基于泛邏輯學(xué)的邏輯關(guān)系柔性化研究的論文
為了建立這種柔性化的邏輯體系，何華燦從模糊邏輯入手，在大量研究的基礎上，創(chuàng )立了泛邏輯學(xué)，實(shí)現了模糊邏輯關(guān)系的柔性化[2].按照泛邏輯學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，模糊邏輯和概率邏輯都是它的具體特例，它們在邏輯關(guān)系柔性化方面的思想是一致的.因此，基于泛邏輯學(xué)實(shí)現模糊邏輯關(guān)系柔性化的思想和方法，研究概率邏輯關(guān)系的柔性化問(wèn)題，是在泛邏輯學(xué)框架內實(shí)現概率邏輯關(guān)系柔性化的一條有效途徑.
1.泛邏輯學(xué)實(shí)現模糊邏輯關(guān)系柔性化的思想和方法
泛邏輯學(xué)針對模糊邏輯關(guān)系存在的缺陷，基于三角范數理論，利用相關(guān)性解決了模糊命題聯(lián)結詞為什么應該是一組連續可變的算子簇和如何使用該算子簇中的算子這樣兩個(gè)重大問(wèn)題，真正實(shí)現了模糊邏輯關(guān)系的柔性化.
1.1模糊邏輯關(guān)系存在的主要缺陷
在模糊邏輯中，其命題真值可以通過(guò)在[0，1]區間連續取值的隸屬函數#來(lái)刻畫(huà)，是柔性的.但其邏輯關(guān)系卻只能通過(guò)固定的模糊運算聯(lián)結詞1，A，V，^，0來(lái)實(shí)現，是剛性的.由于剛性的模糊運算聯(lián)結詞僅能用來(lái)描述那種完全確定的邏輯關(guān)系，而無(wú)法描述現實(shí)世界中大量存在的不確定的邏輯關(guān)系，因此邏輯關(guān)系的剛性化問(wèn)題是模糊邏輯存在的一個(gè)主要缺陷.這一缺陷說(shuō)明，模糊邏輯關(guān)系不應該是一組固定不變的算子，而應該用一組不確定的算子簇來(lái)定義.
為了尋找這組不確定的算子簇，有關(guān)科學(xué)家進(jìn)行了大量探索，早在泛邏輯學(xué)出現之前人們就已經(jīng)提出了一些修補性方法.例如，模糊與/或算子對?/?，模糊蘊含/等價(jià)算子對，廣義模糊算子對⑩*/?*，基于三角范數的模糊算子等.但是，這些方法都未能真正實(shí)現模糊邏輯關(guān)系的連續可變性，也都未能從邏輯學(xué)上找到存在這種連續可變運算模型的合理性和客觀(guān)依據.
1.2泛邏輯學(xué)實(shí)現模糊邏輯關(guān)系柔性化的思想
泛邏輯學(xué)認為模糊命題的相關(guān)性是引起模糊邏輯關(guān)系柔性的主要原因，它把相關(guān)性分為廣義自相關(guān)性和廣義相關(guān)性?xún)煞N類(lèi)型，并用這兩種相關(guān)性來(lái)刻畫(huà)各種邏輯關(guān)系的柔性.
1.2.1用廣義自相關(guān)性描述模糊非運算的柔性
廣義自相關(guān)性是指一個(gè)命題與其非命題之間的關(guān)聯(lián)性，它由模糊命題真值的測量誤差所引起，并將影響到模糊非命題的真值.廣義自相關(guān)性表現的是一種連續變化的特性，其大小是用一個(gè)在[0，1]區間連續變化的廣義自相關(guān)系數從0SK1)來(lái)表示的i代表的是模糊非運算W(x，幻的風(fēng)險程度，它的一些特殊值的含義如下：
當k=1時(shí)，表示邏輯上的最大否定，對應于最冒險估計；
當*=0.5時(shí)，表示邏輯上的適度否定，對應于精確估計；
當k=0時(shí)，表示邏輯上的最小可能否定，對應于保險估計.并且當k由1^0時(shí)，W(x，fc)能夠在這些狀態(tài)之間平滑過(guò)渡，從而可以實(shí)現邏輯非運算的柔性化.
1.2.2用廣義相關(guān)性描述模糊與/或運算的柔性
廣義相關(guān)性是指不同模糊命題之間的關(guān)聯(lián)性，它將影響到二元復合命題的真值計算.泛邏輯學(xué)中的廣義相關(guān)性又包含了模糊命題之間的相生和相克關(guān)系.其中，相生關(guān)系是各種包容關(guān)系和共生關(guān)系的抽象，可用一個(gè)在[-1，1]區間連續變化的相生系數g來(lái)描述，當g=1時(shí)，表示為最大相吸狀態(tài);g=0時(shí)，表示為獨立狀態(tài);g=-1時(shí)，表示為最大相斥狀態(tài).相克關(guān)系是各種抑制關(guān)系(如敵對關(guān)系和生存競爭關(guān)系)的抽象，可用一個(gè)在[-1，1]區間連續變化的相克系數f來(lái)描述，當戶(hù)1時(shí)，表示為最大相克狀態(tài)f=0時(shí)，表現為僵持狀態(tài)f=-1時(shí)，表示為最小相克狀態(tài).
實(shí)際上，最小相克與最大相斥是同一種狀態(tài)，即相生性與相克性的分界線(xiàn).它說(shuō)明，相生性與相克性既相互獨立，又可連續過(guò)渡.泛邏輯學(xué)對廣義相關(guān)性的這種連續變化特性是用一個(gè)統一描述相關(guān)性大小的廣義相關(guān)系數叫0幼幻)來(lái)表示的.對h的一些特殊值，受其控制的與運算取，#)和或運算處，#)的情況如下：
可見(jiàn)，當h在[0，1]區間由1^0時(shí)，r(x，y，h)和S(x，y，h)能夠在這些狀態(tài)之間平滑過(guò)渡，這就為實(shí)現與域關(guān)系的柔性化提供了可能.
1.3泛邏輯學(xué)實(shí)現模糊邏輯關(guān)系柔性化的方法
泛邏輯學(xué)實(shí)現模糊邏輯關(guān)系柔性化的基本方法是，首先根據不確定性問(wèn)題的模糊測度是否存在誤差，將其劃分為零級不確定性問(wèn)題或一級不確定性問(wèn)題，然后對零級或一級不確定性問(wèn)題，分別用零級范數完整簇或一級范數完整超簇來(lái)處理.
1.3.1零級/一級不確定性問(wèn)題
零級不確定性問(wèn)題是指模糊測度無(wú)誤差，能夠精確得到模糊命題真值的問(wèn)題.此時(shí)，*=0.5，模糊非運算是單一的，即W(x，0.5)=W(x)=1-x.但由于廣義相關(guān)性的存在，模糊與/或/蘊含/等價(jià)等運算并不單一，而是一組受h控制的變化的公式簇，即零級TISIIIQ范數完整簇.
一級不確定性問(wèn)題是指模糊測度有誤差，不能精確得到模糊命題真值的問(wèn)題.此時(shí)，&0.5，模糊非運算不再單一，而是一組受k控制的變化的公式簇，即N性生成元完整簇.同樣，由于廣義相關(guān)性的存在，其模糊與/或/蘊含/等價(jià)等算子也不單一，而是一組受k和h控制的變化的公式簇，即一級TISIIIQ范數完整超簇.
1.3.2N范數與N范數完整簇
N范數是三角范數理論中研究的一個(gè)涉及模糊非運算的算子，也是泛邏輯學(xué)研究模糊非運算的數學(xué)基礎.利用N范數，可以從理論上解釋和定義廣義自相關(guān)性對模糊非運算模型的影響.
在零級不確定性問(wèn)題中，k=0.5，模糊非運算為N范數的一個(gè)特例.但在一級不確定性問(wèn)題中，&0.5，模糊非運算N(x>1-x.這時(shí)，需要用一個(gè)受k控制的廣義自相關(guān)性修正函數來(lái)對誤差進(jìn)行修正，這個(gè)修正函數被稱(chēng)為一級泛邏輯運算的N性生成元完整簇，由它又可生成N范數完整簇.常用的N性生成元完整簇模型有多項式模型和指數模型兩種，與其對應的N范數完整簇也有多項式模型N和指數模型鳩兩種.它們分別是：
由于廣義自相關(guān)系數k是連續變化的，因此會(huì )有無(wú)限多個(gè)連續的N算子.其中k=0.5僅是N算子的一個(gè)特例，其值燦>^)=￥^，0.5)=￥^)，此時(shí)N算子退化為Zadeh算子.
1.3.3T/S范數完整簇與T/S范數完整超簇
T范數和S范數是三角范數理論研究中涉及到模糊與/或運算的兩個(gè)算子，也是泛邏輯學(xué)研究模糊與/或運算的數學(xué)基礎.利用T/S范數，可以從理論上解釋和定義廣義相關(guān)性對模糊與/或運算模型的影響.
(1)零級TIS范數完整簇
對零級不確定性問(wèn)題，模糊與/或運算僅受廣義相關(guān)性的影響，因此可分別用兩個(gè)僅受h控制的函數F>(x，h)和Go(x，h)來(lái)表示這種影響.這兩個(gè)函數分別被稱(chēng)為零級S性生成元完整簇和零級T性生成元完整簇，由它們所分別生成的零級T范數完整簇7Ix，y，h)和S范數完整簇S(x，y，h)如下：
由于廣義相關(guān)系數h是連續變化的，因此會(huì )有無(wú)限多個(gè)連續的7Ix，y，h)算子和S(x，y，h)算子.其中，h=1是T算子的一個(gè)特例，其值7^，>^)=7^，>>，1)=7^，>0，退化為Zadeh算子.同樣，h=1也是S算子的一個(gè)特例，其值S(x，y，h)=S(x，y，1)=S(x，y)，也退化為Zadeh算子.
(2)—級T/S范數完整超簇
對一級不確定性問(wèn)題，h和k都會(huì )對模糊與/或運算產(chǎn)生影響，因此需要分別用兩個(gè)均受到h和k控制的函數F(x，hk)和G(x，hk)來(lái)表示這種影響.這兩個(gè)函數分別被稱(chēng)為一級泛邏輯運算的T性生成元完整超簇和^性生成元完整超簇.由它們又可分別生成一級T范數完整超簇7Ix，>^k)和一級S范數完整超簇辦，少，從).以純指數型為例，一級T/S范數完整超簇分別為
同樣，由于廣義自相關(guān)系數k和廣義相關(guān)數h是連續變化的，因此也會(huì )有無(wú)限多個(gè)連續的7Ix，y，hk)算子和S(x，y，hk)算子.其中k=0.5是一個(gè)特例，此時(shí)T(x，y，hk)和S(x，y，hk)均退化為零級模型.
1.3.4T/S相容算子簇
上述TIS算子簇都是與/或運算的近似公式，當k=0.5，^e[0.5，1]時(shí)，經(jīng)典模糊測度滿(mǎn)足可加性，其T/S算子滿(mǎn)足相容律，可使用精確的Frank算子簇.Frank算子簇是目前唯一被發(fā)現的一對相容算子簇，其定義為
Frank算子簇是零級算子簇，它只有相容部分，沒(méi)有相克部分，僅適應于he(0.5，1)的情況，即概率邏輯的討論范圍.
1.3.5I/Q范數完整簇與1IQ范數完整超簇
對于泛蘊含算子I和泛等價(jià)算子Q，也可根據零級/一級不確定性問(wèn)題的劃分，將其分為零級IIQ范數完整簇和一級I/Q范數完整超簇，并且它們都可以由前面討論過(guò)的不同級別的NITIS算子直接推出.至于其推導過(guò)程和由該過(guò)程所導出的零級IIQ范數完整簇1^，>^)》&，>^)和一級IIQ范數完整超簇I(x，y，h，k)/Q(x，y，h，k)可參考文獻.
通過(guò)以上討論可以看出，無(wú)論是NITISIIIQ范數完整簇，還是TISIIIQ范數完整超簇，都是受k或h控制的連續函數.因此，由它們所描述的模糊邏輯關(guān)系也都應該是連續變化的，即真正實(shí)現了模糊邏輯關(guān)系的柔性化.
2.基于泛邏輯學(xué)的概率邏輯關(guān)系柔性化問(wèn)題
概率是解決因隨機引起的不確定性問(wèn)題的一種有效方法，在現有的不確定推理方法中有不少是基于概率論的，例如確定性理論、主觀(guān)Bayes方法、證據理論等.但是，這些不確定性推理方法也僅僅是基于概率，而不能真正實(shí)現邏輯框架內的概率邏輯不確定推理.產(chǎn)生這種現象的主要原因是概率邏輯自身存在著(zhù)缺陷，尤其是存在著(zhù)邏輯關(guān)系的剛性化問(wèn)題.
2.1概率邏輯研究概述
概率邏輯是由Keynes于1921年首先提出的，雖然目前已有多種不同的邏輯模型，但它們都還很不完善，各種模型都存在著(zhù)自身的缺陷.
2.1.1概率邏輯的概念
在基于o代數的標準概率論中，概率是定義在標準概率空間005，P)上的.它滿(mǎn)足非負性、規范性、可列可加性、有限可加性、次可加性、可減性、單調性、尸(必)=0及P卜a)=1-P⑷等，常用的概率運算主要包括:補、加、乘、條件概率等.
按照Camap的觀(guān)點(diǎn)，概率應分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是邏輯概率，是指概率的邏輯解釋;另一類(lèi)是統計概率，是指概率的頻率解釋.概率邏輯就是指概率的邏輯解釋?zhuān)窃诟怕士臻g上定義的一個(gè)邏輯體系.
2.1.2傳統概率邏輯的主要模型
傳統概率邏輯模型主要包括基于標準概率空間的標準概率邏輯模型，基于概率最大熵原則的可能世界模型，以及擴充概率空間的條件事件代數模型.
(1)標準概率邏輯模型
該模型是指在標準概率空間上建立的一種標準概率邏輯體系.卡爾納普(Carnap)概率邏輯和波普爾(Poroer)概率邏輯是這種模型的兩個(gè)典型代表.
Popper概率邏輯包括Popper先驗概率和Popper條件概率.其中，Popper先驗概率是由Popper基于概率邏輯的自主性描述于1938年提出的先驗概率函數來(lái)定義的，該函數的基本性質(zhì)包括:非負性、正規性、可加性、交換律、結合律、冪等律.Po^er先驗概率函數的這些基本性質(zhì)通常被看做是先驗概率函數的標準公理系統.Po：pper條件概率是由Popper本人基于概率邏輯的自主性描述，分別于1955年和1959年提出的條件概率函數來(lái)定義的，該條件概率函數的基本性質(zhì)包括:非負性、正規性、可加性、乘法律、左交換律、右交換律.
Carnap概率邏輯也包括Carnap先驗概率和Carnap條件概率，其先驗概率和條件概率分別是由Carnap(1950)函數和Carnap(1952)函數所描述的.其中，Carnap(1950)函數實(shí)際上是在前述Popper先驗概率函數標準公理系統的基礎上增加了以下限制條件：
(2)可能世界概率邏輯模型
該模型是Nilsson于1986年基于概率分布的最大熵原則提出的一種表示不確定推理的概率邏輯模型[5]，該模型的概率邏輯空間可用一個(gè)四元組(廠(chǎng)兌雙尸)來(lái)表示.其中:/是經(jīng)典邏輯中的命題集，O是/I的相容真值指派域，萬(wàn)是/上的概率邏輯真值分布，P是^上的一個(gè)概率分布.它們之間的關(guān)系可用矩陣表示為乃=FP.該矩陣表示形式實(shí)際上是一個(gè)非線(xiàn)性方程組.
(3)條件事件代數模型
條件事件代數是在確保規則概率與條件概率相容的前提下，把布爾代數上的邏輯運算推廣到條件事件(規則)集合中得到的一個(gè)代數系統.在二值邏輯中，邏輯蘊含算子是一個(gè)重要的推理公式，但在概率邏輯中，卻不能用Pp^a)對P(啪)進(jìn)行度量.Lewis定理表明，在概率空間中無(wú)法給出一種與尸(#)相一致的P04a)的定義.其主要原因是，在基于o代數的標準概率論中，概率空間是由一些非條件事件及其相應的概率分配所決定的，而條件事件在概率空間(級B，P)中沒(méi)有被定義.因此，基于標準概率空間的概率邏輯也就無(wú)法進(jìn)行條件推理了.
要解決條件概率推理問(wèn)題，就必須對僅包含基本事件的標準概率空間Ofl，B，P)進(jìn)行擴充，使其能夠包含條件事件.關(guān)于條件事件代數的定義，現有多種描述方式，GNW條件事件代數是其中較有代表性的一種.該代數系統是從標準概率空間出發(fā)，去尋找一個(gè)新的可測空間(島方)，使該可測空間不僅包含概率論中的基本事件，而且還包含諸如“ifEthenH”等規則形式的“條件事件”，這樣就可以進(jìn)行條件推理了.
2.1.3傳統概率邏輯模型的簡(jiǎn)單分析
從上述傳統概率模型的介紹可以看出，標準概率邏輯模型并沒(méi)有突破標準概率空間的限制，是一種在邏輯框架內解決概率邏輯不確定性推理的方法.但由于標準概率空間中僅包含了基本事件，沒(méi)有包含條件事件，因此它無(wú)法實(shí)現邏輯框架內的條件推理.另外，該模型中定義的邏輯關(guān)系都是剛性化的`，這種剛性化的邏輯關(guān)系無(wú)法滿(mǎn)足現實(shí)問(wèn)題對邏輯關(guān)系柔性化的需求.
可能世界概率邏輯模型是通過(guò)擴充概率空間來(lái)實(shí)現的.盡管它可以用類(lèi)似于經(jīng)典邏輯中的假言推理來(lái)解決概率推理中的概率蘊含問(wèn)題，但仍存在以下兩個(gè)嚴重問(wèn)題:第1，這種模型僅適應于命題集較小的情況，當命題集較大時(shí)，非線(xiàn)性方程組的次數會(huì )隨命題集中命題個(gè)數的增加而升高;第2，利用解方程組的方法超出了邏輯學(xué)的范疇，未能在邏輯框架內解決問(wèn)題.
GNW條件事件代數模型雖然通過(guò)擴充概率邏輯空間能夠解決條件推理問(wèn)題，但也存在兩個(gè)嚴重缺陷:第1，該模型不是完全布爾型的，概率論中的一些典型定理在該模型中已不再適用;第2，對概率測度P擴張以后得到的P。，也已不是一個(gè)概率測度.例如，
這些都是人們所不希望的.因此，條件事件代數也不是在邏輯框架內解決概率邏輯推理問(wèn)題的最佳方法.通過(guò)對這些傳統概率模型的分析可以看出，要解決概率邏輯關(guān)系的柔性化問(wèn)題，實(shí)現邏輯框架內的概率邏輯不確定推理，必須尋求新的邏輯學(xué)模型.泛邏輯學(xué)的出現為解決這一問(wèn)題提供了可能.
2.2概率邏輯關(guān)系柔性化的思想
從泛邏輯學(xué)的角度來(lái)看，廣義相關(guān)系數^=0.75是一種獨立相關(guān)狀態(tài)，對應著(zhù)概率算子：
它說(shuō)明，現有概率邏輯僅是泛邏輯學(xué)在k=0，^e[0.5，1]時(shí)的一種特例.基于泛邏輯學(xué)的這一思想，從邏輯關(guān)系柔性化的角度分析概率邏輯算子^(guān)，v，A及|，可得到以下兩個(gè)重要啟示：
(1)概率邏輯作為泛邏輯學(xué)在A(yíng)=0.5，he[0.5，1]時(shí)的一個(gè)特例，其算子將受到廣義相關(guān)系數h的影響.即當h在區間[0.5，1]中發(fā)生變化時(shí)，概率邏輯算子應該隨著(zhù)h的改變而作柔性變化.但是，現有概率邏輯算子^(guān)，v，A都沒(méi)有考慮廣義相關(guān)性的影響，也都沒(méi)有建立這些邏輯算子和h之間的聯(lián)系.實(shí)際上，應該能夠在泛邏輯學(xué)框架內建立起這種受h控制的柔性的^，v，A算子函數.
(2)條件概率Mab)雖然考慮到了獨立性，也定義了獨立相關(guān)時(shí)的條件概率公式，但對非獨立相關(guān)時(shí)的條件概率卻沒(méi)有建立起它與h之間的聯(lián)系.事實(shí)上，獨立性與條件概率存在以下關(guān)系：
它說(shuō)明，廣義相關(guān)性與條件概率之間是存在一定聯(lián)系的，我們應該能夠在泛邏輯學(xué)框架內用一個(gè)受h控制的條件概率函數來(lái)描述它們之間的這種聯(lián)系.
2.3概率邏輯關(guān)系柔性化的方法
由于泛邏輯學(xué)在k=0.5，he[0.5，1]時(shí)所研究的問(wèn)題對應于概率邏輯問(wèn)題，這就為我們在泛邏輯學(xué)框架內解決概率邏輯關(guān)系柔性化問(wèn)題提供了理論依據.
在泛邏輯學(xué)中k=0.5屬零級不確定性問(wèn)題，因此可用其零級N/T/S泛數完整簇來(lái)構造柔性的概率邏輯算子函數，包括^，v，A，|等.以條件概率算子“|”為例，可將描述與運算的T范數完整簇：
因此，可使用精確的Frank相容算子簇來(lái)構造概率邏輯的^，v，A，|等算子函數.
按照這種方法，就可以在泛邏輯學(xué)框架內建立起一個(gè)柔性化的新的概率邏輯體系.這種新的概率邏輯體系能夠改進(jìn)經(jīng)典概率邏輯的推理性能.仍以條件概率為例，由于經(jīng)典概率論中的條件概率是基于獨立性定義的，并沒(méi)有考慮廣義相關(guān)性的影響，因此盲目使用條件概率就有可能會(huì )出現偏差.而對受h控制的新的條件概率函數，則可避免這種偏差，保證條件概率使用的正確性.
3結論
泛邏輯學(xué)對模糊邏輯關(guān)系柔性化的研究，為在邏輯框架內解決邏輯關(guān)系的柔性化問(wèn)題指明了方向，是邏輯學(xué)發(fā)展史上的又一次飛躍.基于泛邏輯學(xué)的思想和方法，在邏輯學(xué)框架內建立起柔性化的新的概率邏輯體系，不僅對概率邏輯，而且對基于概率的各種不確定性推理方法都將具有重要的學(xué)術(shù)意義和實(shí)用價(jià)值.
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