數學(xué)曲線(xiàn)方程教案

數學(xué)曲線(xiàn)方程教案

　　教學(xué)目標

　�。�1）了解用坐標法研究幾何問(wèn)題的方法，了解解析幾何的基本問(wèn)題．

　�。�2）理解曲線(xiàn)的方程、方程的曲線(xiàn)的概念，能根據曲線(xiàn)的已知條件求出曲線(xiàn)的方程，了解兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的概念．

　�。�3）通過(guò)曲線(xiàn)方程概念的教學(xué)，培養學(xué)生數與形相互聯(lián)系、對立統一的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)．

　�。�4）通過(guò)求曲線(xiàn)方程的教學(xué)，培養學(xué)生的轉化能力和全面分析問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生理解解析幾何的思想方法．

　�。�5）進(jìn)一步理解數形結合的思想方法．

　　教學(xué)建議

　　（1）知識結構

　　曲線(xiàn)與方程是在初中軌跡概念和本章直線(xiàn)方程概念之后的解析幾何的基本概念，在充分討論曲線(xiàn)方程概念后，介紹了坐標法和解析幾何的思想，以及解析幾何的基本問(wèn)題，即由曲線(xiàn)的已知條件，求曲線(xiàn)方程；通過(guò)方程，研究曲線(xiàn)的性質(zhì)．曲線(xiàn)方程的概念和求曲線(xiàn)方程的問(wèn)題又有內在的邏輯順序．前者回答什么是曲線(xiàn)方程，后者解決如何求出曲線(xiàn)方程．至于用曲線(xiàn)方程研究曲線(xiàn)性質(zhì)則更在其后，本節不予研究．因此，本節涉及曲線(xiàn)方程概念和求曲線(xiàn)方程兩大基本問(wèn)題．

　　（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　�、俦竟潈热萁虒W(xué)的重點(diǎn)是使學(xué)生理解曲線(xiàn)方程概念和掌握求曲線(xiàn)方程方法，以及領(lǐng)悟坐標法和解析幾何的思想．

　�、诒竟澋碾y點(diǎn)是曲線(xiàn)方程的概念和求曲線(xiàn)方程的方法．

　　教法建議

　�。�1）曲線(xiàn)方程的概念是解析幾何的核心概念，也是基礎概念，教學(xué)中應從直線(xiàn)方程概念和軌跡概念入手，通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)例引出曲線(xiàn)的點(diǎn)集與方程的解集之間的對應關(guān)系，說(shuō)明曲線(xiàn)與方程的對應關(guān)系．曲線(xiàn)與方程對應關(guān)系的基礎是點(diǎn)與坐標的對應關(guān)系．注意強調曲線(xiàn)方程的完備性和純粹性．

　�。�2）可以結合已經(jīng)學(xué)過(guò)的直線(xiàn)方程的知識幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì )坐標法和解析幾何的思想，學(xué)習解析幾何的意義和要解決的問(wèn)題，為學(xué)習求曲線(xiàn)的方程做好邏輯上的和心理上的準備．

　�。�3）無(wú)論是判斷、證明，還是求解曲線(xiàn)的方程，都要緊扣曲線(xiàn)方程的概念，即始終以是否滿(mǎn)足概念中的兩條為準則．

　�。�4）從集合與對應的觀(guān)點(diǎn)可以看得更清楚：

　　設 表示曲線(xiàn) 上適合某種條件的點(diǎn) 的集合；

　　表示二元方程的解對應的點(diǎn)的坐標的集合．

　�。�5）在學(xué)習求曲線(xiàn)方程的方法時(shí)，應從具體實(shí)例出發(fā)，引導學(xué)生從曲線(xiàn)的幾何條件，一步步地、自然而然地過(guò)渡到代數方程(曲線(xiàn)的方程)，這個(gè)過(guò)渡是一個(gè)從幾何向代數不斷轉化的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中提醒學(xué)生注意轉化是否為等價(jià)的，這將決定第五步如何做．同時(shí)教師不要生硬地給出總結出求解步驟，應在充分分析實(shí)例的基礎上讓學(xué)生自然地獲得．教學(xué)中對課本例2的解法分析很重要．

　　這五個(gè)步驟的實(shí)質(zhì)是將產(chǎn)生曲線(xiàn)的幾何條件逐步轉化為代數方程，即文字語(yǔ)言中的幾何條件數學(xué)符號語(yǔ)言中的等式 數學(xué)符號語(yǔ)言中含動(dòng)點(diǎn)坐標 ，的代數方程 簡(jiǎn)化了的 的代數方程

　　由此可見(jiàn)，曲線(xiàn)方程就是產(chǎn)生曲線(xiàn)的幾何條件的一種表現形式，這個(gè)形式的特點(diǎn)是“含動(dòng)點(diǎn)坐標的代數方程．”

　�。�6）求曲線(xiàn)方程的問(wèn)題是解析幾何中一個(gè)基本的問(wèn)題和長(cháng)期的任務(wù)，不是一下子就徹底解決的，求解的方法是在不斷的學(xué)習中掌握的，教學(xué)中要把握好“度”．

　　教學(xué)設計示例

　　課題：求曲線(xiàn)的方程（第一課時(shí)）

　　教學(xué)目標：

　�。�1）了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問(wèn)題．

　�。�2）進(jìn)一步理解曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)．

　�。�3）初步掌握求曲線(xiàn)方程的方法．

　�。�4）通過(guò)本節內容的教學(xué)，培養學(xué)生分析問(wèn)題和轉化的能力．

　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：求曲線(xiàn)的方程．

　　教學(xué)用具：計算機．

　　教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導法，討論法．

　　教學(xué)過(guò)程：

　　【引入】

　　1．提問(wèn)：什么是曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)．

　　學(xué)生思考并回答．教師強調．

　　2．坐標法和解析幾何的意義、基本問(wèn)題．

　　對于一個(gè)幾何問(wèn)題，在建立坐標系的基礎上，用坐標表示點(diǎn)；用方程表示曲線(xiàn)，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線(xiàn)的性質(zhì)，這一研究幾何問(wèn)題的方法稱(chēng)為坐標法，這門(mén)科學(xué)稱(chēng)為解析幾何．解析幾何的兩大基本問(wèn)題就是：

　�。�1）根據已知條件，求出表示平面曲線(xiàn)的方程．

　�。�2）通過(guò)方程，研究平面曲線(xiàn)的性質(zhì)．

　　事實(shí)上，在前邊所學(xué)的直線(xiàn)方程的理論中也有這樣兩個(gè)基本問(wèn)題．而且要先研究如何求出曲線(xiàn)方程，再研究如何用方程研究曲線(xiàn)．本節課就初步研究曲線(xiàn)方程的求法．

　　【問(wèn)題】

　　如何根據已知條件，求出曲線(xiàn)的方程．

　　【實(shí)例分析】

　　例1：設 、 兩點(diǎn)的坐標是 、（3，7），求線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)的方程．

　　首先由學(xué)生分析：根據直線(xiàn)方程的知識，運用點(diǎn)斜式即可解決．

　　解法一：易求線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標為（1，3），

　　由斜率關(guān)系可求得l的斜率為

　　于是有

　　即l的方程為

　�、�

　　分析、引導：上述問(wèn)題是我們早就學(xué)過(guò)的，用點(diǎn)斜式就可解決．可是，你們是否想過(guò)①恰好就是所求的嗎？或者說(shuō)①就是直線(xiàn)的方程？根據是什么，有證明嗎？

　�。ㄍㄟ^(guò)教師引導，是學(xué)生意識到這是以前沒(méi)有解決的問(wèn)題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條）．

　　證明：（1）曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標都是這個(gè)方程的解．

　　設 是線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則

　　即

　　將上式兩邊平方，整理得

　　這說(shuō)明點(diǎn)的坐標 是方程 的解．

　�。�2）以這個(gè)方程的解為坐標的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)．

　　設點(diǎn) 的坐標 是方程①的任意一解，則

　　到 、 的距離分別為

　　所以 ，即點(diǎn) 在直線(xiàn)上．

　　綜合（1）、（2），①是所求直線(xiàn)的方程．

　　至此，證明完畢．回顧上述內容我們會(huì )發(fā)現一個(gè)有趣的現象：在證明（1）曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標都是這個(gè)方程的解中，設 是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，最后得到式子 ，如果去掉腳標，這不就是所求方程 嗎？可見(jiàn)，這個(gè)證明過(guò)程就表明一種求解過(guò)程，下面試試看：

　　解法二：設 是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)屬于集合

　　由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)所適合的條件可表示為

　　將上式兩邊平方，整理得

　　果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿(mǎn)足．顯然，求解過(guò)程就說(shuō)明第一條是正確的（從這一點(diǎn)看，解法二也比解法一優(yōu)越一些）；至于第二條上邊已證．

　　這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線(xiàn)方程的理論，又非常自然，還體現了曲線(xiàn)方程定義中點(diǎn)集與對應的思想．因此是個(gè)好方法．

　　讓我們用這個(gè)方法試解如下問(wèn)題：

　　例2：點(diǎn)與兩條互相垂直的直線(xiàn)的距離的積是常數 求點(diǎn) 的軌跡方程．

　　分析：這是一個(gè)純粹的幾何問(wèn)題，連坐標系都沒(méi)有．所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線(xiàn)作坐標軸，建立直角坐標系．然后仿照例1中的解法進(jìn)行求解．

　　求解過(guò)程略．

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