關(guān)注體驗,強化邏輯,注重認知初中數學(xué)教學(xué)的重要思路論文
初中數學(xué)以小學(xué)數學(xué)為基礎，初中生在數學(xué)學(xué)習中擅長(cháng)形象思維，初中數學(xué)教學(xué)在原有知識基礎上，通過(guò)數學(xué)情境的創(chuàng )設以促進(jìn)有效的活動(dòng)體驗，并在此基礎上借助邏輯推理生成數學(xué)認知，是重要的教學(xué)思路. 三角形內角和定理是初中數學(xué)基礎性?xún)热? 在體驗之后讓學(xué)生經(jīng)過(guò)邏輯推理，可以發(fā)現任意三角形的內角和均為180°. 這是一個(gè)邏輯推理結果為真的陳述. “定理”是本課可以實(shí)施認知教學(xué)的數學(xué)概念.
人教版初中數學(xué)教材中，將三角形安排在七年級下冊，這樣的安排顯然是從知識本身來(lái)考慮的. 一方面，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)了三角形的相關(guān)知識;另一方面，初中階段又對此知識提出了新的要求. 如何在學(xué)生已有的知識基礎和生活經(jīng)驗基礎之上，將三角形這一“冷飯”炒出新味，是數學(xué)教師需要認真考慮的問(wèn)題. 筆者分析了學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習情況(主要依據教材設計與對學(xué)生的口頭調查)，感覺(jué)初中階段的設計思路既要依靠學(xué)生原來(lái)的知識，同時(shí)又不能忽視基本的體驗，更重要的是要促成數學(xué)認知的形成，這樣才能使三角形的知識在學(xué)生的數學(xué)知識體系中成為一個(gè)堅實(shí)的結點(diǎn)，進(jìn)而提升學(xué)生的數學(xué)學(xué)習品質(zhì). 本文試以“三角形的內角”這一知識點(diǎn)為例，談?wù)劰P者的教學(xué)思路.
關(guān)注已有認知基礎
三角形的內角在小學(xué)數學(xué)中已有涉及，對其內角和為180°也已經(jīng)有了測量、剪紙等方法證明，也就是說(shuō)初中階段這一知識點(diǎn)的教學(xué)結果，學(xué)生是已知的. 這就對實(shí)際教學(xué)提出了一個(gè)挑戰，如何讓學(xué)生在初中階段這一知識的學(xué)習中有新的收獲，將直接決定著(zhù)學(xué)生在這一階段的學(xué)習狀態(tài)，也關(guān)系到學(xué)生對初中數學(xué)的認識.
實(shí)際上，這里涉及了兩個(gè)層面：一是知識層面;二是學(xué)生的學(xué)習心理層面. 這也是以“認知基礎”這一概念來(lái)界定的重要原因. 知識層面自不待言，結果都已經(jīng)知道了，似乎就沒(méi)有什么好學(xué)的了;心理層面除了關(guān)系到學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)之外，對教師的'挑戰在于應當設計什么樣的學(xué)習過(guò)程，以將學(xué)生吸引到學(xué)習過(guò)程中來(lái). 仔細研究學(xué)生已有的學(xué)習過(guò)程，會(huì )發(fā)現學(xué)生原有的學(xué)習過(guò)程有兩個(gè)重點(diǎn)：一是在教師指導下的剪紙活動(dòng);二是教師要求下的結果記憶. 而這樣導致的結果就是學(xué)生到了初中之后，一般只記得結果而忘記了過(guò)程. 于是教學(xué)思路也就相對明晰了：初中階段對三角形的內角的教學(xué)，應當重在學(xué)習過(guò)程的設計，應當重在學(xué)生體驗的設計，應當努力讓學(xué)生在自主性發(fā)揮的基礎上，能夠對三角形內角和產(chǎn)生更為深刻的數學(xué)認識.
宏觀(guān)思路已定，那下面的重點(diǎn)就是教學(xué)環(huán)節的設計了.
設計新的體驗情境
情境對于學(xué)生構建數學(xué)知識的意義是不言而喻的，尤其是對于初中學(xué)生而言，形象生動(dòng)的情境，往往能夠讓學(xué)生的形象思維得到充分的運用，從而實(shí)現有效或高效學(xué)習. 那么，對于三角形的內角這一知識而言，可以設計什么樣的情境呢?
《義務(wù)教育數學(xué)課程標準》(2011版)在描述課程設計思路的時(shí)候，有這樣的一段描述：“在呈現作為知識與技能的數學(xué)結果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實(shí)際背景中抽象出數學(xué)問(wèn)題、構建數學(xué)模型、尋求結果、解決問(wèn)題的過(guò)程.” 這段描述對于初中數學(xué)的隱喻意義是深刻的，初中數學(xué)只有重視學(xué)生的體驗，才能讓學(xué)生在構建從生活數學(xué)到抽象數學(xué)的過(guò)程中有所依靠，也就是說(shuō)只有體驗，才能讓擅長(cháng)于形象思維的初中學(xué)生思之有物，進(jìn)而思之有果. 既然如此，三角形的內容就可以以學(xué)生的體驗為突破口，去設計教學(xué)過(guò)程.
幾經(jīng)思考，筆者創(chuàng )設的體驗情境是這樣的：第一步，給出用長(cháng)木條構成的三角形、四邊形、五邊形(接頭處打孔穿螺絲)等學(xué)具，每組各一個(gè)，由學(xué)生自己去擺弄. 學(xué)生自然會(huì )發(fā)現穩定性不同，這樣就可以通過(guò)穩定性將學(xué)生的注意力吸引到三角形上來(lái). 這一步花費也就一兩分鐘的時(shí)間，卻可以瞬間凝聚學(xué)生的注意力. 第二步，讓學(xué)生將給出的四邊形變形為長(cháng)方形，并向學(xué)生提出問(wèn)題：此時(shí)長(cháng)方形的四個(gè)角之和為多少度?學(xué)生稍加盤(pán)算就知道是360°(因為四個(gè)角都是90°). 第三步，讓學(xué)生觀(guān)察三角形，并提出問(wèn)題：三角形的內角和為多少度?這一步需要給出充分的時(shí)間讓學(xué)生去觀(guān)察思考. 教學(xué)實(shí)踐表明，此時(shí)學(xué)生觀(guān)察的對象就是三角形與長(cháng)方形，他們會(huì )下意識地將兩者進(jìn)行比較. 而這種下意識的行為，正是本情境需要的關(guān)鍵——只有在這種狀態(tài)下，學(xué)生的體驗才是真實(shí)的、自然的，也才能為后面的學(xué)習奠定基礎. 如果不出意外，此時(shí)會(huì )有數個(gè)數學(xué)基礎較好的學(xué)生有新的點(diǎn)子出來(lái)，比如說(shuō)有學(xué)生會(huì )用一支筆充當長(cháng)方形的對角線(xiàn)，進(jìn)而發(fā)現其變成了兩個(gè)三角形. 由于長(cháng)方形的四個(gè)角是360°，那兩個(gè)三角形的內角就分別應當是180°了.
體驗至此，本環(huán)節似乎也就結束了，而這樣的設計似乎也看不出什么新的創(chuàng )意. 事實(shí)并非如此，因為筆者發(fā)現新的驚喜常常會(huì )悄然而生.
引向數學(xué)邏輯途徑
就在大部分人以為問(wèn)題已經(jīng)解決了的時(shí)候，筆者拋出一個(gè)問(wèn)題：三角形的內角一定是180°嗎?會(huì )不會(huì )這個(gè)三角形與那個(gè)三角形的內角和不一樣?
應當說(shuō)這是一個(gè)非常規的“古怪”問(wèn)題，而筆者感覺(jué)這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)似乎沒(méi)有道理，但其實(shí)卻給出了一個(gè)重要命題：要求三角形的內角和，那實(shí)際上有一個(gè)前提，即所有三角形的內角和應當是一樣的，只有這樣，這個(gè)問(wèn)題才有意義;反之，如果三角形的內角和不具有固定結果的特征，那本問(wèn)題就沒(méi)有價(jià)值了.
事實(shí)上，在教學(xué)中，這個(gè)問(wèn)題也確實(shí)讓原本柳暗花明的課堂又進(jìn)入了山重水復的狀態(tài). 學(xué)生會(huì )發(fā)現，剛才的體驗已經(jīng)不能解決這個(gè)問(wèn)題. 也正是在這種情況下，有學(xué)生回憶起了之前用過(guò)的剪紙法，并且當眾給出了剪紙法的操作. 在這個(gè)學(xué)生的示范之下，絕大多數學(xué)生都回憶起了當時(shí)的這段體驗，并進(jìn)而否定了筆者的問(wèn)題：你看，任意給出一個(gè)三角形，用剪紙法可以得到三角之和都是180°.
應當說(shuō)學(xué)生此前的體驗加上此時(shí)的演示，已經(jīng)讓學(xué)生的學(xué)習經(jīng)過(guò)了一個(gè)充分體驗的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生對三角形的內角尤其是內角和的認識已經(jīng)積累了大量感性的認識，下面要做的就是理性思考. 而這一過(guò)渡應當由教師的問(wèn)題來(lái)過(guò)渡，問(wèn)題很簡(jiǎn)單：無(wú)論是剪紙法，還是用量角器去測量，或者用簡(jiǎn)單的邏輯推理，都無(wú)法得出三角形內角和的一般規律，只有通過(guò)嚴謹且符合邏輯的數學(xué)證明，才能為問(wèn)題的解決找到最佳的答案. 于是，學(xué)生的思路就被引向了數學(xué)推理.
下面的教學(xué)思路是明確的，關(guān)鍵在于教師如何引導學(xué)生自主發(fā)現證明方法. 比如說(shuō)，怎樣才能讓學(xué)生想到過(guò)三角形某個(gè)頂點(diǎn)作另一邊的平行線(xiàn)呢?或者說(shuō)怎樣才能讓學(xué)生想到延長(cháng)某條邊，然后過(guò)該頂點(diǎn)作另一對邊的平行線(xiàn)呢?事實(shí)上，本證明中，這才是關(guān)鍵，一旦給出了這條輔助線(xiàn)，下面就只是平行線(xiàn)定理的相關(guān)應用了. 因此，筆者設計引導學(xué)生自主思考平行線(xiàn)的作出，為本環(huán)節教學(xué)的重點(diǎn). 具體的引導是這樣的：現在的基本思路是證明三角形的內角和是180°，但在我們面前并沒(méi)有現成的180°的角. 但是我們心中又是有180°角的，請同學(xué)們構思一下180°的角是什么樣子. 學(xué)生很快就能想到其實(shí)就是一條直線(xiàn)(也有學(xué)生想象成一條射線(xiàn)轉過(guò)180°). 于是再給出下面的問(wèn)題：怎樣才能將三角形的三個(gè)內角與大腦中構思的180°角聯(lián)系起來(lái)?事實(shí)上，在這個(gè)問(wèn)題拋出之后，學(xué)生更多想到的是第二種思路，即確定任意一個(gè)頂點(diǎn)，然后延長(cháng)某個(gè)邊，再要想的辦法就是將另兩個(gè)內角“轉移”到這個(gè)地方來(lái). 顯然，這就要將外角分成兩個(gè)角，如果兩個(gè)角的大小恰好等于另兩個(gè)內角，那么問(wèn)題就迎刃而解了.
問(wèn)題分析到這里，絕大多數學(xué)生的思路就清晰了，剛剛學(xué)過(guò)的平行線(xiàn)的知識，立即就在此發(fā)揮了作用. 待平行線(xiàn)作出，利用同位角和內錯角的關(guān)系，答案順利得出. 且同時(shí)能夠回答那個(gè)“古怪”的問(wèn)題：任意三角形的內角和都應當是180°，因為任意三角形都可以通過(guò)此方法來(lái)證明.
實(shí)現數學(xué)認知形成
經(jīng)過(guò)了體驗與邏輯推理之后，學(xué)生的基本認識已經(jīng)形成，下面要做的事情就是將體驗認識上升為數學(xué)語(yǔ)言. 就本知識而言，“三角形三個(gè)內角的和等于180°”的語(yǔ)言可以順利獲得，因為這樣的描述既是生活語(yǔ)言，也是數學(xué)語(yǔ)言. 筆者確定的重點(diǎn)在“三角形內角和定理”這一概念上，在初中數學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對“定理”這一概念的認識并不深刻，尤其是在七年級階段，學(xué)生還只認為其為一普通概念，因此，筆者認為此時(shí)是一個(gè)加強學(xué)生認識定理概念的機會(huì ).
所謂定理，即為經(jīng)過(guò)邏輯證明且為真的陳述. 在剛才的學(xué)習過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)體驗加邏輯推理獲得了三角形內角和的一般規律，結果顯然為真，于是告訴學(xué)生數學(xué)上對于此類(lèi)命題，都會(huì )以定理稱(chēng)之. 換句話(huà)說(shuō)，以后遇到類(lèi)似的經(jīng)過(guò)邏輯推理且結果正確的，一般都可以冠之以定理之稱(chēng). 通過(guò)這樣的認知生成，讓學(xué)生認識到數學(xué)有本身固有的語(yǔ)言. 而這種概念性的數學(xué)語(yǔ)言，是可以在學(xué)生的數學(xué)學(xué)習中起到催化作用的，數學(xué)認知結構的構建，正是建立在此類(lèi)數學(xué)語(yǔ)言基礎之上的.
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