《二面角的一種求法》的說(shuō)課稿
一、教材簡(jiǎn)析:
1．地位與作用:
本節是高二數學(xué)下冊第九章《直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體》中相關(guān)§96二面角的求解問(wèn)題。是在立體幾何知識學(xué)習完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法的基礎之上，對二面角求解方法進(jìn)行的一個(gè)補充。二面角的求解是立體幾何部分的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節內容為學(xué)生提供一個(gè)新的視角。
2．教學(xué)內容及目標
教學(xué)內容:
將異面直線(xiàn)兩點(diǎn)間距離公式變形應用于求二面角，變形所得公式就是本節所學(xué)主要內容，暫且稱(chēng)這個(gè)公式為二面角余弦公式。
教學(xué)目標：
知識目標：異面直線(xiàn)兩點(diǎn)間距離公式在求二面角中的應用；
能力目標：
�。�1）.推廣引申不但能加深對原題的理解，而且對于擴大解題效果，提高解題能力，培養發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng )新意識，都有不可忽視的積極作用。
�。�2）.通過(guò)轉化問(wèn)題探究公式條件的過(guò)程，培養學(xué)生探索問(wèn)題的精神，提高學(xué)生化歸的意識和轉化的能力。
情感目標：通過(guò)問(wèn)題的轉化過(guò)程，讓學(xué)生認識萬(wàn)物都處于聯(lián)系之中，我們要用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)看待問(wèn)題。
3．教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)
重點(diǎn)：二面角余弦公式條件的發(fā)現，結構的確定；
難點(diǎn)：二面角余弦公式條件的發(fā)現，結構的確定；
二、學(xué)情分析：
1．起點(diǎn)能力分析
立體幾何知識學(xué)習完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法，并成為本節的學(xué)習基礎。
2．一般特點(diǎn)分析
高二學(xué)生觀(guān)察力已具有一定的目的性、精細性、持久性，有意識記占主導地位、意義識記以占重要地位，同時(shí)概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和運用邏輯法則的能力，但由于認知水平的不同，學(xué)生掌握和運用邏輯法則的能力存在不平衡性。
三、教法分析：
本節采用啟導法，以質(zhì)疑啟發(fā)、直觀(guān)啟發(fā)為主，通過(guò)一系列帶有啟發(fā)性、思考性的問(wèn)題，創(chuàng )設問(wèn)題情境，引導學(xué)生思考，教師適時(shí)演示，利用多媒體的直觀(guān)性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，化靜為動(dòng)，使學(xué)生始終處于主動(dòng)探索問(wèn)題的積極狀態(tài)，從而培養學(xué)生的思維能力。
四、學(xué)法指導：
根據學(xué)法指導自主性和差異性原則，讓學(xué)生在“觀(guān)察——發(fā)現——推理——應用”的學(xué)習過(guò)程中，自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過(guò)程，使學(xué)生掌握知識，發(fā)展思維能力。
五、教學(xué)程序
1．教學(xué)思路
設疑導入→構建條件→形成公式→公式應用→教學(xué)反思。
2．教學(xué)環(huán)節安排
�。ㄒ唬榫吃O置：
習題1：教科書(shū)80頁(yè)題10
設計意圖：由此題與學(xué)生共同回顧二面角的定義及其求解方法，并且根據題設條件，由學(xué)生發(fā)現該二面角的求解由異面直線(xiàn)AC、DB的位置關(guān)系來(lái)確定，提出為什么異面直線(xiàn)可以確定二面角，異面直線(xiàn)怎樣確定二面角呢？引出問(wèn)題二，從而進(jìn)入第二環(huán)節——探索研究。
�。ǘ�、探索研究：
問(wèn)題二：
問(wèn)1：什么是異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)？?jì)僧惷嬷本�(xiàn)有多少條公垂線(xiàn)？
問(wèn)2：設異面直線(xiàn)a、b公垂線(xiàn)為l，則a、b、l三條直線(xiàn)可以確定多少個(gè)平面？
問(wèn)3：這兩相交平面可以構成兩對二面角，這兩對二面角大小有什么關(guān)系？（設計意圖：到此完成由異面直線(xiàn)構造二面角）
問(wèn)4：從四個(gè)二面角任選一個(gè)二面角，該二面角的大小與異面直線(xiàn)位置有什么關(guān)系？
通過(guò)問(wèn)題的層層深入，讓學(xué)生自己觀(guān)察、思考得出異面直線(xiàn)的位置可以確定二面角的大小的結論。再通過(guò)教具的演示讓學(xué)生發(fā)現線(xiàn)段AM、BN、AB、MN任意一個(gè)的改變都會(huì )影響異面直線(xiàn)的位置，說(shuō)明這四條線(xiàn)段可以共同確定二面角，從而發(fā)現公式的結構，突破難點(diǎn)；
問(wèn)5：令a∩l＝A，b∩l＝B，M∈a，N∈b且MA＝m，NB＝n，AB＝d，MN＝l，求二面角α―l―β。
通過(guò)問(wèn)題5將異面直線(xiàn)的位置量化，由學(xué)生自己推導，得出二面角的余弦公式
設計意圖：通過(guò)問(wèn)題5設出四條線(xiàn)段的長(cháng)，求二面角的大小，從做輔助線(xiàn)、確定二面角平面角，到在三角形中計算求值，最后整理解題過(guò)程，由學(xué)生自主解決，教師適時(shí)引導，多問(wèn)學(xué)生為什么，糾正學(xué)生語(yǔ)言表達上的錯誤，提示解題不符邏輯關(guān)系的地方，讓學(xué)生在相互補充，相互找不足的這一自我評價(jià)、自我調整過(guò)程中，完善推理過(guò)程，得出二面角的余弦公式。通過(guò)這一數學(xué)交流活動(dòng)，暴露學(xué)生的思維過(guò)程，提高學(xué)生語(yǔ)言表達能力，培養學(xué)生合情推理能力，注重學(xué)生作為個(gè)體發(fā)展能力的同時(shí)，也注重培養學(xué)生協(xié)同合作共同探索、的精神。并且讓學(xué)生體會(huì )數學(xué)學(xué)習不僅重在學(xué)習一個(gè)結論，而是注重學(xué)習的過(guò)程，讓學(xué)生在自己發(fā)現結論、自己推得公式中體驗成功。
問(wèn)題三：用問(wèn)題二的'方法求解習題一
設計意圖：鞏固公式的應用，明確如何應用公式；通過(guò)對比公式與習題一的條件，讓學(xué)生認識到本節所學(xué)求二面角的方法是對教科書(shū)習題一般化所得的結論，體會(huì )數學(xué)從“特殊”到“一般”，再從“一般”到“特殊”的研究過(guò)程。
問(wèn)題四：將公式條件中二面角兩半平面的線(xiàn)段放到了以棱上線(xiàn)段為公共邊的三角形中，作為了兩三角形的高。
設計意圖：通過(guò)這一過(guò)程，進(jìn)一步深化所推公式中量的理解，其作用是半平面用三角形表示，更有利于在柱體或錐體中解決二面角的求解問(wèn)題；
�。ㄈ�、鞏固訓練
習題2
1．（改編自教科書(shū)80頁(yè)題11）把長(cháng)、寬分別為4、3的長(cháng)方形ABCD沿對角線(xiàn)AC折疊，使BD長(cháng)為7/5，求二面角B―AC―D。
2．（教科書(shū)80頁(yè)題11）把長(cháng)、寬分別為4、3的長(cháng)方形ABCD沿對角線(xiàn)AC折疊成直二面角，求頂點(diǎn)B與D之間的距離。
設計意圖：
題1是對問(wèn)題四結論的簡(jiǎn)單應用。此題題設是將平面圖形折成立體圖形，求形成的二面角的大小，鞏固平面圖形折疊過(guò)程中量的變化情況。
題2讓學(xué)生認識：二面角余弦公式建立了四個(gè)線(xiàn)段、一個(gè)角五個(gè)量間的關(guān)系，知道其中任意四個(gè)，都可以求第五個(gè)量，加深對公式的認識，熟悉公式的變形應用。
習題3：（選自2005年湖南高考題）已知四邊形ABCD是上、下底邊分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱(chēng)軸OO′折成直二面角，求二面角O―AC―O′的大小。
設計意圖：讓學(xué)生創(chuàng )設公式應用條件，自主解決問(wèn)題，同時(shí)再次鞏固立體空間中量的求解用平面解決的思想方法。
�。ㄋ模偨Y提煉：
1．說(shuō)明本節所學(xué)求二面角方法的可行性；
2．說(shuō)明本節所學(xué)求二面角方法的合理性；
3．本節所學(xué)求二面角的方法不是教科書(shū)中的定理、公式，因此不能作為已知結論在解答題中應用。但學(xué)習重視結果，更注重學(xué)習的過(guò)程，這節課學(xué)習的意義，不是公式本身，而是用已知的知識探究出新的解決問(wèn)題的方法的過(guò)程。
�。ㄎ澹鹤鳂I(yè)
習題4、為必做題，習題5為選做題
設計意圖：布置作業(yè)有彈性，避免一刀切，將上述思維發(fā)散的過(guò)程延伸到課后，使學(xué)生活躍的思維得以發(fā)展，進(jìn)而形成思維習慣。
總之，在整個(gè)課堂教學(xué)中，努力挖掘蘊含于知識生成過(guò)程中的數學(xué)思想方法，有機結合，有意滲透，以培養學(xué)生的思維能力。
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