一類(lèi)幾何非線(xiàn)性系統的H0pf分岔研究論文

　　摘要：研究了一類(lèi)具有無(wú)理非線(xiàn)性恢復力的幾何非線(xiàn)性系統的Hop盼岔問(wèn)題，首先，應用Lagrange方程建立了幾何非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)運動(dòng)微分方程，分析了平衡點(diǎn)的分岔及穩定性等復雜動(dòng)力學(xué)行為，利用泰勒級數對原系統逼近并進(jìn)行五次截斷，引A.Van del Pol阻尼擾動(dòng)得到五次非線(xiàn)性L(fǎng)ienard系統，然后利用Hop盼岔理論，得到了系統在分岔突變點(diǎn)附近的三個(gè)Hop盼岔曲面，在分岔曲面上，系統平衡點(diǎn)穩定性發(fā)生改變并在平衡點(diǎn)附近出現極限環(huán)。

　　關(guān)鍵詞：幾何非線(xiàn)性系統；五次非線(xiàn)性；Hopf分岔；極限環(huán)；Runge-Kutta法

　　幾何非線(xiàn)性是當代科學(xué)技術(shù)與工程應用中經(jīng)常遇到的重要非線(xiàn)性因素，與材料非線(xiàn)性、接觸非線(xiàn)性構成工程應用研究中的三大非線(xiàn)性問(wèn)題，基于無(wú)理非線(xiàn)性特性出現了一類(lèi)嶄新的幾何非線(xiàn)性動(dòng)力系統，并且該系統被命名為SD（Smooth anddiscontinuous）振子及SD吸引子，該振子依賴(lài)于系統參數表現出光滑動(dòng)力學(xué)到不連續動(dòng)力學(xué)的轉遷特性。

　　文章研究非線(xiàn)性Van del Pol阻尼擾動(dòng)的耦合SD振子的Hopf分岔，理論分析得到系統的多Hopf分岔行為，數值模擬驗證幾何非線(xiàn)性系統的多極限環(huán)共存現象。

　　1.幾何非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統

　　1.1力學(xué)模型

　　基于SD振子力學(xué)模型，我們建立了幾何非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統（或耦合SD振子）的力學(xué)模型，它由一個(gè)質(zhì)量塊m和連接于質(zhì)量塊的一對傾斜且能夠被拉壓彈簧上構成.彈簧的剛度系數和自然長(cháng)度分別為k和L，末端固定在一個(gè)剛性底座上，雖然彈簧提供線(xiàn)性回復力，但是由于模型幾何非線(xiàn)性構型的改變使作用在質(zhì)量塊上的水平方向的力表現為強無(wú)理非線(xiàn)性特性。

　　2.幾何非線(xiàn)性系統的運動(dòng)微分方程為

　　Hopf分岔理論研究的是自治系統平衡點(diǎn)解分岔產(chǎn)生穩態(tài)周期解的問(wèn)題，基本思想是基于經(jīng)典穩定性理論，從方程的攝動(dòng)方程零解穩定性來(lái)判別平衡點(diǎn)解的穩定性.Hopf證明了系統在分岔值處將從平衡點(diǎn)解分岔出一個(gè)非常量的周期解，即對應系統的極限環(huán)，系統發(fā)生振蕩或振蕩失穩。因此追蹤系統平衡解流形、確定分岔點(diǎn)位置，對于了解無(wú)理非線(xiàn)性系統穩定性及其變化規律有重要的意義。

　　3.結語(yǔ)

　　文章分析了未擾動(dòng)幾何非線(xiàn)性系統的光滑與不連續動(dòng)力學(xué)轉遷特性，包括平衡點(diǎn)分岔、恢復力及勢能函數，給出了Vander Pol阻尼擾動(dòng)下系統的HoDf分岔條件.理論結果為幾何非線(xiàn)性系統的Hopf分岔及穩定性的控制與設計參數選取提供理論依據。

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