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橢圓知識點(diǎn)總結
在平平淡淡的學(xué)習中，很多人都經(jīng)常追著(zhù)老師們要知識點(diǎn)吧，知識點(diǎn)也不一定都是文字，數學(xué)的知識點(diǎn)除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識點(diǎn)。掌握知識點(diǎn)有助于大家更好的學(xué)習。下面是小編收集整理的橢圓知識點(diǎn)總結，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
橢圓知識點(diǎn)總結 1
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橢圓知識點(diǎn)總結 2
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑
余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角
圓的標準方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圓心坐標
圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0
拋物線(xiàn)標準方程y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py
直棱柱側面積S=c*h斜棱柱側面積S=c*h
正棱錐側面積S=1/2c*h正棱臺側面積S=1/2（c+c）h
圓臺側面積S=1/2（c+c）l=pi（R+r）l球的表面積S=4pi*r2
圓柱側面積S=c*h=2pi*h圓錐側面積S=1/2*c*l=pi*r*l
弧長(cháng)公式l=a*ra是圓心角的弧度數r>0扇形面積公式s=1/2*l*r
錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱體積V=SL注：其中，S是直截面面積，L是側棱長(cháng)
柱體體積公式V=s*h圓柱體V=p*r2h
乘法與因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b
|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a
根與系數的關(guān)系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注：韋達定理
判別式
b2—4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根
b2—4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根
b2—4ac<0注：方程沒(méi)有實(shí)根，有共軛復數根
橢圓知識點(diǎn)總結 3
兩角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）
ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）
倍角公式
tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctga
cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a
半角公式
sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））
ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））
和差化積
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）
2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos（A+B）—cos（A—B）
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosB
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
橢圓知識點(diǎn)總結 4
橢圓知識點(diǎn)總結
1.橢圓的概念
在平面內到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a=c，則集合P為線(xiàn)段；
(3)若a
2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)
一條規律
橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數間的關(guān)系：
兩種方法
(1)定義法：根據橢圓定義，確定a2、b2的值，再結合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程.
(2)待定系數法：根據橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關(guān)于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫(xiě)出橢圓的標準方程.
三種技巧
(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(cháng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a+c，最小距離為a-c.
(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)齊次方程，再結合b2=a2-c2就可求得e(0
(3)求橢圓方程時(shí)，常用待定系數法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據是：
�、僦行氖欠裨谠c(diǎn)；
�、趯ΨQ(chēng)軸是否為坐標軸.
橢圓方程的第一定義：
�、泞贆E圓的標準方程：
i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.
�、谝话惴匠蹋�.
�、蹤E圓的標準參數方程：的參數方程為(一象限應是屬于).
�、脾夙旤c(diǎn)：或.②軸：對稱(chēng)軸：x軸，軸；長(cháng)軸長(cháng)，短軸長(cháng).③焦點(diǎn)：或.④焦距：.⑤準線(xiàn)：或.⑥離心率：.⑦焦點(diǎn)半徑：
i. 設為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
ii.設為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
由橢圓第二定義可知：歸結起來(lái)為“左加右減”.
注意：橢圓參數方程的推導：得方程的軌跡為橢圓.
�、嗤◤剑捍怪庇趚軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng)。坐標：和
�、枪搽x心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數，的離心率也是 我們稱(chēng)此方程為共離心率的橢圓系方程.
(4)若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為(用余弦定理與可得). 若是雙曲線(xiàn)，則面積為.
橢圓知識點(diǎn)總結 5
知識點(diǎn)一橢圓的定義
平面內到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(大于)的點(diǎn)的集合叫做橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。
根據橢圓的定義可知：橢圓上的點(diǎn)M滿(mǎn)足集合，且都為常數。
當即時(shí)，集合P為橢圓。
當即時(shí)，集合P為線(xiàn)段。
當即時(shí)，集合P為空集。
知識點(diǎn)二橢圓的標準方程
(1)、焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)。
(2)、焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)。
知識點(diǎn)三橢圓方程的一般式
這種形式的方程在課本中雖然沒(méi)有明確給出，但在應用中有時(shí)比較方便，在此提供出來(lái)，作為參考：
(其中為同號且不為零的常數，)，它包含焦點(diǎn)在軸或軸上兩種情形。方程可變形為。
當時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。
一般式，通常也設為，應特別注意均大于0，標準方程為。
知識點(diǎn)四橢圓標準方程的求法
1.定義法
橢圓標準方程可由定義直接求得，這是求橢圓方程中很重要的方法之一，當問(wèn)題是以實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，一定要注意使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此要恰當地表示橢圓的范圍。
例1、在△ABC中，A、B、C所對三邊分別為，且B(-1，0)C(1，0)，求滿(mǎn)足，且成等差數列時(shí)，頂點(diǎn)A的曲線(xiàn)方程。
變式練習1.在△ABC中，點(diǎn)B(-6，0)、C(0，8)，且成等差數列。
(1)求證：頂點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運動(dòng)。
(2)指出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標以及焦距。
2.待定系數法
首先確定標準方程的類(lèi)型，并將其用有關(guān)參數表示出來(lái)，然后結合問(wèn)題的條件，建立參數滿(mǎn)足的等式，求得的值，再代入所設方程，即一定性，二定量，最后寫(xiě)方程。
例2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，0)，=3b，求橢圓的標準方程。
例3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標軸為對稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓方程。
變式練習2.求適合下列條件的橢圓的方程；
(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是(-3，0)，(3，0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，0).
(2)兩焦點(diǎn)在坐標軸上，兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標原點(diǎn)，焦距為8，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12.
3.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求橢圓的標準方程。
4.求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓標準方程。
知識點(diǎn)五共焦點(diǎn)的橢圓方程的求解
一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設其方程為。
例4、過(guò)點(diǎn)(-3，2)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()
A.B.C.D.
變式練習5.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，-3)且橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。
知識點(diǎn)六與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的求解方法
與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求解是一種很重要的題型，教材中的例題就是利用代入求球軌。跡，其基本思路是設出軌跡上一點(diǎn)和已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)，建立其關(guān)系，再代入。
例5、已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)段，點(diǎn)在上，并且，求點(diǎn)的軌跡。
知識點(diǎn)七與弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的求解方法
直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)、,稱(chēng)線(xiàn)段為橢圓的相交弦。與這個(gè)弦中點(diǎn)有點(diǎn)的軌跡問(wèn)題是一類(lèi)綜合性很強的題目，因此解此類(lèi)問(wèn)題必須選擇一個(gè)合理的方法，如“設而不求”法，其主要特點(diǎn)是巧代線(xiàn)段的斜率。其方程具體是：設直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，坐標分別為、，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則有
�、偈�-②式，得，即
∴
通常將此方程用于求弦中點(diǎn)的軌跡方程。
例6.已知：橢圓，求：
(1)以P(2，-1)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程；
(2)斜率為2的相交弦中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)過(guò)Q(8，2)的直線(xiàn)被橢圓截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程。
第二部分：鞏固練習
1.設為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的周長(cháng)是()
A.16B.8C.D.無(wú)法確定
2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為()
A.12B.4C.3D.2
3.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，2)，那么等于()
A.-1B.1C.D.-
4.已知橢圓的焦點(diǎn)是，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(cháng)到，使得，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()
A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)的一支D.拋物線(xiàn)
5.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是__________.
6.橢圓的焦點(diǎn)坐標是___________.
7.橢圓的焦距為2，則正數的值____________.
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