端曲面齒輪副復合運動(dòng)的受力狀況與運動(dòng)規律論文
0引言
常見(jiàn)的組合機構有實(shí)現預定軌跡要求的聯(lián)動(dòng)凸輪組合機構、凸輪-連桿組合機構、實(shí)現任意停歇或復雜運動(dòng)規律要求的凸輪-齒輪組合機構、實(shí)現多種運動(dòng)規律及軌跡要求的齒輪-連桿組合機構和齒輪與液壓的組合機構等[1-6].這些機構能夠實(shí)現特定要求的運動(dòng)軌跡或復合運動(dòng)，但是結構較為復雜，體積和重量比較大，并不適用于結構尺寸受限、運動(dòng)規律過(guò)于復雜的場(chǎng)合。
復合運動(dòng)機構中獨特且結構較為簡(jiǎn)單的一種是復合運動(dòng)齒輪副，它依靠齒輪副的節曲線(xiàn)形狀變化實(shí)現旋轉/直動(dòng)復合運動(dòng)。復合運動(dòng)齒輪副包含正交復合運動(dòng)錐齒輪副[7]、正交復合運動(dòng)端曲面齒輪副[8]、復合運動(dòng)面齒輪副[9]、復合運動(dòng)非圓齒輪副和非圓齒輪齒條運動(dòng)副。其中端曲面齒輪復合運動(dòng)機構是在端曲面齒輪基礎上提出的結合了凸輪機構、齒輪機構和非圓齒輪機構特點(diǎn)的一種新型的齒輪傳動(dòng)[10].這種運動(dòng)副相比傳統的組合機構結構更簡(jiǎn)單、可靠性更高，可以取代一些傳統的組合機構，對于裝備輕量化、簡(jiǎn)化機械結構意義重大。缺點(diǎn)是現階段設計難度高，加工制造困難。針對端曲面齒輪的研究已經(jīng)比較詳盡，而端曲面齒輪副復合運動(dòng)的研究卻比較少，集中在齒面求解、運動(dòng)規律的計算和應用方面[7,10].
本文對端曲面齒輪副復合運動(dòng)的運動(dòng)規律進(jìn)行了仿真和試驗驗證，并計算了其嚙合過(guò)程中的壓力角和受力狀況，為其設計和應用提供進(jìn)一步的指導。
1運動(dòng)規律
1.1齒輪副傳動(dòng)模型
如圖1所示，齒輪1為普通直齒圓柱齒輪，其節曲線(xiàn)半徑為r;齒輪2為端曲面齒輪，其節曲線(xiàn)半徑為R;齒輪3為非圓柱齒輪，其節曲線(xiàn)為二階橢圓，節曲線(xiàn)半徑為r3（θ3）。端曲面齒輪是一種用于相交軸間 傳遞變傳動(dòng)比運動(dòng)和動(dòng)力的齒輪。端曲面齒輪的節曲線(xiàn)方程為：
式中：θ2為端曲面齒輪的轉角；θ3為非圓齒輪的轉角。
當非圓柱齒輪3旋轉軸固定并作為主動(dòng)輪，端曲面齒輪2作為從動(dòng)輪，其輸出為變傳動(dòng)比的旋轉運動(dòng)，此時(shí)即為端曲面齒輪副；當以端曲面齒輪2作為主動(dòng)輪，圓柱齒輪1作為從動(dòng)輪，其輸出為圓柱齒輪的旋轉運動(dòng)與圓柱齒輪的徑向運動(dòng)的復合運動(dòng)；當以圓柱齒輪1為主動(dòng)輪，以端曲面齒輪2為從動(dòng)輪，其輸出為端曲面齒輪的旋轉運動(dòng)和端曲面齒輪的軸向移動(dòng)的復合運動(dòng)。通過(guò)修改端曲面齒輪的節曲線(xiàn)可以相應改變輸出端的運動(dòng)規律，從而滿(mǎn)足所要求的工作場(chǎng)合。本文以直齒圓柱齒輪1作為主動(dòng)輪分析端曲面齒輪副復合運動(dòng)的特性。
1.2運動(dòng)規律
當以直齒圓柱齒輪為主動(dòng)輪時(shí)，輸出端軸向位移的運動(dòng)規律為[8]:
根據齒輪嚙合原理，齒輪嚙合過(guò)程中嚙合點(diǎn)的瞬時(shí)速度相等，即v→1=v→2,v→1、v→2分別為圓柱齒輪、端曲面齒輪上嚙合點(diǎn)的速度。對于從動(dòng)輪（端曲面齒輪）有：v→2=v→t+v→a,對于主動(dòng)輪（直齒圓柱齒輪）有：v→1=r→1ω→1,則端曲面齒輪切向速度
式中：v→t為切向速度；v→a為軸向速度。根據以上計算方法，復合運動(dòng)端曲面齒輪副采用如下參數時(shí)：圓柱齒輪齒數Z1=12;齒輪副模數m=2mm;端曲面齒輪齒數Z2=36;偏心率k=0.1;節曲線(xiàn)半徑R=35.91mm;端曲面齒輪階數n2=2;主動(dòng)輪轉速N1=150r/min.可得端曲面齒輪副復合運動(dòng)的運動(dòng)規律如圖2所示。
從圖2可以看出，該端曲面齒輪副輸出旋轉/移動(dòng)的復合運動(dòng)，而且端曲面齒輪的旋轉和軸向移動(dòng)規律均呈現出一定周期性，當軸向運動(dòng)的位移最大時(shí)，軸向運動(dòng)速度為零，端曲面齒輪的轉速也最大。
將端曲面齒輪復合運動(dòng)的模型導入ADAMS仿真軟件，施加相應的約束、載荷及驅動(dòng)，如圖3所示。仿真得到輸出端端曲面齒輪的運動(dòng)規律，將其與理論值對比，如圖4所示。
從圖4可以看出，端曲面齒輪副的位移的仿真結果隨著(zhù)主動(dòng)輪轉角的變化周期性變化，而且因為有誤差和干擾的存在，仿真值與理論值存在一定的偏差，但二者的變化范圍都基本相同，這驗證了理論計算結果的正確性。
2受力分析
2.1受力分析
齒輪副嚙合過(guò)程中的受力狀況直接影響傳動(dòng)系統的設計和校核。復合運動(dòng)端曲面齒輪副嚙合過(guò)程中的受力狀況如圖5所示，圖中1為主動(dòng)輪；1′為隨動(dòng)輪，主要用于防止端曲面齒輪出現嚴重的偏載；2為從動(dòng)輪。
當以直齒圓柱齒輪作為主動(dòng)輪時(shí)：
式中：T1、T2分別為直齒圓柱齒輪和端曲面齒輪的轉矩；i12為齒輪副復合運動(dòng)的傳動(dòng)比；α為齒輪副壓力角。
2.2壓力角計算
對于端曲面齒輪副復合運動(dòng)，其嚙合過(guò)程中的壓力角與標準漸開(kāi)線(xiàn)齒輪副不同。漸開(kāi)線(xiàn)上任意一點(diǎn)法向壓力的方向線(xiàn)與該點(diǎn)速度方向之間的夾角為該點(diǎn)的 壓 力角。對 于端曲面 齒 輪復合運動(dòng)，其壓力角即為圓柱齒輪的切向力F→n與端曲面齒輪的嚙合點(diǎn)的速度v→2之間的夾角。如圖6所示，復合運動(dòng)端曲面齒輪副的壓力角α等于圓柱齒輪的齒形角α0加上切向速度vt與合速度v2之間的夾角β。
圖6中ω1、ω2分別為圓柱齒輪和端曲面齒輪的轉速；Fa、Ft、Fn分別為該齒輪副中端曲面齒輪所受的軸向力、切向力和法向力；v→t、v→a、v→2為端曲面齒輪節曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切向速度、軸向速度和合速度；β為切向速度v→t與合速度v→2之間的夾角；α為復合運動(dòng)端曲面齒輪副的壓力角：
α=α0+β（10）式中：
β=arctan（v→a/v→t）；α0為直齒圓柱齒輪壓力角，本文取20°。
當齒輪副壓力角增大時(shí)，齒輪副傳遞相同的扭矩需要的作用力也越大，甚至可能出現自鎖現象，通常要求齒輪副壓力角最大不能大于65°，因此有必要對該復 合運動(dòng)齒輪副的壓力角進(jìn)行分析。刀具壓力角為20°，從動(dòng)輪負載T2=10N·m,分別取直齒圓柱齒輪的齒數為Z1= 12,13,14,15,其他參數采用1.2節中參數時(shí)，其壓力角變化情況和圓柱齒輪的轉矩如圖7所示�？梢钥闯�，復合運動(dòng)端曲面齒輪副的壓力角成周期性變化，但圓柱齒輪齒數對壓力角的影響并不明顯，其最大值為36°，最小值為20°，處于合理的范圍內。
主動(dòng)輪的轉矩變化影響到齒輪副的嚙合力，進(jìn)而影響對主動(dòng)輪軸承的設計和校核。由于端曲面齒輪轉速并不恒定，其角加速度的變化對嚙合力的影響不可忽視。分別取主動(dòng)輪轉速n1=5、10r/s,其他參數相同的情況下，主動(dòng)輪轉矩變化如圖7所示�？梢钥闯�，當主動(dòng)輪轉速增加時(shí)，圓柱齒輪轉矩的波動(dòng)范圍更大，其最小值更小，最大值也更大，這一定程度上決定了復合運動(dòng)端曲面齒輪副只能用于中低速的場(chǎng)合。而其周期性地改變與轉速的增加是等比例的，因而其隨轉角變化的周期性并不受轉速的影響。
圓柱齒輪的切向力與圓柱齒輪轉矩是等比例關(guān)系，而圓柱齒輪徑向力還與壓力角的變化相關(guān)。從圖8可以看出，受壓力角變化的影響，圓柱齒輪徑向力的變化規律不同于切向力，而且其受轉速變化的影響相對較小。
3試驗驗證及對比
針對這一新型齒輪傳動(dòng)副，搭建了用于驗證其規律的試驗平臺。由鋁型材作為支座，其余零件除標準件外由樹(shù)脂材料經(jīng)工業(yè)級3D打印設備加工，加工出的'齒輪實(shí)物見(jiàn)圖9.
試驗方案如圖10所示，可調速的減速電機通過(guò)梅花聯(lián)軸器連接主動(dòng)軸，齒輪副嚙合帶動(dòng)端曲面齒輪的旋轉/直動(dòng)運動(dòng)，從動(dòng)軸由箱式光軸軸承支撐，由彈簧提供從動(dòng)軸往返的回復力。
最終搭建好 的 試 驗 平 臺 實(shí) 物 如 圖11所 示。柱齒輪作為主動(dòng)輪連接電機，端曲面齒輪作為從動(dòng)輪，調速器用于控制電機轉速，激光位移傳感器LH-050通過(guò)內部的CMOS元件感應并測量輸出軸的位移，控制器用于接受和處理測量數據，直流電源為控制器和傳感器提供24V直流電源。
通過(guò)配套軟件LK-Navigator 2控制并觀(guān)察傳感器的數據。調節電機的轉速為10r/min,試驗臺平穩運行，測量輸出端的位移。電機最高轉速為100r/min,調節電機轉速，依次增加20r/min,測量其輸出軸軸向運動(dòng)位移。
轉速調節至100r/min時(shí)齒輪副依然可以平穩運轉。電機轉速為10~90r/min時(shí)，輸出軸的最大位移分 別 為3.517、3.532、3.483、3.532、3.492mm,理 論 最 大 位 移 為3.58 mm,最 大 誤 差 為0.097mm,誤差為2.7%,在誤差允許的范圍內。復合運動(dòng)軸向運動(dòng)的位移測量值如圖12所示，理論值與測量值的對比如圖13所示，圖中主動(dòng)輪轉速為30r/min.從圖13可以看出，端曲面齒輪副的位移隨著(zhù)主動(dòng)輪轉角的變化周期性變化，測量曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)的變化趨勢基本相同。但是因為有制造、安裝誤差的存在，試驗值與理論值存在一定的偏差。
根據式（2）~（5），根據測量的位移規律以及已知的轉速和齒輪副參數，反算出端曲面齒輪的轉速，并與理論值對比，如圖14所示�？梢钥闯鲇稍囼灥贸龅慕Y果與理論值存在一定的偏差，但變化趨勢基本相同。以上分析表明試驗測得的數據是有效的，也驗證了理論計算結果的正確性。
4結論
�。�1）采用仿真方法驗證了端曲面齒輪副復合運動(dòng)的規律；設計并搭建了端曲面齒輪復合運動(dòng)驗證試驗平臺，驗證了其輸出軸的復合運動(dòng)規律，并與理論值對比，驗證了其正確性。
�。�2）分析并計算了端曲面齒輪副復合運動(dòng)的壓力角變化規律以及齒輪副嚙合力變化規律。齒輪副的壓力角受齒輪副齒數的影響比較小，而齒輪副的嚙合力受齒輪副轉速的影響，決定了該齒輪副適用于中、低速的場(chǎng)合，為該齒輪系統的設計和校核奠定了基礎。
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