探索題例談

探索型題是義務(wù)教育階段數學(xué)新教材新增加的一種題型，從一年級到九年級由易到難始終有這樣的題型。探索型題涉及數學(xué)知識較廣，做這類(lèi)題的關(guān)鍵應從觀(guān)察已知式的變化特點(diǎn)入手，找出規律，并正確地用數學(xué)術(shù)語(yǔ)或式子表示出來(lái)。

例1．7．023023……是一個(gè)循環(huán)小數，請探索小數點(diǎn)后第10位﹑100位﹑998位﹑999位等第n位上的數字是多少？

分析：通過(guò)觀(guān)察發(fā)現，7．023023…這個(gè)數的循環(huán)節是“023”，三位數。小數點(diǎn)后第10位的數字應該這樣探索：

                10÷3=3……1     

             　     3次

 7.  

            ↓

            第9位

 第10位上的數字是0；

同理，100÷3=33……1

   　  33次

  7.          

             ↓

              第99位

第100位上的數字是0； 

    998÷3=332…2

    7. 2

                ↓第996位  

第998位上的數字是2；

999÷3=333

      333次

7.  

第999位上的數字是3；

n÷3=a……b（b=0﹑1﹑2）

當b=0是，第n位的數字3,

當b=1是，第n位的數字0,

當b=2是，第n位的數字2。

例2．不計算，運用規律直接寫(xiě)得數。

      6×7=42

      6.6×6.7=44.22

6.66×66.7=_________

6.666×666.7=________

   分析:通過(guò)觀(guān)察發(fā)現,兩個(gè)因數的整數部分共有幾位數,積的整數部分就有幾個(gè)4；兩個(gè)因數的小數部分共有幾位數，積的小數部分就有幾個(gè)2。

  　　﹙n-1﹚個(gè)、﹙n-1﹚個(gè)、n個(gè)、n個(gè)

 即、6.  × .7= .  

例3．研究探索下列算式，你會(huì )得到什么規律？

     1×3+1=4=2 

     2×4+1=9=3 

     3×5+1=16=4 

         ．．．．．．

請將你找到的規律用式子表示出來(lái)：

n(n+2)+1=(n+1) (n是大于1或等于1的自然數)

分析：等號左邊是兩數之積再與1的和，兩數之積的第一個(gè)因數分別是1、2、3…是n從1開(kāi)始的自然數,第二個(gè)因數分別是3、4、5…當n＝１時(shí)，3表示1+2，當n＝2時(shí)，4表示2+2，當n＝3時(shí)，5表示3+2…當n＝n時(shí),這個(gè)數表示為n+2,等號右邊是某個(gè)數的平方,這些數分別是2 、3 、4 、5 …，當n＝１時(shí)，2 表示為(1+1)  ；當n＝2時(shí)，3 表示為(2+1) ；當n＝3時(shí)，4 表示為

(3+1) …當n＝n時(shí),這個(gè)數表示為(n+1) 。

因此，這個(gè)規律可表示為n(n+2)+1=(n+1) （n為大于或等于1的自然數）。

     例4．經(jīng)過(guò)計算：   ， =  ，   ， 

   ，觀(guān)察上述結果的規律，并把此結果的特點(diǎn)寫(xiě)成一般表達式：

   。

于是，  + + +… 的計算結果為1- (是大于或等于1的自然數)。

分析：從已知觀(guān)察， 可表示為  則，

 + + +… =  +  +  +…+ - + - 。除第一項和最后一項外，其他的和為0，最后的結果為1- (是大于或等于1的自然數)。

做探索型題的關(guān)鍵是觀(guān)察--歸納--猜想，探索型題是數學(xué)推理的應用。數學(xué)推理包括分析、綜合、抽象概括等演繹推理方式，而做探索型題要有分析能力、歸納能力、猜想能力。這是對數學(xué)探索研究的一般思維方法。

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