動(dòng)作智慧根源的研究論文
一、引言
近半個(gè)世紀以來(lái)，皮亞杰心理學(xué)影響著(zhù)世界各國的中小學(xué)教學(xué)，尤其是中小學(xué)數學(xué)教學(xué)。皮亞杰指出：“動(dòng)作是智慧的根源”，①任何靜態(tài)的數學(xué)概念都隱含著(zhù)認知主體的內在動(dòng)作，數學(xué)運算是一種廣義的動(dòng)作。②這些觀(guān)念為數學(xué)課堂教學(xué)所采納，目前小學(xué)數學(xué)普遍采取動(dòng)手操作（或以直觀(guān)方式演示有關(guān)操作）的方法。
然而，對于這些在教學(xué)實(shí)踐領(lǐng)域中早已被采用的觀(guān)念與方法，卻缺乏深入的研究，許多問(wèn)題都停留在知其然不知其所以然的層面——我們知道數學(xué)運算是一種廣義的動(dòng)作；但它除了是一種動(dòng)作之外，還存在哪些區別于一般動(dòng)作的規定性？同樣我們也知道“動(dòng)作操作”會(huì )增進(jìn)兒童的數學(xué)知識與智慧；但能否認為任意的動(dòng)手操作都有益于兒童智慧的發(fā)展？在數學(xué)課堂教學(xué)中如何指導兒童動(dòng)手操作？
本文試圖就以上問(wèn)題作些探討，以期引起更深入的研究，并期望對進(jìn)一步改進(jìn)小學(xué)數學(xué)課堂教學(xué)有所裨益。
二、數學(xué)運算的內在規定性
1.反身性數學(xué)運算“甚至在其較高的表現中，也是正在采取行動(dòng)與協(xié)調行動(dòng)，不過(guò)是以一種內在的與反省的形式進(jìn)行的罷了……”③這里“反省”與反身、反思是同義的。
皮亞杰將個(gè)體認知活動(dòng)劃歸為兩類(lèi)。一類(lèi)是對客體的認識；另一類(lèi)是對主體自身動(dòng)作所進(jìn)行的反思。前者帶來(lái)關(guān)于客體的知識；后者帶來(lái)數理邏輯知識。
�。蹖�(shí)例］一個(gè)兒童擺弄10個(gè)石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度�！爸亓俊迸c“光滑度”是關(guān)于對象（石子）本身的知識。此外，兒童還有另一類(lèi)動(dòng)作，他將10個(gè)石子排列成不同的形狀，沿著(zhù)不同的方向點(diǎn)數它們，其總數“10”總是不變的。這里，兒童將手指一一地（不重復也不遺漏）點(diǎn)向10個(gè)石子，是具體動(dòng)作；從這種具體動(dòng)作中認識到總數“10”總是不變，則是一種反思，是反過(guò)來(lái)對自身的具體動(dòng)作進(jìn)行思考。具體動(dòng)作可以有很多種（可以從不同的石子開(kāi)始，可以沿著(zhù)不同的方向進(jìn)行），但總數的“10”卻是恒定的。只有通過(guò)反思，體會(huì )到這種“恒定”，兒童才真正學(xué)會(huì )了計數。
這里我們看到兒童進(jìn)行數學(xué)操作與運算離不開(kāi)具體動(dòng)作，但具體動(dòng)作之后的反思比具體動(dòng)作本身更為重要。兒童能一一地點(diǎn)數石子，我們也能訓練一只小雞——地啄石子，但小雞不會(huì )了解“10”這個(gè)數，因為它沒(méi)有反思。
數學(xué)運算因其反身性，還呈現出一種層次性與相對性。高一級的運算是對低一級的運算所進(jìn)行的.反思、協(xié)調與轉換。乘法是對加法的“運算”；乘方又是對乘法的“運算”。
2.可逆性“運算是一種可以逆行的行動(dòng)，即它能向一個(gè)方向進(jìn)行，也能向相反的方向進(jìn)行�！雹芪覀兛梢园�1和2相加得到3；反過(guò)來(lái)，也可以用3減2而還原為1。任何一種運算，總有一個(gè)與之對應的逆運算。
學(xué)生用減法驗算加法（或反過(guò)來(lái)用加法驗算減法），用除法驗算乘法（或反過(guò)來(lái)用乘法驗算除法），就是因為這些運算是可以“逆行”的。對于“合”（加或乘）的結果，我們可以用“分”的動(dòng)作（減或除）使其還原到初始狀態(tài)。
可逆性可以區分為兩類(lèi)，一類(lèi)是反演可逆（1＋2＝3，反過(guò)來(lái)3－2＝1）；一類(lèi)是互反可逆（6比2多4，反過(guò)來(lái)2比6少4）。前者表現為相反的操作；后者表現為次序的逆向轉換。
3.結合性運算“是可以繞道迂回的，通過(guò)兩種不同的方法可以獲得相同的結果”。⑤這就是所謂結合性。具體到小學(xué)數學(xué)教學(xué)中，結合性體現在兩個(gè)方面。
其一，體現在運算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交換律）；3×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律）。這里，每個(gè)等式兩邊是不同途徑的運算，但其運算結果卻是恒等的；其二，體現在問(wèn)題解決的一題多解方面。
問(wèn)題：男生和女生共植樹(shù)450棵，已知每個(gè)同學(xué)植樹(shù)5棵，有男生46人。問(wèn)：女生多少人？
對于這一問(wèn)題可以先求出女生植樹(shù)多少棵，再除以5，得出女生人數：（450－5×46）÷5＝44（人）；也可以先求兩個(gè)班共有多少人，再減去男生46人，得出女生的人數：450÷5－46＝44（人）。兩種解法，具體途徑不同，但結果一樣。
至此，我們將可逆性與結合性綜合起來(lái)考察，則會(huì )發(fā)現數學(xué)運算總是隱含著(zhù)某些“不變的因素”。反演可逆是以相反的運算（如：以減法來(lái)驗算加法）使其還原為初始不變的狀態(tài)�；シ纯赡媸且环N相互轉換，6比2多4，2比6少4，這里差集“4”是不變的。在運算規則里，運算途徑改變了，但運算結果不變。在問(wèn)題解決中，具體解法可以各異，但答案是唯一（不變）的。
我們說(shuō)，數學(xué)運算是一種轉換。在這種轉換過(guò)程中，并非所有的東西都發(fā)生了改變，總是隱含著(zhù)某種不變的因素。正是“不變因素”的存在，才使轉換成為可能。
4.結構性結構性運算，就其現實(shí)的存在方式而言，“包括復雜的運算體系，而不是被看作先于這些體系成分的那些孤立的運算�！雹迶祵W(xué)運算總是以結構化的整體的方式而存在。首先，每一種數學(xué)運算本身就是一個(gè)結構化的動(dòng)作。加法包括“合”的動(dòng)作，也包括計其總數據的動(dòng)作（這在學(xué)齡前兒童的實(shí)物操作中，可觀(guān)察到；小學(xué)一年級兒童，因熟練而逐漸簡(jiǎn)約化）；其次，各種運算聯(lián)合起來(lái)，又構成一個(gè)大的結構，加是“合”的動(dòng)作，減是“分”的動(dòng)作；乘是加（或合）的簡(jiǎn)便運算，除是減（或分）的簡(jiǎn)便運算；加減互為逆運算，乘除互為逆運算。這許多關(guān)系，使四則運算聯(lián)合成一個(gè)大的整體。
三、課堂教學(xué)中，指導學(xué)生動(dòng)手操作應注意的問(wèn)題
在明確了數學(xué)運算的內在規定性之后，我們將依照這些規定性，提出在課堂教學(xué)中指導兒童動(dòng)手操作應注意的問(wèn)題。
1.引起反省從以上分析中我們了解到，數學(xué)運算是一種反思，具體動(dòng)作之后的反思比具體動(dòng)作更為重要。具體到課堂教學(xué)中，我們在指導學(xué)生動(dòng)作操作時(shí)，不應停留在為操作而操作的層面；而應引導學(xué)生對其操作進(jìn)行思索。以分數概念的教學(xué)為例，通常的教法是將分數的具體“操作”和盤(pán)托出、呈現給學(xué)生。如：將一個(gè)餅平均分成兩塊，每塊是它的1／2。這樣的做法只能讓學(xué)生照葫蘆畫(huà)瓢一樣地模仿，而不能調動(dòng)學(xué)生內部的思考過(guò)程。
一般而言，分數是小學(xué)生數概念的一次大的擴展。此前，兒童能用加減法層面的“差集”（6比2多4）或乘除法層面的“倍數”（6是2的3倍）來(lái)表示二數比較關(guān)系。在倍數中，比較量一般大于（或等于）標準量；分數的引進(jìn)是要解決一個(gè)全新的問(wèn)題：當比較量不足一個(gè)標準量時(shí)，如何表示二數關(guān)系。
關(guān)于分數概念，這里設計了一種與通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起學(xué)生思考。
關(guān)于“分數概念”的課堂設計：
準備：在黑板上用不同顏色的粉筆畫(huà)好三條長(cháng)度不同的線(xiàn)段，準備一根60厘米長(cháng)的木棒（無(wú)刻度），線(xiàn)段長(cháng)度分別是木棒的3倍、1倍、1／3。
木棒────
白線(xiàn)：───────────────────白線(xiàn)長(cháng)度是木棒長(cháng)度的3倍
紅線(xiàn)：────────紅線(xiàn)長(cháng)度是木棒長(cháng)度的1倍
綠線(xiàn)：─綠線(xiàn)長(cháng)度是木棒長(cháng)度的？
教師［演示］：用木棒分別量白線(xiàn)與紅線(xiàn)，并板述；然后量綠線(xiàn)，提問(wèn)。
教師：綠線(xiàn)長(cháng)度是木棒長(cháng)度的多少？
學(xué)生：……沒(méi)有一棒長(cháng)。
教師：沒(méi)有“一棒”長(cháng)，怎么表示？
學(xué)生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和綠線(xiàn)都量一量。
教師：（量得綠線(xiàn)長(cháng)20厘米，木棒長(cháng)60厘米）那么，綠線(xiàn)長(cháng)度是木棒長(cháng)度的多少？
60厘米
學(xué)生：木棒是綠線(xiàn)的3倍。
教師：這是我們以前學(xué)過(guò)的“倍數”；現在，我們反過(guò)來(lái)說(shuō)：以木棒為標準，綠線(xiàn)是木棒的多少？
�。垩菔荆荼戎�(zhù)綠線(xiàn)將木棒3等分（用粉筆在木棒上畫(huà)刻度）
�。劾^續提問(wèn)］現在想一想，怎樣表示“綠線(xiàn)是木棒的多少？”）
……
導出：將木棒3等份，綠線(xiàn)是3份中的1份。
進(jìn)而導出：綠線(xiàn)是木棒的1／3。
并將“倍數”與“分數”統一起來(lái)：都可表示兩個(gè)數的比較。
這種方案較之于“和般托出”直接告訴學(xué)生的教法，更能調動(dòng)學(xué)生積極的思考過(guò)程。也只有進(jìn)行這樣的思考，兒童才能真正明確分析所蘊含的內部操作。
將有關(guān)“操作”和盤(pán)托出，不注重激起學(xué)生“反思”的教法，與兩種不恰當的觀(guān)念有關(guān)。其一是把數學(xué)運算等同于具體動(dòng)作；其二是認為內在運算是對外在動(dòng)作的簡(jiǎn)單模仿。其實(shí)，數學(xué)運算應該包括三個(gè)呈遞進(jìn)關(guān)系的成分：（1）具體操作；（2）對具體操作的反省與反思；（3）在反思過(guò)程中進(jìn)行某種轉換或重組。
轉換是對具體動(dòng)作的轉換，重組是對原有的、已習得的操作的重組。兒童在接觸到分數之前，已學(xué)會(huì )了“比較”（一個(gè)數是另一個(gè)數據的幾倍）與“等分”（除法）�，F在面臨新的問(wèn)題：比較量不足一個(gè)標準量。在上述方案中，問(wèn)題解決的過(guò)程，是學(xué)生積極思考的過(guò)程，也是重組原有“比較”與“等分”等內部操作而構成分類(lèi)操作的過(guò)程（分數的內部操作包括：比較二數；等分標準量等）。
2.體會(huì )“必然”在上一小節中，我們強調在讓學(xué)生動(dòng)作操作的同時(shí)，應引導他們對具體動(dòng)作進(jìn)行反思，并在反思過(guò)程中進(jìn)行轉換與重組。但數學(xué)運算還具備可逆性與結合性的特征也就是說(shuō)在轉換過(guò)程中，并非所有的因素都發(fā)生改變，而總隱含著(zhù)某種不變的因素。由于某些不變因素的存在，數學(xué)運算顯示出一種必然性。1＋2一定等于3；3×5一定等于15；π＝3.1415…是圓周與直徑的比率，不是人為規定的；在兩個(gè)班共同植樹(shù)的實(shí)例中，解法不同而得數是不變的。
對數學(xué)運算的必然性的認識，往往是一種不自覺(jué)的“必然之感”。這種必然之感的獲得，是兒童形成數學(xué)運算的標志。
指導學(xué)生認識數學(xué)運算的必然性，可利用日常的實(shí)例。數學(xué)運算往往都有其現實(shí)原型，而且有些原型能明晰地表征相應運算的涵義。如：教乘法口訣時(shí)，可讓學(xué)生數一數一面窗子的格數。如果豎著(zhù)有4行，每行5格，那么就是5×4＝20格。四五二十的口訣就存在于我們對這扇窗子的計數活動(dòng)之中。它不是人為的任意編出的口訣，而是“必然”的。
3.融會(huì )貫通數學(xué)運算是以結構的方式而存在的。結構化不是將不同的運算（或操作）簡(jiǎn)單地拼湊成一個(gè)整體，而是要消除各種運算（或操作）之間的“矛盾”、以達到相互協(xié)調。
“關(guān)于‘分數概念’的課堂設計”將分數概念放在數概念的擴展（從倍數到分數的擴展）之中，具體設計了一個(gè)問(wèn)題情境：比較量不足一個(gè)標準量（此前，在“倍數”中，比較量總是大于或等于一個(gè)標準量），如何表示二數關(guān)系。學(xué)生面對這一“矛盾”、積極思考。消解矛盾的過(guò)程，同時(shí)也是各種操作（倍數與分數）協(xié)調、統一而融會(huì )貫通的過(guò)程。
四、結語(yǔ)
綜上，可以明確：（一）對小學(xué)生而言，數學(xué)運算既包括具體的動(dòng)手操作，也包括對動(dòng)手操作的思索。后者比前者更為重要。（二）數學(xué)運算總是隱含著(zhù)“不變的因素”，具體體現在逆向運算、逆向轉換（6比2多4，那么2比6少4）、運算規則以及問(wèn)題解決的一題多解等方面。（三）數學(xué)運算總是以結構化的方式而存在。
在于數學(xué)運算的內在規定性，本文提出（一）課堂教學(xué)中，在指導學(xué)生動(dòng)手操作（或演示有關(guān)操作）時(shí)，應引起“反省”。小學(xué)兒童離不開(kāi)具體動(dòng)作的支持，但對具體動(dòng)作的思索更為重要。（二）在指導學(xué)生動(dòng)手操作的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì )到“必然”之感，必然之感的獲得，是數學(xué)運算形成的標志。（三）在動(dòng)作操作過(guò)程中，指導學(xué)生通過(guò)思考，將各種運算聯(lián)成整體，融會(huì )貫通。
�、佗冖茛奁喗埽骸吨腔坌睦韺W(xué)》，中國社會(huì )科學(xué)出版社1992年版，第33頁(yè)；第18—19頁(yè)。第36頁(yè)；第42頁(yè)。
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�、芷喗埽骸栋l(fā)生認識論》，《教育研究》，1979年第3期，第91頁(yè)。
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