初三數學(xué)《兩角差的余弦公式》說(shuō)課稿
各位評委、各位老師：
大家上午好。
今天我們上課的內容是《兩角差的余弦公式》。
首先，我們看兩個(gè)問(wèn)題：
(1) cos( π —α ) = ?
(2) cos( 2π — α) = ?
大家根據誘導公式很快得出了答案，大家接著(zhù)思考一個(gè)問(wèn)題，當特殊角π和2π被一般角取代，
(3) cos( α-β ) = ?
大家猜想了多種可能，其中有同學(xué)猜想cos(α-β) = cosα-cosβ 那么這些結論是否成立?
我們一起來(lái)用計算器驗證。
在這里我們做了與單位圓相交的兩個(gè)角α，β，現在我們來(lái)一起模擬計算下大家猜想的幾組結論 。首先任意取一組α，β角，模擬計算出 cos(α-β ); cosα-cosβ; sin α- sinβ; co sα-sin β;由結果推翻假設(反證法)， 那么c o s ( α-β )到底等于什么呢? 現在我們來(lái)借助計算機的強大計算功能 ，由c o s ( α-β )的結果模擬可能的答案。
計算機模擬結論
cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ(黑板板書(shū))。
變換不同的α，β角度，結論保持不變。 同學(xué)們觀(guān)察分析該結論的構成，右邊與向量夾角的`坐標表示一致.
聯(lián)想向量數量積(黑板板書(shū))，用向量法證明:
(1)先假設兩向量夾角為θ，α–β在[0，π]，α–β=θ此時(shí)結論成立，(2)α–β在[π，2π]時(shí)兩向量夾角θ=2π-(α–β)
此時(shí) cos[2π-(α–β)]=cos(α–β)
(3)α–β在全體實(shí)數范圍都可以由誘導公式轉換到[0，2π] 綜合三種情況，cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得證
經(jīng)過(guò)大家的猜想，計算，證明，我們得出兩角差的余弦公式，有些同學(xué)開(kāi)始產(chǎn)生疑問(wèn)，我們最開(kāi)始的兩個(gè)誘導公式是否出現了錯誤，都是兩角差的余弦，結論似乎不一致，現在我們一起來(lái)探討，揭開(kāi)謎底。
用兩角差的余弦公式證明問(wèn)題(1)(2)。
帶入具體角度，用兩角差余弦公式求cos15°= cos(45°— 30°)，同學(xué)們試著(zhù)將15°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行)
練習：
證明: cos (α +β)= cos α cos β-sin α sin β
思考 : 能否參考兩角差的余弦公式進(jìn)行推導?
我們的新課改提倡“減負”，從數學(xué)的角度，減負就是---“加正”，
所以 α +β = α - (- β )
由此cos (α +β)
= cos [α - (- β )]
=cosα cos( -β) +sin α sin(-β)
= cosα cosβ-sin α sin β
對比:
兩角和與差的余弦公式:
cos (α –β)= cosα cosβ + sinα sinβ
cos (α +β)= cosα cosβ - sinα sinβ
余 余 異號 正 正
化簡(jiǎn)求值：
(1) cos105 °cos15 °+ sin105 °sin15 ° =cos90 °=0
(2)cos(θ+20°)cos(θ-40°)+sin(θ+20°)sin(θ-40°) = cos60 =1/2
(3)cos35 °cos10 ° - sin35 °sin10 °=cos45 °
回顧反思：
提出問(wèn)題
由兩個(gè)熟悉的誘導公式入手，從特殊到一般，提出問(wèn)題。
探究問(wèn)題
假設猜想——反證否定——計算機模擬猜想——證明——肯定結論——靈活應用——公式對照記憶。
下節課需要解決的內容，通過(guò)已經(jīng)證明的兩角和余弦的思路，思考兩角和差的正弦。
作業(yè)布置：
課本131頁(yè) 第一題 和 第五題。
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