高二數學(xué)三角與二項式系數的性質(zhì)的說(shuō)課稿
一、教學(xué)設計
——人教A版數學(xué)選修2-3第1章第3節第2課時(shí)
一、教材背景分析
1．教材的地位和作用
《“楊輝三角”與二項式系數的性質(zhì)》是全日制普通高級中學(xué)教科書(shū)人教A版選修2-3第1章第3節第2課時(shí). 教科書(shū)將二項式系數性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結合起來(lái)，是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內容，由它可以直觀(guān)看出二項式系數的性質(zhì)，“楊輝三角”是我國古代數學(xué)重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應抓住這一題材，對學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國主義教育，激勵學(xué)生的民族自豪感.
本節內容以前面學(xué)習的二項式定理為基礎，由于二項式系數組成的數列就是一個(gè)離散函數，引導學(xué)生從函數的角度研究二項式系數的性質(zhì)，便于建立知識的前后聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì )用函數知識研究問(wèn)題的方法，可以畫(huà)出它的圖象，利用幾何直觀(guān)、數形結合、特殊到一般的數學(xué)思想方法進(jìn)行思考，這對發(fā)現規律，形成證明思路等都有好處. 這一過(guò)程不僅有利于培養學(xué)生的思維能力、理性精神和實(shí)踐能力，也有利于學(xué)生理解本節課的核心數學(xué)知識，發(fā)展其數學(xué)應用意識.
研究二項式系數這組特定的組合數的性質(zhì)，對鞏固二項式定理，建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認識組合數、進(jìn)行組合數的計算和變形都有重要的作用，對后續學(xué)習微分方程等也具有重要地位.
2．學(xué)情分析
知識結構：學(xué)生已學(xué)習兩個(gè)計數原理和二項式定理，再讓學(xué)生課前探究“楊輝三角”包含的規律，結合“楊輝三角”，并從函數的角度研究二項式系數的性質(zhì).
心理特征：高二的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析、探究問(wèn)題的能力，恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引導就能建立知識之間的相互聯(lián)系，解決相關(guān)問(wèn)題.
3．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：體會(huì )用函數知識研究問(wèn)題的方法，理解二項式系數的性質(zhì).
難點(diǎn)：結合函數圖象，理解增減性與最大值時(shí)，根據n的奇偶性確定相應的分界點(diǎn)；利用賦值法證明二項式系數的性質(zhì).
關(guān)鍵：函數思想的滲透.
二、教學(xué)目標
1．通過(guò)課前組織學(xué)生開(kāi)展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現楊輝三角包含的規律”的學(xué)習活動(dòng)，讓學(xué)生感受我國古代數學(xué)成就及其數學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.
2．通過(guò)學(xué)生從函數的角度研究二項式系數的性質(zhì)，建立知識的前后聯(lián)系，體會(huì )用函數知識研究問(wèn)題的方法，培養學(xué)生的觀(guān)察能力和歸納推理能力.
3．通過(guò)體驗“發(fā)現規律、尋找聯(lián)系、探究證明、性質(zhì)運用”的學(xué)習過(guò)程，使學(xué)生掌握二項式系數的一些性質(zhì)，體會(huì )應用數形結合、特殊到一般進(jìn)行歸納、賦值法等重要數學(xué)思想方法解決問(wèn)題的“再創(chuàng )造”過(guò)程.
4．通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引入、引申，采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習方式，培養學(xué)生問(wèn)題意識，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng )新精神，激發(fā)學(xué)生探索、研究我國古代數學(xué)的熱情.
三、教法選擇和學(xué)法指導
教法：?jiǎn)?wèn)題引導、合作探究．
學(xué)法：從課前探究和課上展示中感知規律，結合“楊輝三角”和函數圖象性質(zhì)領(lǐng)悟性質(zhì)，在探究證明性質(zhì)中理解知識，螺旋上升地學(xué)習核心數學(xué)知識和滲透重要數學(xué)思想.
四、教學(xué)基本流程設計
五、教學(xué)過(guò)程
1. 展示成果話(huà)楊輝
課前開(kāi)展學(xué)習活動(dòng)：了解“楊輝三角”的歷史背景、地位和作用，探究與發(fā)現“楊輝三角”包含的規律.
�。�1）學(xué)生從不同的角度暢談“楊輝三角”，對它有何了解及認識.
�。�2）各小組展示探究與發(fā)現的成果——“楊輝三角”包含的一些規律.
【設計意圖】引導學(xué)生開(kāi)展課外學(xué)習，了解“楊輝三角”，探究與發(fā)現“楊輝三角”包含的規律，弘揚我國古代數學(xué)文化；展示探究與發(fā)現的楊輝三角的規律，為學(xué)習二項式系數的性質(zhì)埋下伏筆.
2. 感知規律悟性質(zhì)
通過(guò)課外學(xué)習，同學(xué)們觀(guān)察發(fā)現了楊輝三角的一些規律，并且知道楊輝三角的第 行就是 展開(kāi)式的二項式系數， 展開(kāi)式的二項式系數具有楊輝三角同行中的規律——對稱(chēng)性和增減性與最大值.
【設計意圖】尋找二項式系數與楊輝三角的關(guān)系，從而讓學(xué)生理解二項式系數具有楊輝三角同行中的規律.
3. 聯(lián)系舊知探新知
【問(wèn)題提出】怎樣證明 展開(kāi)式的二項式系數具有對稱(chēng)性和增減性與最大值呢？
【問(wèn)題探究】探究：（1） 展開(kāi)式的二項式系數 ， 可以看成是以 為自變量的函數 嗎？它的定義域是什么？
�。�2）畫(huà)出 和7時(shí)函數 的圖象，并觀(guān)察分析他們是否具有對稱(chēng)性和增減性與最大值.
�。�3）結合楊輝三角和所畫(huà)函數圖象說(shuō)明或證明二項式系數的性質(zhì).
對稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項式系數相等． ．
增減性與最大值： ，所以 相對于 的增減情況由 決定．由 可知，當 時(shí)，二項式系數是逐漸增大的．由對稱(chēng)性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當 的偶數時(shí)，中間的`一項取得最大值；當 是奇數時(shí)，中間的兩項 ， 相等，且同時(shí)取得最大值．
【設計意圖】教師引導學(xué)生用函數思想探究二項式系數的性質(zhì)，學(xué)生畫(huà)圖并觀(guān)察分析圖象性質(zhì)；運用特殊到一般、數形結合的數學(xué)思想歸納二項式系數的性質(zhì)，升華認識；通過(guò)分組討論、自主探究、合作交流，說(shuō)明或證明二項式系數的對稱(chēng)性和增減性與最大值，提高學(xué)生合作意識.
4. 合作交流議方法
【繼續探究】問(wèn)題： 展開(kāi)式的各二項式系數的和是多少？
探究：（1）計算 展開(kāi)式的二項式系數的和（ =1，2，3，4，5，6）.
�。�2）猜想 展開(kāi)式的二項式系數的和.
�。�3）怎樣證明你猜想的結論成立？
賦值法：已知 ，
令 ，則 ．
這就是說(shuō)， 的展開(kāi)式的各個(gè)二項式系數的和等于 ．
元集合子集的個(gè)數（兩個(gè)計數原理）.
分類(lèi)計數原理：
分步計數原理： 個(gè)2相乘，即 ．
所以 ．
【問(wèn)題拓展】你能求 嗎？
在展開(kāi)式 中，令 ，
則得 ，
即 ，所以 ，
在 的展開(kāi)式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.
【設計意圖】通過(guò)學(xué)生歸納猜想各二項式系數的和，引導學(xué)生驗證猜想結論是否正確；同時(shí)為了突破利用賦值法證明二項式系數性質(zhì)的難點(diǎn)，引導學(xué)生從模型化的角度出發(fā)，多角度的分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題，將學(xué)生思維推向高潮，既加深學(xué)生對前后知識的內在聯(lián)系的理解，又從深度和廣度上讓學(xué)生感受數學(xué)知識的串聯(lián)和呼應.
5. 反饋升華撥思路
練1． 的展開(kāi)式中的第四項和第八項的二項式系數相等，則 等于 .
練2． 的展開(kāi)式中前 項的二項式系數逐漸增大，后半部分逐漸減小，二項式系數取得最大值的是第 項.
練3．已知 ，求：
�。�1） ；（2） .
【設計意圖】促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步掌握二項式系數的性質(zhì)，學(xué)會(huì )用賦值法解決問(wèn)題，促進(jìn)其有意識的運用．
6. 懸念小結再求索
【課堂小結】 通過(guò)本節課的學(xué)習，你有什么收獲和體會(huì )（從數學(xué)和生活的角度）？還有什么疑問(wèn)嗎？
【課堂延伸】今天同學(xué)們展示了一些楊輝三角的規律，但是作為我國古代數學(xué)重要成就之一的楊輝三角還有更多有趣的規律，相信大家一定有極高的熱情和嚴謹的態(tài)度去探究與發(fā)現楊輝三角的奧妙之處.
【課外活動(dòng)】（研究性學(xué)習）
活動(dòng)主題：楊輝三角中的奧妙.
活動(dòng)目標：探究與發(fā)現楊輝三角中的更多奧妙.
活動(dòng)方案步驟：查閱資料，收集信息；獨立思考，發(fā)現規律，猜想證明；合作探究，小組討論，形成初步結論；與指導老師及其他小組成員交流展示；撰寫(xiě)研究性學(xué)習報告.
【設計意圖】通過(guò)課堂的整理、總結與反思，使學(xué)生更好的掌握主干知識，體會(huì )探究過(guò)程中滲透的數學(xué)思想方法，再次感受我國古代數學(xué)成就，激勵自己努力學(xué)習.“楊輝三角”還有很多有趣的規律，讓學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題走進(jìn)課堂，帶著(zhù)疑問(wèn)離開(kāi)教室，培養學(xué)生自主研修的習慣，提高學(xué)生探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.設計研究性學(xué)習活動(dòng)，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng )造性的想象和推理.同時(shí)教會(huì )學(xué)生如何開(kāi)展研究性學(xué)習.
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