）若已知f（x）滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。 �。ㄈ�、函數的值域與最值 1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下： �。�1）直接法：亦稱(chēng)觀(guān)察法，對于結構較為簡(jiǎn)單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀(guān)察得出函數的值域。 �。�2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡(jiǎn)單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時(shí)用代數換元，當根式里是二次式時(shí)，用三角換元。 �。�3）反函數法：利用函數f（x）與其反函數f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過(guò)求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可采用此法求得。 �。�4）配方法：對于二次函數或二次函數有關(guān)的函數的值域問(wèn)題可考慮用配方法。 �。�5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數的值域，不過(guò)應注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。 �。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。 �。�7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個(gè)定義域的子集上）的單調性，可采用單調性法求出函數的值域。 �。�8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域。 2、求函數的最值與值域的區別和聯(lián)系 求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數的值域中存在一個(gè)最�。ù螅⿺�，這個(gè)數就是函數的最�。ù螅┲�。因此求函數的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同，因而答題的方式就有所相異。 如函數的值域是（0，16]，值是16，無(wú)最小值。再如函數的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數無(wú)值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時(shí)，函數的最小值為2�？梢�(jiàn)定義域對函數的值域或最值的影響。 3、函數的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應用 函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實(shí)際問(wèn)題上，從文字表述上常常表現為“工程造價(jià)最低”，“利潤”或“面積（體積）（最�。钡戎T多現實(shí)問(wèn)題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。 �。ㄋ模�、函數的奇偶性 1、函數的奇偶性的定義：對于函數f（x），如果對于函數定義域內的任意一個(gè)x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數f（x）就叫做奇函數（或偶函數）。 正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點(diǎn)：（1）定義域在數軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)是函數f（x）為奇函數或偶函數的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數定義域上的整體性質(zhì)）。 2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時(shí)需要將函數化簡(jiǎn)或應用定義的等價(jià)形式： 注意如下結論的運用： �。�1）不論f（x）是奇函數還是偶函數，f（|x|）總是偶函數； �。�2）f（x）、g（x）分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函數，f（x）·g（x）是偶函數，類(lèi)似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”； �。�3）奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數； �。�4）奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。 3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結論 �。�1）一個(gè)函數為奇函數的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)；一個(gè)函數為偶函數的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱(chēng)。 �。�2）如要函數的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數。 �。�3）若奇函數f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0成立。 �。�4）若f（x）是具有奇偶性的區間單調函數，則奇（偶）函數在正負對稱(chēng)區間上的單調性是相同（反）的。 �。�5）若f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則F（x）=f（x）+f（—x）是偶函數，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函數。 �。�6）奇偶性的推廣 函數y=f（x）對定義域內的任一x都有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，即y=f（a+x）為偶函數。函數y=f（x）對定義域內的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）成中心對稱(chēng)圖形，即y=f（a+x）為奇函數。 學(xué)好數學(xué)的方法 學(xué)好數學(xué)第一要養成預習的習慣。這是我多年學(xué)習數學(xué)的一個(gè)好方法，因為提前把老師要講的知識先學(xué)一遍，就知道自己哪里不會(huì )，學(xué)的時(shí)候就有重點(diǎn)。當然，如果完全自學(xué)就懂更好了。 第二是書(shū)后做練習題。預習完不是目的，有時(shí)間可以把例題和課后練習題做了，檢查預習情況，如果都會(huì )做說(shuō)明學(xué)會(huì )了，即使不會(huì )還能再聽(tīng)老師講一遍。 第三個(gè)步驟是做老師布置的作業(yè)，認真做。做的時(shí)候可以把解題過(guò)程直接寫(xiě)在題目旁邊，比如選擇題和填空題，因為解答題有很多空白處可寫(xiě)。這樣做的好處就是，老師講題時(shí)能跟上思路，不容易走神。 第四個(gè)學(xué)好數學(xué)的方法是整理錯題。每次考試結束后，總會(huì )有很多錯題，對于這些題目，我們不要以為上課聽(tīng)懂了就會(huì )做了，看花容易繡花難，親手做過(guò)了才知道會(huì )不會(huì )。而且要把錯的題目對照書(shū)本去看，重新學(xué)習知識。 第五個(gè)提高數學(xué)成績(jì)的方法是查缺補漏。在做了大量習題以后，數學(xué)成績(jì)有所提高，但還是存在一些不會(huì )做的題目，我們要善于發(fā)現哪些類(lèi)型的題目還存在盲區，然后逐一擊破。 下一個(gè)方法是提高數學(xué)分數段�？赡軘祵W(xué)學(xué)了一段時(shí)間，成績(jì)老是上不去，這是要總結差在哪里？基礎題還是拔高題，然后對自己提出高要求，基礎題目爭取不丟分，然后做一些有難度的題目。 第七個(gè)數學(xué)提分方法是掌握一些數學(xué)解題思路。數學(xué)很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的，大家要善于發(fā)現和總結，比如歸納法、分類(lèi)討論法等等。 第八個(gè)學(xué)好數學(xué)的方法是“鉆”。當遇到難題百思不得其解時(shí)，學(xué)霸們的做法通常是思考一兩天，而學(xué)酥的做法則是一掃而過(guò)，其中的差別已經(jīng)很明顯了，這也是成績(jì)差異的原因所在。 要想提高數學(xué)分數，最明智的做法是，考試遇到不會(huì )的題目先放過(guò)去，做完其他題目再回過(guò)頭來(lái)重新做難題。但不能連著(zhù)放過(guò)去好幾道題目，那就有問(wèn)題了。 最后一個(gè)提分方法就是合理安排答題時(shí)間，規定做選擇題和大題各多長(cháng)時(shí)間，然后按照既定時(shí)間去做，這樣才能最有效的提高數學(xué)分數。 數學(xué)集合知識點(diǎn) 1、集合的含義 2、集合的中元素的三個(gè)特性： �。�1）元素的確定性如：世界上最高的山 �。�2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y} �。�3）元素的無(wú)序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個(gè)集合 3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} �。�1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5} �。�2）集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數集及其記法： 非負整數集（即自然數集）記作：N 正整數集N_或N+整數集Z有理數集Q實(shí)數集R 1）列舉法：{a，b，c……} 2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大 括號內表示集合的方法。{x∈R|x—3>2}，{x|x—3>2} 3）語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn圖： 4、集合的分類(lèi)： �。�1）有限集含有有限個(gè)元素的集合 �。�2）無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合 �。�3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝ 一、角的定義 “靜態(tài)”概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角。 “動(dòng)態(tài)”概念：角可以看作是一條射線(xiàn)繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉到另一個(gè)位置所形成的圖形。 如果一個(gè)角的兩邊成一條直線(xiàn)，那么這個(gè)角叫做平角;平角的一半叫直角;大于直角小于平角的角叫做鈍角;大于0小于直角的角叫做銳角。 二、角的換算：1周角=2平角=4直角=360°; 1平角=2直角=180°; 1直角=90°; 1度=60分=3600秒(即：1°=60′=3600″); 1分=60秒(即：1′=60″). 三、余角、補角的概念和性質(zhì)： 概念：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，那么這兩個(gè)角叫做互為補角。 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角叫做互為余角。 說(shuō)明：互補、互余是指兩個(gè)角的數量關(guān)系，沒(méi)有位置關(guān)系。 性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等; 同角(或等角)的補角相等。 四、角的比較方法： 角的大小比較，有兩種方法： (1)度量法(利用量角器); (2)疊合法(利用圓規和直尺)。 五、角平分線(xiàn)：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線(xiàn)。把這個(gè)角分成相等的兩部分，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。 常見(jiàn)考法 (1)考查與時(shí)鐘有關(guān)的問(wèn)題;(2)角的計算與度量。 誤區提醒 角的度、分、秒單位的換算是60進(jìn)制，而不是10進(jìn)制，換算時(shí)易受10進(jìn)制影響而出錯。 【典型例題】(20xx云南曲靖)從3時(shí)到6時(shí)，鐘表的時(shí)針旋轉角的度數是( ) 【答案】3時(shí)到6時(shí)，時(shí)針旋轉的是一個(gè)周角的1/4，故是90度 ，本題選C. 高考數學(xué)重要知識點(diǎn)整理 一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟 �、苯⑦m當的坐標系，設出動(dòng)點(diǎn)M的坐標; �、矊�(xiě)出點(diǎn)M的集合; �、沉谐龇匠�=0; �、椿�(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式; �、禉z驗。 二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數法和交軌法等。 �、敝弊g法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。 �、捕x法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線(xiàn)的定義，則可利用曲線(xiàn)的定義寫(xiě)出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。 �、诚嚓P(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(x0，y0)所滿(mǎn)足的曲線(xiàn)方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。 �、磪捣ǎ寒攧�(dòng)點(diǎn)坐標x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一變數t的關(guān)系，得再消去參變數t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法。 �、到卉壏ǎ簩蓜�(dòng)曲線(xiàn)方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。 6.直譯法：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟 �、俳ㄏ怠⑦m當的坐標系; �、谠O點(diǎn)——設軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y); �、哿惺健谐鰟�(dòng)點(diǎn)p所滿(mǎn)足的關(guān)系式; �、艽鷵Q——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡(jiǎn); �、葑C明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。 人教版高三年級高考數學(xué)必考知識點(diǎn) �、僬忮F各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正棱錐的斜高). �、谡忮F的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個(gè)直角三角形. �、翘厥饫忮F的頂點(diǎn)在底面的射影位置： �、倮忮F的側棱長(cháng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心. �、诶忮F的側棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心. �、劾忮F的各側面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內心. �、芾忮F的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內心. �、萑忮F有兩組對棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心. �、奕忮F的三條側棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心. �、呙總�(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑; �、嗝總�(gè)四面體都有內切球，球心 是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑. [注]： i.各個(gè)側面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.(×)(各個(gè)側面的等腰三角形不知是否全等) ii.若一個(gè)三角錐，兩條對角線(xiàn)互相垂直，則第三對角線(xiàn)必然垂直. 簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD.令得，已知則. iii.空間四邊形OABC且四邊長(cháng)相等，則順次連結各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形. iv.若是四邊長(cháng)與對角線(xiàn)分別相等，則順次連結各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形. 簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形 EFGH為長(cháng)方形.若對角線(xiàn)等，則為正方形. 高三數學(xué)高考復習知識點(diǎn) 數列是高中數學(xué)的重要內容，又是學(xué)習高等數學(xué)的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會(huì )遺漏。有關(guān)數列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來(lái)，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學(xué)歸納法綜合在一起。 探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數列解答題中出現。本章中還蘊含著(zhù)豐富的數學(xué)思想，在主觀(guān)題中著(zhù)重考查函數與方程、轉化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學(xué)方法。 近幾年來(lái)，高考關(guān)于數列方面的命題主要有以下三個(gè)方面; (1)數列本身的有關(guān)知識，其中有等差數列與等比數列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。 (2)數列與其它知識的結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合。 (3)數列的應用問(wèn)題，其中主要是以增長(cháng)率問(wèn)題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大。 1.在掌握等差數列、等比數列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題; 2.在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學(xué)思想方法的認識，溝通各類(lèi)知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò )，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力， 進(jìn)一步培養學(xué)生閱讀理解和創(chuàng )新能力，綜合運用數學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。 集合的有關(guān)概念 1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合(集).其中每一個(gè)對象叫元素 注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線(xiàn)的概念類(lèi)似。 �、诩现械脑鼐哂写_定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無(wú)序性({a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合)。 �、奂暇哂袃煞矫娴囊饬x，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件 2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法 3)集合的分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集。 4)常用數集：N，Z，Q，R，N 子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念 1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)補集：CUA={x|xA但x∈U} 注意：A，若A≠?，則?A; 若且，則A=B(等集) 集合與元素 掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。 子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系 �、貯∩B=AAB;②A(yíng)∪B=BAB;③ABCuACuB; �、蹵∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 交、并集運算的性質(zhì) �、貯∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A(yíng)∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A; �、跜u(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 有限子集的個(gè)數： 設集合A的元素個(gè)數是n，則A有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)非空子集，2n-2個(gè)非空真子集。 練習題： 已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿(mǎn)足關(guān)系() A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM 分析一：從判斷元素的共性與區別入手。 解答一：對于集合M：{x|x=,m∈Z};對于集合N：{x|x=,n∈Z} 對于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以MN=P，故選B。 正數和負數 �、�、正數和負數的概念 負數：比0小的數正數：比0大的數0既不是正數，也不是負數 注意：①字母a可以表示任意數，當a表示正數時(shí)，—a是負數；當a表示負數時(shí)，—a是正數；當a表示0時(shí)，—a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說(shuō)法是錯誤的，例如+a，—a就不能做出簡(jiǎn)單判斷） �、谡龜涤袝r(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“+”省略不寫(xiě)。所以省略“+”的正數的符號是正號。 2、具有相反意義的量 若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如： 零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：—8℃ 3、0表示的意義 �。�1）0表示“沒(méi)有”，如教室里有0個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒(méi)有人； �。�2）0是正數和負數的分界線(xiàn)，0既不是正數，也不是負數。如： �。�3）0表示一個(gè)確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準，則0米就表示海平面。 有理數 1、有理數的概念 �。�1）正整數、0、負整數統稱(chēng)為整數（0和正整數統稱(chēng)為自然數） �。�2）正分數和負分數統稱(chēng)為分數 �。�3）正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫(xiě)成分數的形式，這樣的數稱(chēng)為有理數。 理解：只有能化成分數的數才是有理數。①π是無(wú)限不循環(huán)小數，不能寫(xiě)成分數形式，不是有理數。②有限小數和無(wú)限循環(huán)小數都可化成分數，都是有理數。③整數也能化成分數，也是有理數 注意：引入負數以后，奇數和偶數的范圍也擴大了，像—2，—4，—6，—8也是偶數，—1，—3，—5也是奇數。 1、學(xué)會(huì )三視圖的分析： 2、斜二測畫(huà)法應注意的地方： �。�1）在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy。畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它畫(huà)成對應軸o'x'、o'y'、使∠x(chóng)'o'y'=45°（或135°）；（2）平行于x軸的線(xiàn)段長(cháng)不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(cháng)減半。（3）直觀(guān)圖中的45度原圖中就是90度，直觀(guān)圖中的90度原圖一定不是90度。 3、表（側）面積與體積公式： �、胖w：①表面積：S=S側+2S底；②側面積：S側=；③體積：V=S底h �、棋F體：①表面積：S=S側+S底；②側面積：S側=；③體積：V=S底h： �、桥_體①表面積：S=S側+S上底S下底②側面積：S側= �、惹蝮w：①表面積：S=；②體積：V= 4、位置關(guān)系的證明（主要方法）：注意立體幾何證明的書(shū)寫(xiě) �。�1）直線(xiàn)與平面平行：①線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行；②面面平行線(xiàn)面平行。 �。�2）平面與平面平行：①線(xiàn)面平行面面平行。 �。�3）垂直問(wèn)題：線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)面垂直面面垂直。核心是線(xiàn)面垂直：垂直平面內的兩條相交直線(xiàn) 5、求角：（步驟———————Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） �、女惷嬷本�(xiàn)所成角的求法：平移法：平移直線(xiàn)，構造三角形； �、浦本�(xiàn)與平面所成的角：直線(xiàn)與射影所成的角 知識點(diǎn)一橢圓的定義 平面內到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(大于)的點(diǎn)的集合叫做橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。 根據橢圓的定義可知：橢圓上的點(diǎn)M滿(mǎn)足集合，，且都為常數。 當即時(shí)，集合P為橢圓。 當即時(shí)，集合P為線(xiàn)段。 當即時(shí)，集合P為空集。 知識點(diǎn)二橢圓的標準方程 (1)，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)。 (2)，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)。 知識點(diǎn)三橢圓方程的一般式 這種形式的方程在課本中雖然沒(méi)有明確給出，但在應用中有時(shí)比較方便，在此提供出來(lái)，作為參考： (其中為同號且不為零的常數，)，它包含焦點(diǎn)在軸或軸上兩種情形。方程可變形為。 當時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上;當時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。 一般式，通常也設為，應特別注意均大于0，標準方程為。 知識點(diǎn)四橢圓標準方程的求法 1.定義法 橢圓標準方程可由定義直接求得，這是求橢圓方程中很重要的方法之一,當問(wèn)題是以實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，一定要注意使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此要恰當地表示橢圓的范圍。 例1、在△ABC中，A、B、C所對三邊分別為，且B(-1,0)C(1,0)，求滿(mǎn)足，且成等差數列時(shí)，頂點(diǎn)A的曲線(xiàn)方程。 變式練習1.在△ABC中，點(diǎn)B(-6,0)、C(0,8)，且成等差數列。 (1)求證：頂點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運動(dòng)。 (2)指出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標以及焦距。 2.待定系數法 首先確定標準方程的類(lèi)型，并將其用有關(guān)參數表示出來(lái)，然后結合問(wèn)題的條件，建立參數滿(mǎn)足的等式，求得的值，再代入所設方程，即一定性，二定量，最后寫(xiě)方程。 例2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)，=3b，求橢圓的標準方程。 例3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標軸為對稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓方程。 變式練習2.求適合下列條件的橢圓的方程; (1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是(-3,0)，(3,0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0). (2)兩焦點(diǎn)在坐標軸上，兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標原點(diǎn)，焦距為8，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12. 3.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求橢圓的標準方程。 4.求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓標準方程。 知識點(diǎn)五共焦點(diǎn)的橢圓方程的求解 一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設其方程為。 例4、過(guò)點(diǎn)(-3,2)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為() A.B.C.D. 變式練習5.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，-3)且橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。 知識點(diǎn)六與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的求解方法 與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求解是一種很重要的題型，教材中的例題就是利用代入求球軌。跡，其基本思路是設出軌跡上一點(diǎn)和已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)，建立其關(guān)系，再代入。 例5、已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)段,點(diǎn)在上，并且,求點(diǎn)的軌跡。 知識點(diǎn)七與弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的求解方法 直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)、,稱(chēng)線(xiàn)段為橢圓的相交弦。與這個(gè)弦中點(diǎn)有點(diǎn)的軌跡問(wèn)題是一類(lèi)綜合性很強的題目，因此解此類(lèi)問(wèn)題必須選擇一個(gè)合理的方法，如“設而不求”法，其主要特點(diǎn)是巧代線(xiàn)段的斜率。其方程具體是：設直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，坐標分別為、，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則有 �、偈�-②式，得，即 ∴ 通常將此方程用于求弦中點(diǎn)的軌跡方程。 例6.已知：橢圓，求： (1)以P(2，-1)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程; (2)斜率為2的相交弦中點(diǎn)的軌跡方程; (3)過(guò)Q(8,2)的直線(xiàn)被橢圓截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程。 第二部分：鞏固練習 1.設為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的周長(cháng)是() A.16B.8C.D.無(wú)法確定 2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為() A.12B.4C.3D.2 3.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，那么等于() A.-1B.1C.D.- 4.已知橢圓的焦點(diǎn)是，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(cháng)到,使得,那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是() A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)的一支D.拋物線(xiàn) 5.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是__________. 6.橢圓的焦點(diǎn)坐標是___________. 7.橢圓的焦距為2，則正數的值____________. 數學(xué)學(xué)習方法 1、建立數學(xué)糾錯本。做作業(yè)或復習時(shí)做錯了題，一旦搞明白，決不放過(guò)，建立一本錯誤登記本，以降低重復性錯誤，不怕第一次不會(huì )，不怕第一次出錯，就怕下一次還犯同樣的錯誤把平時(shí)容易出現錯誤的知識或推理記載下來(lái)，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、 防錯。達到：平時(shí)作業(yè)、課外做題及考試中，對出錯的數學(xué)題建立錯題集很有必要。 2、記憶數學(xué)規律和數學(xué)小結論。 3、經(jīng)常進(jìn)行一題多解，一題多變，從多側面、多角度思考問(wèn)題，挖掘問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。 4、經(jīng)常在做題后進(jìn)行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎知識，數學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，本題的分析方法與解法，在解其它問(wèn)題時(shí)，是否也用到過(guò)。無(wú)論是作業(yè)還是測驗，都應把準確性放在第一位，通法放在第一位。 5、理解和弄懂所學(xué)的數學(xué)知識，知其然并知其所以然。學(xué)習不僅要理解和記住概念、定理、公式、法則等，而且還要想一想它們是如何得來(lái)的，與前面的知識是怎樣聯(lián)系著(zhù)的，表達中省略了什么，關(guān)鍵在哪里，對知識是否有新的認識，有否想到其他的解法等等。這樣細加分析、考慮后，就會(huì )對內容增添某些注解，補充一些新的解法或產(chǎn)生新的認識等。 6、把學(xué)過(guò)內容貫串起來(lái)，加以融會(huì )貫通，提煉出它的精神實(shí)質(zhì)，抓住重點(diǎn)、線(xiàn)索和基本思想方法，組織整理成精煉的內容。這時(shí)由于知識出現高度概括，就更能促進(jìn)知識的遷移，也更有利于進(jìn)一步學(xué)習。 怎么樣才能打好數學(xué)基礎 第一，重視數學(xué)公式。有很多同學(xué)數學(xué)學(xué)不好就是因為對概念和公式不夠重視，具體的表現為對數學(xué)概念的理解只是停留在表明，不去挖掘引申的含義，對數學(xué)概念的特殊情況不明白。還有對數學(xué)概念和公式有的學(xué)生只是死記硬背，學(xué)生缺乏對概念的理解。 還有一部分同學(xué)不重視對數學(xué)公式的記憶。其實(shí)記憶是理解的基礎。我們設想如果你不能將數學(xué)公式爛熟于心，那么又怎么能夠在數學(xué)題目中熟練的應用呢? 第二，就是總結那些相似的數學(xué)題目。當我們養成了總結歸納的習慣，那么的學(xué)生就會(huì )知道自己在解決數學(xué)題目的時(shí)候哪些是自己比較擅長(cháng)的，哪些是自己還不足的。 同時(shí)善于總結也會(huì )明白自己掌握哪些數學(xué)的解題方法，只有這樣你才能夠真正掌握了數學(xué)的解題技巧。其實(shí)，做到總結和歸納是學(xué)會(huì )數學(xué)的關(guān)鍵，如果學(xué)生不會(huì )做到這一點(diǎn)那么久而久之，不會(huì )的數學(xué)題目還是不會(huì )。 乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b||a|+|b| |a-b||a|+|b| |a|=ab |a-b||a|-|b| -|a||a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根與系數的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達定理 判別式 b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 b2-4ac0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根 b2-4ac0 注：方程沒(méi)有實(shí)根，有共軛復數根 某些數列前n項和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角 由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?時(shí)也滿(mǎn)足B?A。解含有參數的集合問(wèn)題時(shí)，要特別注意當參數在某個(gè)范圍內取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況。 忽視集合元素的三性致誤 集合中的元素具有確定性、無(wú)序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數的集合，實(shí)際上就隱含著(zhù)對字母參數的一些要求。 混淆命題的否定與否命題 命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，命題p的否定是否定命題所作的判斷，而“否命題”是對“若p，則q”形式的命題而言，既要否定條件也要否定結論。 充分條件、必要條件顛倒致誤 對于兩個(gè)條件A，B，如果A?B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;如果B?A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;如果A?B，則A，B互為充分必要條件。解題時(shí)最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要根據充分條件和必要條件的概念作出準確的判斷。 “或”“且”“非”理解不準致誤 命題p∨q真?p真或q真，命題p∨q假?p假且q假(概括為一真即真);命題p∧q真?p真且q真，命題p∧q假?p假或q假(概括為一假即假);綈p真?p假，綈p假?p真(概括為一真一假)。求參數取值范圍的題目，也可以把“或”“且”“非”與集合的“并”“交”“補”對應起來(lái)進(jìn)行理解，通過(guò)集合的運算求解。 函數的單調區間理解不準致誤 在研究函數問(wèn)題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到“函數的圖像”，學(xué)會(huì )從函數圖像上去分析問(wèn)題、尋找解決問(wèn)題的方法。對于函數的幾個(gè)不同的單調遞增(減)區間，切忌使用并集，只要指明這幾個(gè)區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。 判斷函數奇偶性忽略定義域致誤 判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的定義域，一個(gè)函數具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，如果不具備這個(gè)條件，函數一定是非奇非偶函數。 函數零點(diǎn)定理使用不當致誤 如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖像是一條連續的曲線(xiàn)，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點(diǎn)，但f(a)f(b)>0時(shí)，不能否定函數y=f(x)在(a，b)內有零點(diǎn)。函數的零點(diǎn)有“變號零點(diǎn)”和“不變號零點(diǎn)”，對于“不變號零點(diǎn)”函數的零點(diǎn)定理是“無(wú)能為力”的，在解決函數的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意這個(gè)問(wèn)題。 三角函數的單調性判斷致誤 對于函數y=Asin(ωx+φ)的單調性，當ω>0時(shí)，由于內層函數u=ωx+φ是單調遞增的，所以該函數的單調性和y=sin x的單調性相同，故可完全按照函數y=sin x的單調區間解決;但當ω<0時(shí)，內層函數u=ωx+φ是單調遞減的，此時(shí)該函數的單調性和函數y=sinx的單調性相反，就不能再按照函數y=sinx的單調性解決，一般是根據三角函數的奇偶性將內層函數的系數變?yōu)檎龜岛笤偌右越鉀Q。對于帶有絕對值的三角函數應該根據圖像，從直觀(guān)上進(jìn)行判斷。 忽視零向量致誤 零向量是向量中最特殊的向量，規定零向量的長(cháng)度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線(xiàn)。它在向量中的位置正如實(shí)數中0的位置一樣，但有了它容易引起一些混淆，稍微考慮不到就會(huì )出錯，考生應給予足夠的重視。 向量夾角范圍不清致誤 解題時(shí)要全面考慮問(wèn)題。數學(xué)試題中往往隱含著(zhù)一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時(shí)把這些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當a·b<0時(shí)，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意θ=π的情況。 an與Sn關(guān)系不清致誤 在數列問(wèn)題中，數列的通項an與其前n項和Sn之間存在下列關(guān)系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。這個(gè)關(guān)系對任意數列都是成立的，但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的，在n=1和n≥2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個(gè)地方，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其“分段”的特點(diǎn)。 對數列的定義、性質(zhì)理解錯誤 等差數列的前n項和在公差不為零時(shí)是關(guān)于n的常數項為零的二次函數;一般地，有結論“若數列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，則數列{an}為等差數列的充要條件是c=0”;在等差數列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈Nx)是等差數列。 數列中的最值錯誤 數列問(wèn)題中其通項公式、前n項和公式都是關(guān)于正整數n的函數，要善于從函數的觀(guān)點(diǎn)認識和理解數列問(wèn)題。數列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是高考的命題重點(diǎn)，解題時(shí)要注意把n=1和n≥2分開(kāi)討論，再看能不能統一。在關(guān)于正整數n的二次函數中其取最值的點(diǎn)要根據正整數距離二次函數的對稱(chēng)軸的遠近而定。 錯位相減求和項處理不當致誤 錯位相減求和法的適用條件：數列是由一個(gè)等差數列和一個(gè)等比數列對應項的乘積所組成的，求其前n項和�；痉椒ㄊ窃O這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數列的公比得到另一個(gè)和式，這兩個(gè)和式錯一位相減，就把問(wèn)題轉化為以求一個(gè)等比數列的前n項和或前n-1項和為主的求和問(wèn)題.這里最容易出現問(wèn)題的就是錯位相減后對剩余項的處理。 不等式性質(zhì)應用不當致誤 在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要準確，特別是不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數式、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件，如果忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會(huì )出現錯誤。 忽視基本不等式應用條件致誤 利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b為正數(或a，b非負)，ab或a+b其中之一應是定值，特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a，b>0)的函數，在應用基本不等式求函數最值時(shí)，一定要注意ax，bx的'符號，必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，另外要注意自變量x的取值范圍，在此范圍內等號能否取到。 一、指數函數 (一)指數與指數冪的運算 1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_. 當是奇數時(shí)，正數的次方根是一個(gè)正數，負數的次方根是一個(gè)負數.此時(shí)，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開(kāi)方數(radicand). 當是偶數時(shí)，正數的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數互為相反數.此時(shí)，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負數沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。 注意：當是奇數時(shí)，當是偶數時(shí)， 2.分數指數冪 正數的分數指數冪的意義，規定： 0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒(méi)有意義 指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數指數冪. 3.實(shí)數指數冪的運算性質(zhì) (二)指數函數及其性質(zhì) 1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R. 注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1. 2、指數函數的圖象和性質(zhì) 【第三章：第三章函數的應用】 1、函數零點(diǎn)的概念：對于函數，把使成立的實(shí)數叫做函數的零點(diǎn)。 2、函數零點(diǎn)的意義：函數的零點(diǎn)就是方程實(shí)數根，亦即函數的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標。即： 方程有實(shí)數根函數的圖象與軸有交點(diǎn)函數有零點(diǎn). 3、函數零點(diǎn)的求法： 求函數的零點(diǎn)： (1)(代數法)求方程的實(shí)數根; (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數的性質(zhì)找出零點(diǎn). 4、二次函數的零點(diǎn)： 二次函數. 1)△>0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數有兩個(gè)零點(diǎn). 2)△=0，方程有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn). 3)△<0，方程無(wú)實(shí)根，二次函數的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數無(wú)零點(diǎn). 3.2.1幾類(lèi)不同增長(cháng)的函數模型 【課 型】新授課 【教學(xué)目標】 結合實(shí)例體會(huì )直線(xiàn)上升、指數爆炸、對數增長(cháng)等不同增長(cháng)的函數模型意義, 理解它們的增長(cháng)差異性. 【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】 1. 教學(xué)重點(diǎn) 將實(shí)際問(wèn)題轉化為函數模型，比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長(cháng)差異，結合實(shí)例體會(huì )直線(xiàn)上升、指數爆炸、對數增長(cháng)等不同函數類(lèi)型增長(cháng)的含義. 2.教學(xué)難點(diǎn) 選擇合適的數學(xué)模型分析解決實(shí)際問(wèn)題. 【學(xué)法與教學(xué)用具】 1. 學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，動(dòng)手畫(huà)圖，自主學(xué)習、思考，并相互討論，進(jìn)行探索. 2.教學(xué)用具：多媒體. 【教學(xué)過(guò)程】 (一)引入實(shí)例，創(chuàng )設情景. 教師引導學(xué)生閱讀例1，分析其中的數量關(guān)系，思考應當選擇怎樣的函數模型來(lái)描述;由學(xué)生自己根據數量關(guān)系，歸納概括出相應的函數模型，寫(xiě)出每個(gè)方案的函數解析式，教師在數量關(guān)系的分析、函數模型的選擇上作指導. (二)互動(dòng)交流，探求新知. 1. 觀(guān)察數據，體會(huì )模型. 教師引導學(xué)生觀(guān)察例1表格中三種方案的數量變化情況，體會(huì )三種函數的增長(cháng)差異，說(shuō)出自己的發(fā)現，并進(jìn)行交流. 2. 作出圖象，描述特點(diǎn). 教師引導學(xué)生借助計算器作出三個(gè)方案的函數圖象，分析三種方案的不同變化趨勢，并進(jìn)行描述，為方案選擇提供依據. (三)實(shí)例運用，鞏固提高. 1. 教師引導學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益，還要考慮一段時(shí)間內的總收益.學(xué)生通過(guò)自主活動(dòng)，分析整理數據，并根據其中的信息做出推理判斷，獲得累計收益并給出本例的完整解答，然后全班進(jìn)行交流. 2. 教師引導學(xué)生分析例2中三種函數的不同增長(cháng)情況對于獎勵模型的影響，使學(xué)生明確問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是比較三個(gè)函數的增長(cháng)情況，進(jìn)一步體會(huì )三種基本函數模型在實(shí)際中廣泛應用，體會(huì )它們的增長(cháng)差異. 3.教師引導學(xué)生分析得出：要對每一個(gè)獎勵模型的獎金總額是否超出5萬(wàn)元，以及獎勵比例是否超過(guò)25%進(jìn)行分析，才能做出正確選擇，學(xué)會(huì )對數據的特點(diǎn)與作用進(jìn)行分析、判斷。 4.教師引導學(xué)生利用解析式，結合圖象，對例2的三個(gè)模型的增長(cháng)情況進(jìn)行分析比較，寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.進(jìn)一步認識三個(gè)函數模型的增長(cháng)差異，并掌握解答的規范要求. 5.教師引導學(xué)生通過(guò)以上具體函數進(jìn)行比較分析，探究?jì)绾瘮?>0)、指數函數(>1)、對數函數(>1)在區間(0，+∞)上的增長(cháng)差異，并從函數的性質(zhì)上進(jìn)行研究、論證，同學(xué)之間進(jìn)行交流總結，形成結論性報告.教師對學(xué)生的結論進(jìn)行評析，借助信息技術(shù)手段進(jìn)行驗證演示. 6. 課堂練習 教材P98練習1、2，并由學(xué)生演示，進(jìn)行講評。 (四)歸納總結，提升認識. 教師通過(guò)計算機作圖進(jìn)行總結，使學(xué)生認識直線(xiàn)上升、指數爆炸、對數增長(cháng)等不同函數模型的含義及其差異，認識數學(xué)與現實(shí)生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，從而體會(huì )數學(xué)的實(shí)用價(jià)值和內在變化規律. (五)布置作業(yè) 教材P107練習第2題 收集一些社會(huì )生活中普遍使用的遞增的一次函數、指數函數、對數函數的實(shí)例，對它們的增長(cháng)速度進(jìn)行比較，了解函數模型的廣泛應用，并思考。有時(shí)同一個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以建立多個(gè)函數模型，在具體應用函數模型時(shí)，應該怎樣選用合理的函數模型. 3.2.2 函數模型的應用實(shí)例(Ⅰ) 【課 型】新授課 【教學(xué)目標】 能夠找出簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數關(guān)系式，初步體會(huì )應用一次函數、二次函數模型解決實(shí)際問(wèn)題. 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：運用一次函數、二次函數模型解決一些實(shí)際問(wèn)題. 2. 教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉變?yōu)閿祵W(xué)模型. 【學(xué)法與教學(xué)用具】 1. 學(xué)法：學(xué)生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式進(jìn)行探究. 2. 教學(xué)用具：多媒體 【教學(xué)過(guò)程】 (一)創(chuàng )設情景，揭示課題 引例：大約在一千五百年前，大數學(xué)家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雛兔各幾何?”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個(gè)“雞兔同籠”問(wèn)題的嗎?你有什么更好的方法?老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”.這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數量與它們頭的數量之差，就是兔子數，即：47-35=12;雞數就是：35-12=23. 比例激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣，增強其求知欲望. 可引導學(xué)生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問(wèn)題. (二)結合實(shí)例，探求新知 例1. 某列火車(chē)眾北京西站開(kāi)往石家莊，全程277km，火車(chē)出發(fā)10min開(kāi)出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫(xiě)出火車(chē)行駛的總路程S與勻速行駛的時(shí)間t之間的關(guān)系式，并求火車(chē)離開(kāi)北京2h內行駛的路程. 探索： 1)本例所涉及的變量有哪些?它們的取值范圍怎樣; 2)所涉及的變量的關(guān)系如何? 3)寫(xiě)出本例的解答過(guò)程. 老師提示：路程S和自變量t的取值范圍(即函數的定義域)，注意t的實(shí)際意義. 學(xué)生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析. 例2.某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價(jià)20元，茶杯每只定價(jià)5元，該商店制定了兩種優(yōu)惠辦法： 1)本例所涉及的變量之間的關(guān)系可用何種函數模型來(lái)描述? 2)本例涉及到幾個(gè)函數模型? 3)如何理解“更省錢(qián)?”; 4)寫(xiě)出具體的解答過(guò)程. 在學(xué)生自主思考，相互討論完成本例題解答之后，老師小結：通過(guò)以上兩例，數學(xué)模型是用數學(xué)語(yǔ)言模擬現實(shí)的一種模型，它把實(shí)際問(wèn)題中某些事物的主要特征和關(guān)系抽象出來(lái)，并用數學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達，這一過(guò)程稱(chēng)為建模，是解應用題的關(guān)鍵。數學(xué)模型可采用各種形式，如方程(組)，函數解析式，圖形與網(wǎng)絡(luò )等. 【數學(xué)知識點(diǎn)總結】相關(guān)文章： 數學(xué)相似知識點(diǎn)總結03-29 數學(xué)圓知識點(diǎn)總結11-03 初中數學(xué)知識點(diǎn)總結01-23 中考數學(xué)知識點(diǎn)總結08-11數學(xué)知識點(diǎn)總結4
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