目 錄
一、 全等變換及其性質(zhì) 1
（一） 全等變換的概念 1
（二） 全等變換的性質(zhì) 1
二、 全等變換的基本分類(lèi) 1
（一） 平移 1
1. 平移的概念 1
2. 平移的性質(zhì) 2
3. 關(guān)于平移的問(wèn)題 2
（二） 旋轉 4
1. 旋轉的概念 4
2. 旋轉的性質(zhì) 5
3. 關(guān)于旋轉的問(wèn)題 5
（三） 對稱(chēng) 7
1. 對稱(chēng)的概念 7
2. 對稱(chēng)的性質(zhì) 7
3. 關(guān)于對稱(chēng)的問(wèn)題 8
三、 平移、旋轉和對稱(chēng)之間的關(guān)系 14
參考文獻 16
全等變換及其性質(zhì)
全等變換的概念
在《小學(xué)數學(xué)研究》一書(shū)中給出了全等變換的概念，即：一般的，如果在歐氏平面上定義的變換T，使得任意兩點(diǎn)A，B和它們的象A'B'，總有AB=A'B'，則稱(chēng)T是全等變換，也稱(chēng)保距變換，或者合同變換。這種圖形運動(dòng)也叫圖形的剛體運動(dòng)，即剛體運動(dòng)所生成的變換是全等變換。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁(yè)。]
而在《幾何課程研究》一書(shū)中，則給出了更為簡(jiǎn)潔的定義，即：一個(gè)平面上得到其自身的變換f，如果對于平面上任意兩點(diǎn)A,B,其距離ρ（A,B）總等于它們的對應點(diǎn)A'，B'間的距離ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等變換。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第140頁(yè)。]
全等變換的性質(zhì)
全等變換是一一變換；
平面上所有全等變換的集合構成一個(gè)全等變換群；
兩直線(xiàn)的夾角不變；三角形的面積不變；平面圖形的面積不變；直線(xiàn)上A、B、C三點(diǎn)的簡(jiǎn)比AC/BC不變；
共線(xiàn)點(diǎn)變?yōu)楣簿�(xiàn)點(diǎn)，且保持順序關(guān)系不變；
直線(xiàn)變?yōu)橹本�(xiàn)、線(xiàn)段變?yōu)榫�(xiàn)段、射線(xiàn)變?yōu)樯渚�(xiàn)，半平面變?yōu)榘肫矫妫?/p>
兩直線(xiàn)的平行性、正交性不變。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第141頁(yè).]
全等變換的基本分類(lèi)
平移
平移的概念
平移，也叫平移變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點(diǎn)P變換到P'，滿(mǎn)足：
（1）射線(xiàn)PP'有給定的方向；
（2）線(xiàn)段PP'有給定的長(cháng)度。
其中，點(diǎn)P與P'就是一對對應點(diǎn)。也就是說(shuō)，這里的一組對應點(diǎn)P與P'組成的線(xiàn)段PP'平行于給定的射線(xiàn)，而且，線(xiàn)段PP'的長(cháng)度等于定長(cháng)。事實(shí)上，一個(gè)圖形F經(jīng)過(guò)了一次平移f而等到另一個(gè)圖形F'，意味著(zhù)將圖形F上的所有點(diǎn)，按照同一方向都移動(dòng)了同樣的距離。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁(yè)。]
平移的性質(zhì)
（1）平移變換是第一類(lèi)全等變換。因此，平移變換具有全等變換的一切性質(zhì)。
（2）在平移變換下，直線(xiàn)變成與它平行（或重合）的直線(xiàn)；線(xiàn)段AB變?yōu)榫�(xiàn)段A'B'，且AB=A'B'。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第142頁(yè)。]
關(guān)于平移的問(wèn)題
圖1
圖1是出自人教版小學(xué)數學(xué)二年級下冊的內容。由圖1可以看出，在我們平常的生活中，存在著(zhù)許多平移現象，只不過(guò)學(xué)生們都沒(méi)有仔細地觀(guān)察過(guò)。該圖在引導學(xué)生注意觀(guān)察生活的基礎上，又開(kāi)拓了學(xué)生的思路，讓學(xué)生不單單要觀(guān)察，并且要記住，哪些現象是平移，并且可以舉出一些生活中平移的實(shí)例，例如人在行走過(guò)程中，上身就是在平移，又或者火車(chē)行駛在鐵軌上，也是一種平移。
圖2
圖3
圖2圖3都是出自人教版小學(xué)數學(xué)二年級下冊。在圖3中，形象的給出了一個(gè)鴨子的造型，首先引起了學(xué)生的興趣，讓學(xué)生有興趣繼續讀完下面題目的要求，此題要求學(xué)生做平移之后的圖，更多的是要同學(xué)自己動(dòng)手動(dòng)腦，在自己對平移的理解的基礎上解決問(wèn)題。問(wèn)題相對來(lái)說(shuō)淺顯易懂，意在讓學(xué)生能夠形象的理解平移。如果理解上出現了什么偏差，在做題的過(guò)程中也可以表現出來(lái)，并且及時(shí)糾正。而在圖4中變換了一下提問(wèn)的角度，前面的問(wèn)題都是先給出原圖，然后提出平移要求，讓學(xué)生畫(huà)出最后所求的圖。而在此題中，兩幅圖均給出，需要學(xué)生說(shuō)出具體平移的步驟。這兩道題考察的學(xué)生學(xué)習的全面性。學(xué)習平移，首先要理解平移的含義，其次明白原圖、平移要求和所得圖之間的關(guān)系，只有了解了這三者及他們之間的關(guān)系，才能讀懂做對圖3圖4中的問(wèn)題，此時(shí)，學(xué)生也就對平移有了一個(gè)大致的了解了。
圖4
圖4是關(guān)于平行四邊形面積的求法。在此內容中，用到了平移的知識。因為學(xué)生學(xué)過(guò)矩形面積如何去算，可是不會(huì )算平行四邊形的面積。所以，將平行四邊形左半部分延高h剪下一個(gè)小三角形，再將小三角形平移到平行四邊形的右側，結果發(fā)現正好可以與剩余的部分組成一個(gè)矩形。矩形的長(cháng)是平行四邊形的底，矩形的寬是平行四邊形的高（如圖3所示）。于是得出平行四邊形的面積公式S=ah。
旋轉
旋轉的概念
旋轉，也叫做旋轉變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點(diǎn)A變換到點(diǎn)A'，滿(mǎn)足：
點(diǎn)A、A'到定點(diǎn)O的距離OA、OA'相等；
∠AOA'等于定角α。
其中，定點(diǎn)O叫做旋轉中心，定角α叫做旋轉角。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第181頁(yè)。]
旋轉的性質(zhì)
（1）旋轉變換是第一類(lèi)全等變換。因此，旋轉具有全等變換的一切性質(zhì)。
（2）當旋轉角φ≠180°時(shí)，直線(xiàn)（線(xiàn)段）與其對應直線(xiàn)（線(xiàn)段）的交角等于φ。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第143頁(yè).]
關(guān)于旋轉的問(wèn)題
圖5
圖5出自于人教版小學(xué)數學(xué)二年級下冊。在旋轉的內容上，教材沒(méi)有安排過(guò)多的內容。只是列舉了一些生活的實(shí)例，引導學(xué)生去觀(guān)察，并且培養學(xué)生的觀(guān)察和推導能力。先用具體的圖代替文字解釋什么叫旋轉，然后讓同學(xué)們去聯(lián)想，生活中還有哪些事件是旋轉，加深學(xué)生對旋轉的理解。
圖6
圖6出自人教版小學(xué)數學(xué)二年級下冊。關(guān)于旋轉部分的練習不是很多，主要是讓學(xué)生了解什么是旋轉，觀(guān)察生活中旋轉的實(shí)例，并且通過(guò)觀(guān)察積累經(jīng)驗，解答問(wèn)題。例如，家里的電風(fēng)扇，在工作的時(shí)候幾片扇葉就是在旋轉，又例如，鐘表在工作的時(shí)候，三個(gè)指針也是在旋轉，并且在一年級下學(xué)期的時(shí)候，學(xué)生就已經(jīng)初步的認識了鐘表。
圖7
圖7出自于百度文庫。該題是要求三角形面積公式。我們先根據題目給的三角形，做一個(gè)一模一樣的，然后將其中一個(gè)三角形以一個(gè)頂點(diǎn)作為旋轉中心旋轉180°，接著(zhù)將兩個(gè)三角形拼在一起，形成了一個(gè)平行四邊形。平行四邊形的底是三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高。平行四邊形的面積我們在上文中已經(jīng)利用平移解決了，即S=ah，所以在這里我們可以直接使用，最后得出三角形的面積S= ah。
α
圖8
如圖8，學(xué)生玩活動(dòng)角，準備兩個(gè)紙條，長(cháng)短不限，把它們重疊并且捏住它們的一端，將其中一個(gè)紙條的另一端往別的方向拉，把它張開(kāi)形成一個(gè)角。[ 李一帆，角的認識[N]，新課程小學(xué)北京：科學(xué)出版社，2010-7-8,96.]這個(gè)活動(dòng)讓角動(dòng)態(tài)化了，可以讓學(xué)生更直觀(guān)地看到角是如何形成的，而不是單純的一個(gè)頂點(diǎn)兩條邊，幫助學(xué)生更好地理解角，并在今后的練習中避免了一些錯誤。
對稱(chēng)
對稱(chēng)的概念
對稱(chēng)是指圖形或物體對某一點(diǎn)、某條直線(xiàn)或某個(gè)平面的反射運動(dòng)，在形狀、大小、長(cháng)短和排列等方面都相等或相當，具有一一對應的關(guān)系。軸對稱(chēng)和中心對稱(chēng)都是對稱(chēng)變換。
（1）軸對稱(chēng)的概念
兩個(gè)圖形具有一一變換的關(guān)系，如果以每對對應點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段都和同一條直線(xiàn)垂直且被平分，那么稱(chēng)這種變換為軸對稱(chēng)（或直線(xiàn)反射），每對對應點(diǎn)互稱(chēng)對稱(chēng)點(diǎn)，垂直平分對稱(chēng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的直線(xiàn)叫做對稱(chēng)軸。
（2）中心對稱(chēng)的概念
中心對稱(chēng)實(shí)際上是一種特殊的對稱(chēng)，它既與旋轉有關(guān)，也與點(diǎn)的軸對稱(chēng)有關(guān)。
如果把一個(gè)圖形繞著(zhù)某一點(diǎn)旋轉180°后能與另一個(gè)圖形完全重合，那么，我們就說(shuō)，這兩個(gè)圖形構成中心對稱(chēng)。
特別地，如果把一個(gè)圖形繞著(zhù)某一點(diǎn)旋轉180°后能與自身重合，那么，我們就說(shuō)，這個(gè)圖形成中心對稱(chēng)圖形。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第189-191頁(yè)。]
對稱(chēng)的性質(zhì)
在對稱(chēng)的定義中，對稱(chēng)的性質(zhì)已經(jīng)基本上全部給出。只有中心對稱(chēng)還具有一些特殊的性質(zhì)：
在中心對稱(chēng)變換下：
過(guò)對稱(chēng)中心的直線(xiàn)是不變直線(xiàn)。
對應點(diǎn)連線(xiàn)過(guò)對稱(chēng)中心且被它平分；對應線(xiàn)段相等且反向平行或共線(xiàn)。
不過(guò)對應中心的直線(xiàn)與其對應的直線(xiàn)平行；反之，若兩直線(xiàn)平行，則他們是某個(gè)中心對稱(chēng)變換下的兩條對應直線(xiàn)。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學(xué)出版社，2006,第143頁(yè).]
關(guān)于對稱(chēng)的問(wèn)題
圖9
圖10
圖9和圖10出自于人教版小學(xué)數學(xué)五年級下冊。作為例題，圖9和圖10都非常有代表性。首先，圖9沒(méi)有立即解釋對稱(chēng)，而是讓學(xué)生觀(guān)察生活中常見(jiàn)的幾幅圖，通過(guò)直觀(guān)的印象告訴同學(xué)，這種現象就是對稱(chēng)。然后運用了折紙和剪紙這兩種學(xué)生較喜歡而且可以帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習積極性的活動(dòng)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步認識對稱(chēng)，并且認識一個(gè)新概念：對稱(chēng)軸。圖10中水中的倒影、鏡中的影像，都非常貼近生活，可以讓學(xué)生課下自己去觀(guān)察對稱(chēng)，切身體會(huì )對稱(chēng)帶給生活的美。
圖11
圖11出自人教版小學(xué)數學(xué)五年級下冊。該題和圖10相對應，是圖10中例題的練習題，都是以鏡面作為對稱(chēng)的工具。鏡子是日常生活中非常常見(jiàn)的物品之一，學(xué)生大可以在回家以后自己親身體驗鏡子對稱(chēng)的奧妙。像右圖中那個(gè)小女孩兒，她明明是左手拿本右手拿筆的，可是在鏡子里她就變成了左手拿筆右手拿本，這是為什么呢。引起了學(xué)生的好奇心，引導學(xué)生切身體驗，通過(guò)觀(guān)察自己積累經(jīng)驗解決問(wèn)題，并加深印象。
圖12
圖12出自人教版小學(xué)數學(xué)五年級下冊。這道練習題提問(wèn)的角度和別的題目不大一樣，給出的不是一整幅圖，然后讓學(xué)生做對稱(chēng)，而是給出一半的圖，讓學(xué)生填完另一半。在做題的過(guò)程中，自然而然的讓學(xué)生了解了更多的對稱(chēng)圖形，同時(shí)向學(xué)生滲透一種對稱(chēng)美的觀(guān)點(diǎn)。
圖13
圖13兩幅圖出自百度文庫。
學(xué)生學(xué)習對稱(chēng)，學(xué)習對稱(chēng)軸，自然而然就會(huì )想到一些軸對稱(chēng)的圖形。這里列舉了三個(gè)較典型且非常常見(jiàn)的軸對稱(chēng)圖形，長(cháng)方形、正方形和圓形。給學(xué)生看這三個(gè)圖形，讓他們判斷這三個(gè)圖形是否是軸對稱(chēng)圖形，如果是，有沒(méi)有對稱(chēng)軸�？梢詭椭鷮W(xué)生更好的認識圖形。
圖14
圖14出自百度文庫。該題是求梯形的面積公式。由圖可知，梯形面積公式的推導方法和三角形面積公式的推導方法非常相近。都是先畫(huà)出來(lái)一個(gè)和題目給出的梯形一模一樣的梯形，然后將其中一個(gè)梯形以上底為對稱(chēng)軸做軸對稱(chēng)，之后將兩個(gè)梯形拼在一起，形成了一個(gè)平行四邊形。平行四邊形的底就是梯形的上底加下底，平行四邊形的高就是梯形的高。由平行四邊形面積公式S=ah可知，梯形面積公式為S= (a+b)h。
圖15
圖15是大家很常見(jiàn)的折紙圖，在很常見(jiàn)，學(xué)生也很感興趣的折紙活動(dòng)中，我們也可以看到對稱(chēng)的身影。 通過(guò)折紙活動(dòng)，分析留在紙張上的折痕，我們能夠揭示出大量幾何的對象和性質(zhì)：軸對稱(chēng)、中心對稱(chēng)、全等、相似性、比例及類(lèi)似于幾何分形結構的迭代（在圖案內不斷地重復圖案）等幾何性質(zhì)。這些鮮活的、可視的過(guò)程，給學(xué)生提供了彌補思維過(guò)程中的斷缺部分，更能符合學(xué)生的認知習慣。
平面幾何中的軸對稱(chēng)與中心對稱(chēng)概念，不僅在日常生活中應用廣泛，同時(shí)，也是幾何學(xué)的重要內容。簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題就是應用這類(lèi)內容的典型案例。下面就是簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題的教學(xué)設計的一個(gè)典型案例。[ 本部分參考：上海市金匯學(xué)校課題組。簡(jiǎn)單郵路問(wèn)題與對稱(chēng)教學(xué)[J]，數學(xué)教學(xué)，1999，（2）：31,4.]
（1）提出問(wèn)題
郵遞員從郵局出發(fā)，要把信件送到8個(gè)地方，再回到原地，請為郵遞員設計送信的線(xiàn)路，在完成任務(wù)的前提下使得路程盡可能短。即如圖16所示， △ ● ●
有3×3=9（個(gè)）整齊排列的點(diǎn)，其中左上角帶△的點(diǎn)表示郵局， ● ● ●
請用線(xiàn)段把這些點(diǎn)連接起來(lái)，并且線(xiàn)段不重復。 ● ● ●
解決問(wèn)題； 圖16
發(fā)給學(xué)生每人16個(gè)如圖16所示的圖形。
先由學(xué)生根據要求，獨立畫(huà)出線(xiàn)路圖；
通過(guò)組內交流去掉重復的線(xiàn)路圖；
選取其中一個(gè)小組的所有設計方案，將其張貼在黑板上。
要求學(xué)生：
一方面，去掉不合理的線(xiàn)路圖，即去掉從郵局出發(fā)而最后沒(méi)法回到郵局的情況，以及8個(gè)送信地點(diǎn)中有遺漏或重復的情況。
另一方面，挑選其中的最優(yōu)設計方案。那么，怎么樣的設計方案才是符合問(wèn)題要求的最優(yōu)方案呢？回答是“線(xiàn)路不重復，而且距離必須最短”。
圖16中9點(diǎn)之間的連線(xiàn)有直線(xiàn)段和斜線(xiàn)段兩種，每種設計方案最后的送信距離，我們都可以用“m條直線(xiàn)段+n條斜線(xiàn)段”來(lái)表示。于是，引導學(xué)生計算每一個(gè)方案中的直線(xiàn)段和斜線(xiàn)段的數目，比如有：
直線(xiàn)段（m）：8 7 8
斜線(xiàn)段（n）：1 2 2
要是距離最短，必須滿(mǎn)足什么條件呢？
由于連接9個(gè)點(diǎn)，至少要有9條線(xiàn)段，而且斜線(xiàn)短長(cháng)與直線(xiàn)段，所以，盡可能使斜線(xiàn)段的數目最少。因為連接9點(diǎn)得9條線(xiàn)段中，必須有一條是斜線(xiàn)段。因此，滿(mǎn)足最短距離的設計方案其直線(xiàn)段是8條，斜線(xiàn)段是1條。
小組交流；
在得到什么是最優(yōu)設計方案的基礎上，要求其他小組的學(xué)生，根據判斷標準，補充符合要求的不同的最優(yōu)設計方案。
歸納總結
將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，把設計方案抽象為幾何圖形。
通過(guò)對圖形的觀(guān)察、比較，發(fā)現其中的關(guān)系和規律。比如：
一個(gè)圖形可以通過(guò)另一個(gè)圖形的旋轉而得到。
一個(gè)圖形可以通過(guò)另一個(gè)圖形的翻轉（即軸對稱(chēng)）而得到。
一個(gè)圖形可以通過(guò)另一個(gè)圖形的翻轉（即軸對稱(chēng)）再旋轉得到。
通過(guò)分類(lèi)，總結歸納出所有可能的圖形。比如：
按斜線(xiàn)的缺口方向可分成四類(lèi)，每個(gè)方向有兩個(gè)圖形，所以，一共有8個(gè)圖形。
將其中一個(gè)圖形按順時(shí)針?lè )较蚋餍D90°，得到四個(gè)圖形；將其中的一個(gè)圖形翻轉，再按順時(shí)針?lè )较蚋餍D90°，又可得到四個(gè)圖形。即：
a b c d
▼ ● ● 旋轉 ▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
翻轉
▼ ● ● 旋轉▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
e f g h
圖17
其中：a與e，c與g，d與f是上下對稱(chēng)關(guān)系，a與g，b與f，c與e，d與h是左右對稱(chēng)關(guān)系，而任意一個(gè)圖形，都可以通過(guò)另一個(gè)圖形的旋轉和對稱(chēng)而得到（圖17）。
由圖形再回到實(shí)際問(wèn)題。
由③的討論，我們得到，符合條件的最優(yōu)設計方案的圖形共有8種，考慮到實(shí)際問(wèn)題，對每種圖形，郵遞員可有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種行走方，所以，原問(wèn)題的最優(yōu)線(xiàn)路有16種。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學(xué)數學(xué)研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,185-186.]
平移、旋轉和對稱(chēng)之間的關(guān)系
對同一個(gè)圖形連續進(jìn)行兩次軸對稱(chēng)，如果兩個(gè)對稱(chēng)軸互相平行，那么，這兩次軸對稱(chēng)的結果等同于一次平移；
對同一個(gè)圖形連續進(jìn)行兩次軸對稱(chēng)，如果兩個(gè)對稱(chēng)軸相交，那么，這兩次軸對稱(chēng)的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱(chēng)軸的交點(diǎn)。
反過(guò)來(lái)，對一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過(guò)連續的兩次軸對稱(chēng)來(lái)替代完成；對一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉，可以通過(guò)連續的兩次軸對稱(chēng)來(lái)完成。
小學(xué)幾何變換的數學(xué)問(wèn)題需要具象的、直觀(guān)的操作，讓學(xué)生親自經(jīng)歷直觀(guān)操作，是小學(xué)生幾何學(xué)習所必需的。小學(xué)生的數學(xué)學(xué)習立足在生活經(jīng)驗基礎之上，這些生活化、零散的經(jīng)驗和常識，為開(kāi)展直觀(guān)的幾何學(xué)習奠定了必要的基礎。
與此同時(shí)，小學(xué)幾何變換的課程教學(xué)僅限于在方格紙上進(jìn)行，也就是沿著(zhù)平行、垂直于方格紙的兩個(gè)格的邊緣線(xiàn)進(jìn)行，不涉及直接按斜線(xiàn)方向運動(dòng)的情形。
參考文獻
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