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射影定理公式

回答
瑞文問(wèn)答

2024-09-03

在△ABC中,設∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA,這三個(gè)式子叫做射影定理。

擴展資料

  射影定理內容:

  AB=AD·AC,BC=CD·CA

  兩式相加得:

  AB+BC=AD·AC+CD·AC=(AD+CD)·AC=AC(即勾股定理)。

  注:AB的意思是AB的2次方。

  射影定理證明:

  已知:三角形中角A=90度。AD是高。

  證明1:設點(diǎn)A在直線(xiàn)BC上的射影為點(diǎn)D,則AB、AC在直線(xiàn)BC上的射影分別為BD、CD,且BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可證其余。

  證明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其余。

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