浙江省建德市新安江第一小學(xué) 余志軍 中學(xué)高級教師
【內容提要】研究素材是承載數學(xué)教學(xué)內容、實(shí)現教師教學(xué)意圖，指引學(xué)生獲取數學(xué)知識，理解數學(xué)本質(zhì)，提高數學(xué)素養的基本載體。實(shí)踐證明：合理有效的探究素材能增強學(xué)生的探究興趣，引發(fā)學(xué)生積極地進(jìn)行數學(xué)思考，從而提升學(xué)生的思維能力；而不適當的素材有可能導致課堂教學(xué)的功敗垂成。本文從兩次“烙餅問(wèn)題”教學(xué)的經(jīng)歷為例，試圖以“典型課例研究”為載體，管窺“精選素材，合理使用”的一般規律，并探索激活學(xué)生思維的有效策略。
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數學(xué) 研究素材
本文所說(shuō)的研究素材是指承載數學(xué)教學(xué)內容、實(shí)現教師教學(xué)意圖，指引學(xué)生獲取數學(xué)知識、理解數學(xué)本質(zhì)，提高數學(xué)素養的基本載體。2011版《數學(xué)課程標準》特別強調：數學(xué)素材應盡量貼近現實(shí)生活，盡量聯(lián)系學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗。這樣，我們的數學(xué)教學(xué)就能夠運用貼近生活的素材，借助學(xué)生的已有經(jīng)驗，引導學(xué)生探究?jì)仍诘囊幝�，提高學(xué)生的數學(xué)素養，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)思維。這里說(shuō)的數學(xué)思維主要是以抽象、推理和建模為主要特征的思維活動(dòng)�；谶@樣理念，多數數學(xué)課堂我們至少需要組織學(xué)生經(jīng)歷如下三個(gè)過(guò)程：首先是在理解素材中發(fā)現問(wèn)題、提出問(wèn)題；其次是借助適當的方法進(jìn)行思考和探索，得出一定的猜想或規律；接著(zhù)回到具體情境進(jìn)行驗證，并概括和抽象出數學(xué)模型。所以，問(wèn)題來(lái)源于素材，探究依賴(lài)于素材，建模更要素材來(lái)支撐。
研究素材選擇得是否合適，呈現方式是否多樣，活動(dòng)組織得是否合理，甚至關(guān)系到一節數學(xué)課的成敗。
案例重現
不久之前，本人承擔了一節市級公開(kāi)課，內容是人教版實(shí)驗教科書(shū)四年級上冊數學(xué)第七單元的“烙餅問(wèn)題”。本類(lèi)問(wèn)題的綜合性比較強，具有一定的思考余地和探索空間，特別適合引導學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程和對問(wèn)題的探索理解，積累數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗、感悟數學(xué)基本思想。經(jīng)過(guò)思考，本人基本設想是分四個(gè)板塊引導學(xué)生把握其中的一般規律和基本數學(xué)思想。
整個(gè)過(guò)程大致是這樣的：
第一個(gè)板塊，簡(jiǎn)單討論“烙一個(gè)餅”和“烙兩個(gè)餅”的方法，作為鋪墊。
第二個(gè)板塊，重點(diǎn)操作并交流討論“烙3個(gè)餅”的方法，并在此基礎上推想“烙4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)……”的方法，探究其中的規律。
第三個(gè)板塊，解決生活中類(lèi)似“烙餅”的問(wèn)題，建立模型。
第四個(gè)板塊，拓展思維，想象“鍋子可同時(shí)烙3只餅”。
當課進(jìn)行到第二板塊，進(jìn)行重點(diǎn)突破的時(shí)候，遭遇了小小的尷尬：
經(jīng)過(guò)討論、演示、交流、體會(huì )，正要取得“3只餅，交替烙法最合理”共識的時(shí)候，有一只手高高地舉了起來(lái)，似乎有重要的發(fā)現要說(shuō)。
生：老師，把那只餅拿出來(lái)過(guò)3分鐘再放回去烙，還好吃嗎？生活中是不會(huì )有人這么烙的！
下面聽(tīng)課老師發(fā)出了輕輕的笑聲，其他學(xué)生的思維受到吸引也議論紛紛起來(lái)……
經(jīng)過(guò)一番周折，好不容易形成了比較一致的意見(jiàn)：相同點(diǎn)是每次都是兩只餅同時(shí)在烙，鍋子始終不空著(zhù)；不同的是2個(gè)餅是同時(shí)烙正反面，而3個(gè)需要交替烙。
……
課總算“有驚無(wú)險”地按計劃完成了預定任務(wù)。
為什么會(huì )遭遇這樣的尷尬？當靜下心來(lái)仔細回味，事出偶然而其中又有一定的必然。
第一，素材考慮了生活化，但并不符合兒童的認識經(jīng)驗�！袄语灐边@個(gè)現象，孩子經(jīng)常在
街頭小吃店看到，素材來(lái)自現實(shí)生活，但在我們看來(lái)符合現實(shí)生活的素材，由于兒童受自身經(jīng)歷和獨特視角的影響，學(xué)生看起來(lái)并不一定是“現實(shí)”的。
第二，體驗性操作和實(shí)踐從數學(xué)角度看有相同本質(zhì)，但畢竟不是直接經(jīng)驗�！袄语灐币澕s時(shí)間，關(guān)鍵是“鍋子不能空著(zhù)，始終要以最大量烙”，關(guān)于這一點(diǎn)，課堂通過(guò)組織模擬活動(dòng)，學(xué)生盡管經(jīng)歷了，由于與他們的直接經(jīng)驗還有一定距離，感悟還是不夠深。
第三，經(jīng)歷探究、推理的過(guò)程對獲取知識很重要，但探究材料是否典型直接決定了效果。在操作、探究、觀(guān)察基礎上進(jìn)行的推理中，學(xué)生還不能綜合運用知識進(jìn)行歸因，不能有效對數據進(jìn)行處理和分析，實(shí)質(zhì)上是對本質(zhì)缺乏必要領(lǐng)悟和把握，即實(shí)際上需要把“餅數”分為幾個(gè)2或幾個(gè)3或幾個(gè)2加一個(gè)3，研究數據不夠典型應該是原因之一。
第四，知識之間還需要縱橫建立幾個(gè)對應關(guān)系：比如烙一個(gè)時(shí)間和烙一面時(shí)間的關(guān)系；烙的次數與餅的面數的關(guān)系；餅數與烙餅次數之間的關(guān)系等。建立這些關(guān)系，對學(xué)生的綜合能力是個(gè)考驗，也需要素材的寬度、長(cháng)度來(lái)保障。
由此可見(jiàn)，即使教學(xué)的總體思路對了，如果素材不理想，活動(dòng)不到位，都會(huì )造成課的“節外生枝”，不小心還會(huì )“功敗垂成”！所以，本課還有待進(jìn)一步地斟酌。
深入思考
“小學(xué)生的數學(xué)學(xué)習，應從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應用的過(guò)程�！痹谶@樣的理念指導下，老師把數學(xué)研究素材生活化，生活世界數學(xué)化的現象十分普遍。但是，操作上一不小心，易把生活和數學(xué)等同起來(lái)，誤以為只有生活中的數學(xué)才是有價(jià)值的數學(xué)，把數學(xué)和生活本末倒置，生活味在一定程度上淹沒(méi)了數學(xué)味。就像上例“烙餅”問(wèn)題：“烙餅”既然是來(lái)自現實(shí)生活的一個(gè)素材，學(xué)生從自己的視角出發(fā)，從日常觀(guān)察生活的聯(lián)想出發(fā)，想到“把那只餅拿出來(lái)過(guò)3分鐘再放回去烙，還好吃嗎？生活中是不會(huì )有人這么做的！”就一點(diǎn)都不奇怪了。教學(xué)關(guān)注的是從數學(xué)角度看怎么更節約時(shí)間，而兒童思維的感性成分比較多，他們常常被“生活”、被“人文”的東西所干擾。生活原生態(tài)素材到底能收到多大的教學(xué)效益？這是個(gè)必須考慮的問(wèn)題。那么怎樣精選、使用研究素材才能促進(jìn)學(xué)生有效地學(xué)習數學(xué)呢？
于是我們不由得產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：“烙餅”這個(gè)情境真的符合學(xué)生經(jīng)驗嗎？有沒(méi)有既有“烙餅”的數學(xué)結構、不會(huì )引發(fā)歧義、又很貼近學(xué)生生活實(shí)際的其他素材呢？選取哪幾個(gè)“餅數”開(kāi)展研究、整理、觀(guān)察、推理，既節約時(shí)間，又便于學(xué)生把握本質(zhì)、啟發(fā)學(xué)生思維？
1.素材選擇需要滿(mǎn)足的幾個(gè)基本要求。
(1)符合班級學(xué)生的認知基礎和生活背景。
學(xué)生為什么會(huì )認為數學(xué)枯燥乏味、麻煩難懂？最主要的原因是因為教學(xué)脫離兒童實(shí)際。小學(xué)生以形象思維為主，有不少數學(xué)教學(xué)內容相對有些抽象。教學(xué)中為了解決好這對矛盾，教師要將數學(xué)知識化解在生動(dòng)活潑的情境中，讓數學(xué)貼近兒童生活，順應兒童經(jīng)驗。用具體生動(dòng)、形象可感的素材來(lái)承載數學(xué)知識，讓學(xué)生感到數學(xué)原來(lái)是很現實(shí)的，是很常見(jiàn)的，是不難學(xué)的，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣，增強學(xué)好數學(xué)的信心。準備素材時(shí)，不僅僅要有心理學(xué)意義上的兒童觀(guān)念，更關(guān)鍵的是要有班級兒童觀(guān)念，農村兒童是怎么樣的，城鎮兒童又是怎么樣的，心里要有數。如果是來(lái)自班級兒童的，也許就是效果最好的。
(2)幫助學(xué)生把握本質(zhì)和建立模型。
數學(xué)是研究數量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數量關(guān)系和空間形式都是現實(shí)生活的反映。所以說(shuō)，數學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活。當我們把數學(xué)知識生活化、情境化后，既有利，也有弊。有利的是學(xué)生可以通過(guò)“生活原型”，溝通生活數學(xué)與課堂數學(xué)的聯(lián)系，把數學(xué)知識獲取的過(guò)程與已有的生活經(jīng)驗融合，實(shí)現知識的遷移或提煉，這樣就是對生活的提煉，對生活的超越，實(shí)現數學(xué)模型的建立。學(xué)習難度降低了，理解加深了。不利的是，生活化素材并不是一下子就能找到“數學(xué)原型”的，生活化素材，信息往往更復雜，有可能還是不連貫的片段，干擾性因素也比較多。這就需要教師在選擇素材時(shí)要有敏銳的觀(guān)察力，要注意排除一些不必要因素的干擾，有利于學(xué)生抓住本質(zhì)，便于讓學(xué)生從中去提煉數學(xué)知識，構建數學(xué)模型。
(3)素材要有地方特色和時(shí)代氣息。
時(shí)代在發(fā)展，信息技術(shù)日新月異，兒童能獲得的信息或許比老師都新。陳舊的、枯燥的、虛假的信息，必定激不起學(xué)生的學(xué)習欲望。只有緊跟時(shí)代步伐，把富有時(shí)代氣息的知識及時(shí)納入課堂教學(xué)；只有緊盯社會(huì )發(fā)展，把富有地方特色的內容及時(shí)引入數學(xué)課堂，才能培養運用意識和實(shí)踐能力，才能讓學(xué)生體會(huì )到時(shí)代進(jìn)步、社會(huì )發(fā)展，才能體會(huì )到數學(xué)的生動(dòng)活潑，體會(huì )到數學(xué)的多方運用，才能體會(huì )到數學(xué)的價(jià)值，樹(shù)立起數學(xué)的信心。
經(jīng)過(guò)思考和篩選，我們選中了“電玩中的數學(xué)”,它本質(zhì)上與“烙餅問(wèn)題”相通，又能借助兒童直接經(jīng)驗，還有現代元素。
2.合理使用素材促學(xué)生經(jīng)驗升級。
素材是知識的載體，研究的主體是學(xué)生。使用素材要合理有度，這樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，又能喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗，使學(xué)生頭腦里原生態(tài)概念升級為比較完整的數學(xué)概念。
(1)橫向有寬度
“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實(shí)踐”是組成數學(xué)的四大領(lǐng)域，我們可以把它們看成是互相聯(lián)系的橫向結構，每?jì)越滩亩际沁@樣橫向排列。那么，不同領(lǐng)域的知識，所需的素材不都是一樣的。同一領(lǐng)域的不同內容，運用過(guò)的素材也各有側重。
教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，貼近生活、與學(xué)生經(jīng)驗對接的素材，絕大多數確實(shí)鮮活了課堂、激活了學(xué)生的思維。但是，也有不少適得其反的例子：就像前面的“烙餅”；還有不少計算課，當情境調動(dòng)了學(xué)生已有經(jīng)驗后，學(xué)生的思維囿于定勢，就再也沒(méi)有求異性了。所以，我們并不能不分知識類(lèi)別、性質(zhì)都用上差不多的素材，而應聯(lián)系教學(xué)實(shí)際，創(chuàng )設多樣性的題材。有時(shí)，與生活實(shí)際不相聯(lián)系、與學(xué)生經(jīng)驗基本無(wú)關(guān)的素材，對數學(xué)課堂卻同樣很有價(jià)值。比如，“因數和倍數”的教學(xué)中，就是這樣大量使用純數學(xué)素材和完全新的題材。
這就體現了素材的豐富性和涵蓋面的寬廣。
(2)點(diǎn)上有深度
如果把全冊教材看成一個(gè)橫向結構，則每一節課就成為組成這個(gè)系統的一個(gè)節點(diǎn)。點(diǎn)的教學(xué) ，素材的前期處理需要生活化，后期就需要數學(xué)化。只有這樣才能在落實(shí)基礎知識和基本技能的同時(shí)，自然而然結合生活實(shí)踐，在引導學(xué)生探究運用所學(xué)知識解決問(wèn)題的過(guò)程中，獲得初步的活動(dòng)經(jīng)驗，感悟粗淺的數學(xué)思想方法。橫向素材的安排主要考慮形式多樣、與領(lǐng)域匹配；作為一節課的素材，更關(guān)注的是怎樣為一個(gè)知識要點(diǎn)、思維訓練點(diǎn)服務(wù)，怎么突出本質(zhì)，怎么激活思維是考慮的重中之重。為了突出本質(zhì)，素材必須具有典型性、針對性�！袄语瀱�(wèn)題”，應該從3個(gè)開(kāi)始研究，弄清關(guān)鍵；用6個(gè)，7個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，11個(gè)這幾個(gè)典型數據的研究突破難點(diǎn)、突出重點(diǎn)。這樣的設計，不僅符合知識本身的邏輯發(fā)展，而且貼近學(xué)生最近發(fā)展區，能真正激活學(xué)生的思維，培養他們的發(fā)現問(wèn)題、探索研究、數學(xué)推理、解決問(wèn)題的創(chuàng )新能力。同時(shí)，作為一節課，從引入，到探究，到建模，到運用，每個(gè)環(huán)節的素材盡管可以不同，本質(zhì)上都該圍繞“統籌安排”這個(gè)核心而設計，就是說(shuō)素材有必要的長(cháng)度，能前后貫通整個(gè)點(diǎn)。
素材的典型性、針對性以及貫通長(cháng)度，可以稱(chēng)為深度。它和素材的寬度相輔相成，使我們數學(xué)課堂擁有“牛奶咖啡”那樣的可口味道。
3.動(dòng)態(tài)把握促數學(xué)課堂簡(jiǎn)約高效。
(1)動(dòng)態(tài)生成數學(xué)研究素材。
研究材料為知識和技能的學(xué)習提供了合適的載體，為學(xué)生的數學(xué)思考創(chuàng )造了必要的條件。但是，如果素材的選擇單一而且沒(méi)有創(chuàng )新，那么，效果一定不會(huì )理想。
活用教材資源。教材上的素材絕大部分是經(jīng)過(guò)專(zhuān)家學(xué)者精心篩選過(guò)的，具有科學(xué)性、適切性、普遍性，是學(xué)生學(xué)習數學(xué)的重要線(xiàn)索。一般都可直接拿來(lái)利用，這樣既節約準備時(shí)間，又不至于出現科學(xué)性錯誤。但是，由于不同的學(xué)生所處的環(huán)境不盡相同，所具備的知識背景與數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗也各異，不同教師的教學(xué)風(fēng)格也不同。所以，教材素材的動(dòng)態(tài)處理很重要。教師應當根據本班實(shí)際、自身條件，對教材提供的素材修改、補充、替換等。
捕捉生活資源。為了拓寬教學(xué)素材的面，教師要有敏銳的觀(guān)察力，把平時(shí)觀(guān)察、感受到的生活數學(xué)問(wèn)題，轉化為具有地方特色、符合兒童視角的研究素材。在遵循教材知識體系的的同時(shí)，使教學(xué)與生活結合得緊密，使課堂教學(xué)更活潑、更開(kāi)放。
多用課堂生成的素材。課堂教學(xué)過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化、發(fā)展的過(guò)程，課堂的精彩往往來(lái)自學(xué)生即時(shí)迸發(fā)的奇思妙想。作為教師如果善于捕捉這一瞬間，把握動(dòng)態(tài)生成的問(wèn)題情境，創(chuàng )設為有思考性的問(wèn)題情境，帶來(lái)的的是真正意義數學(xué)思考。因為素材來(lái)源于課堂、來(lái)自于學(xué)生，就讓學(xué)生產(chǎn)生出非要解決它的強烈欲望，從而促進(jìn)他們積極探索，丙在探索中積累了知識和經(jīng)驗。
根據這樣的思路，我們直接選用了教材上的“炒菜上菜問(wèn)題”，選定了平時(shí)學(xué)習生活中的“復印試卷問(wèn)題”促建構。
(2)靈活呈現數學(xué)研究素材。
不管素材是來(lái)自教材，還是來(lái)自生活，亦或是來(lái)自課堂生成，無(wú)論是那種，教師必須采用多種方式呈現材料，為課堂上學(xué)生思維的激活設計通道。從教學(xué)實(shí)踐看，變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、變單一文字為圖文結合、變有序排列為非連續信息，更能調動(dòng)學(xué)生多感官參與學(xué)習活動(dòng)，促進(jìn)思維條理性、邏輯性和敏捷性的發(fā)展，提升數學(xué)學(xué)習品質(zhì)�！袄语瀱�(wèn)題”的教學(xué)，素材可以靜態(tài)呈現、動(dòng)態(tài)演示、書(shū)面出示、口頭描述、實(shí)驗操作等方式相結合。
再次“烙餅”
經(jīng)過(guò)慎重思考和重新設計，借班和學(xué)生再次“烙餅”。
教學(xué)的第一層次
呈現如下情境：“一個(gè)電腦小游戲，可以單人玩，也可以雙人玩，每局的時(shí)間是10分鐘�，F在甲、乙、丙三個(gè)小朋友每人都想玩2局，你打算怎樣安排？最少需幾分鐘？”
引導學(xué)生直接從“3人玩”開(kāi)始獨立研究。然后組織交流不同的安排方法和所需時(shí)間。學(xué)生的思維有如下幾種：
第一種，一個(gè)一個(gè)地輪流玩，每人2局，共要60分鐘。
持這樣思維的是少數，稍有經(jīng)驗或略會(huì )反思的學(xué)生，憑直覺(jué)都知道“太浪費時(shí)間了！”
第二種，先甲、乙同時(shí)玩一局，接著(zhù)丙玩一局；再甲、乙同時(shí)玩一局，接著(zhù)丙玩一局。合計要40分鐘。
第三種，先甲、丙同時(shí)玩一局，接著(zhù)乙玩一局；再甲、丙同時(shí)玩一局，接著(zhù)乙玩一局。合計要40分鐘。
第四種，先乙、丙同時(shí)玩一局，接著(zhù)甲玩一局；再乙、丙同時(shí)玩一局，接著(zhù)甲玩一局。合計要40分鐘。
第五種，先甲、乙同時(shí)玩兩局，接著(zhù)丙玩兩局。合計要40分鐘。
第六種，先甲、丙同時(shí)玩兩局，接著(zhù)乙玩兩局。合計要40分鐘。
第七種，先乙、丙同時(shí)玩兩局，接著(zhù)甲玩兩局。合計要40分鐘。
事實(shí)上，第二至第七種其實(shí)一種，都是其中兩人先玩，再第三人玩。所以都需要40分鐘。多數學(xué)生的思維屬于其中的一種。
第八種，甲、乙；甲、丙；乙、丙每局兩人同時(shí)交替著(zhù)玩。只要30分鐘。
這是最節約時(shí)間，而且是“最不讓人等得著(zhù)急”的玩法。有這種思維的學(xué)生接近班級的五分之一。
這時(shí)，引導學(xué)生把上述方法歸為三類(lèi)：
第一類(lèi)，一個(gè)一個(gè)地輪流玩，每人2局，共要60分鐘（上述第一種）；
第二類(lèi)先其中兩人先玩，再第三人玩，每人2局，共要40分鐘（上述第二至第七種）；
第三類(lèi)，每局兩人，3人交替著(zhù)玩，只要30分鐘（上述第八種）。
更重要的是，引導學(xué)生對比發(fā)現“時(shí)間是怎么節約下來(lái)的”。得出本類(lèi)問(wèn)題的基本思想是“盡量不讓電腦空著(zhù)、每局都盡量?jì)扇送瑫r(shí)玩”。
這個(gè)素材，我們姑且稱(chēng)為“電玩中的數學(xué)”，學(xué)生既熟悉、有興趣，又包含“烙餅問(wèn)題”的結構。這樣引入和鋪墊，既從學(xué)生的知識積累和直觀(guān)經(jīng)驗出發(fā)，又不至于旁生枝節。直接從3個(gè)“餅”開(kāi)始討論，并適時(shí)合理歸類(lèi)，有利于學(xué)生學(xué)會(huì )思考，有利于第二層次教學(xué)感悟“盡量不讓鍋子空著(zhù)，每次最多地烙”這一基本思想。
教學(xué)的第二層次
課件動(dòng)態(tài)呈現情境：一個(gè)鍋子每次最多可以同時(shí)烙2個(gè)餅，每個(gè)餅每面需烙2分鐘。如果現在要烙3個(gè)餅，怎么烙時(shí)間最短？最短需要幾分鐘？
討論并歸納：“交替烙餅”，每次都烙2個(gè)，烙3次，需2×3=6分鐘。
再呈現研究問(wèn)題：如果是要烙6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)、11個(gè)……怎么烙餅時(shí)間最節約？各需要幾分鐘？
放手讓學(xué)生探究后反饋，抓住兩個(gè)問(wèn)題組織學(xué)生交流：“你是分成幾個(gè)幾個(gè)烙的？”“最少用了幾分鐘？”
接著(zhù)抓住關(guān)鍵數據，著(zhù)重引導比較“9個(gè)、11個(gè)”的不同分法，如9=2+2+2+3=3+3+3，時(shí)間是否一樣，哪種更方便、更符合實(shí)際。
在此基礎上，引導學(xué)生觀(guān)察、思考和歸納：你有什么發(fā)現？
學(xué)生得出如下不同結論：當餅數是等于或大于2的雙數，就2個(gè)2個(gè)同時(shí)烙；餅數是大于3的單數，可以先2個(gè)2個(gè)同時(shí)烙，再3個(gè)交替玩，有時(shí)也可以3個(gè)3個(gè)地烙；烙餅次數=餅數；總時(shí)間=每次時(shí)間×餅數；……
教學(xué)的第三層次
呈現“復印問(wèn)題”和“炒菜問(wèn)題”，引導學(xué)生獨立解決，然后說(shuō)說(shuō)想的過(guò)程。
1.要復印5張A4試卷，正、反面都要復印。如果一次最多放兩張試卷，那么你認為最少要復印多少次？你是怎么安排的？
2.某排檔有兩位廚師，這天午飯時(shí)間，同時(shí)來(lái)了甲、乙、丙三位顧客，每人點(diǎn)了兩個(gè)菜。假設兩位廚師炒每個(gè)菜的時(shí)間相等，應該安排怎樣的順序炒菜上菜？
反饋提問(wèn)：什么相當于“鍋子”，什么相當于“餅”？
因為“烙餅問(wèn)題”本身具有比較強的綜合性，具有一定的思考性，所以只要素材合適，活動(dòng)安排恰當，開(kāi)展探究教學(xué)是可以實(shí)現的。以“電玩中的數學(xué)”實(shí)現學(xué)生經(jīng)驗的遷移，以烙3個(gè)餅切入解決關(guān)鍵，選擇烙6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)、11個(gè)的研究突破本質(zhì)，最后走進(jìn)生活運用并抽象模型。教學(xué)這樣安排，“逼得”學(xué)生不得不既獨立思考，又要合作討論；既動(dòng)腦、動(dòng)眼、動(dòng)手，又要動(dòng)口和動(dòng)筆記錄。我們發(fā)現，當餅數多了后，有學(xué)生想象出現了困難，而自己的學(xué)具又不夠，他只得和鄰近同學(xué)一起共同用學(xué)習用品代替“餅”操作一番，自然而然形成小組合作學(xué)習。當學(xué)生對研究的情況交流之后，教師適時(shí)引導學(xué)生進(jìn)行數據整理，再有目的地進(jìn)行觀(guān)察，比較異同和分析聯(lián)系，突破了“分”和“交替烙”的難點(diǎn)，感悟到本質(zhì)。進(jìn)一步研究和分析數據，對“烙一個(gè)時(shí)間和烙一面時(shí)間”，“烙的次數與餅的面數”，“餅數與烙餅次數”，“餅數與總時(shí)間”等之間的對應關(guān)系有了初步的感悟。對得出的猜想和規律初步運用，從不同的角度進(jìn)行驗證，然后再概括和抽象出數學(xué)模型，符合創(chuàng )造思維的一般過(guò)程。
經(jīng)過(guò)上面三個(gè)層次的教學(xué)，學(xué)生對“烙餅問(wèn)題”蘊含的統籌方法有所感悟，而且數學(xué)模型也得以初步建立。
第四層次教學(xué)
布置學(xué)生創(chuàng )造一個(gè)類(lèi)似于“烙餅”這樣的問(wèn)題。
建立模型，必須打通不同情境之間的本質(zhì)聯(lián)系；理解模型，有賴(lài)于問(wèn)題的變式運用。這個(gè)環(huán)節的教學(xué)平常，但作用卻不簡(jiǎn)單。
是否真正領(lǐng)會(huì )了“烙餅問(wèn)題”的基本思想方法，這個(gè)層次是最好的“試金石”。
再次“烙餅”一課，組織學(xué)生探究和思考，即借助了學(xué)生的已有經(jīng)驗，降低了理解的難度，又避免了不必要的尷尬。把教學(xué)重點(diǎn)放在引導學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程和對問(wèn)題的探索理解上，定位更準確。更重要的是，學(xué)生在學(xué)習知識和技能的同時(shí)，積累了“烙餅”的基本活動(dòng)經(jīng)驗，獲得了類(lèi)似“烙餅”的精簡(jiǎn)節約、統籌安排思想。
總之，數學(xué)研究材料的選擇既要關(guān)注現實(shí)性，又要體現數學(xué)知識的生活原型，既要體現適度的開(kāi)放性，又不宜過(guò)分繁雜，既要關(guān)注趣味性，還要減少負面經(jīng)驗對數學(xué)思考的干擾，使素材有利于學(xué)生構建數學(xué)模型。使用研究素材要合理適度，不能盲目追求和濫用。同時(shí)課堂上還要動(dòng)態(tài)把握素材，使好的生成資源為提高課堂教學(xué)效率起到積極的作用。
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2015.08再改