數學(xué)知識不確定性的價(jià)值及其實(shí)現論文
20世紀末21世紀初,人類(lèi)知識觀(guān)發(fā)生了重大變化：知識不再被認為是“真理”而被當作一個(gè)暫時(shí)的結論。它有待發(fā)展、修訂與完善。正如波普爾（Pop?per,K.)所言：“所有的科學(xué)知識，不僅是科學(xué)知識,在實(shí)質(zhì)上都是‘猜測性的知識’，都是我們對于某些問(wèn)題所提出的暫時(shí)回答”。換句話(huà)說(shuō),人們認為知識具有不確定性。由于知識是教育的主要內容，因此知識觀(guān)的變化必然帶來(lái)教育的變化。本文主要討論數學(xué)知識的不確定性及其教學(xué)問(wèn)題。
一、數學(xué)知識的確定性及其教育局限
數學(xué)知識具有確定性,其發(fā)展也是沿著(zhù)確定性的道路進(jìn)行的,但這種確定性是有限度的。超過(guò)了這個(gè)限度,將不利于數學(xué)教育價(jià)值的實(shí)現。
(一)數學(xué)知識的確定性及其表征
1.數學(xué)知識確定性的涵義
通常認為，在所有知識中，數學(xué)是最確定的。正因為如此，某門(mén)學(xué)科能否稱(chēng)為“科學(xué)”，關(guān)鍵就看其能否被數學(xué)化（即能否運用數學(xué)的方法來(lái)進(jìn)行研究）。數學(xué)成了衡量其它學(xué)科能否成為科學(xué)的標準。比如，社會(huì )學(xué)之所以成為一門(mén)科學(xué)，就在于孔德（Comte,A.)將實(shí)證（其中最主要是運用了數學(xué)的手段）方法引入了社會(huì )學(xué)。那什么是數學(xué)知識的確定性呢？簡(jiǎn)而言之,數學(xué)知識的確定性是指數學(xué)的知識結論是精確的,而且這一結論是可信的。數學(xué)知識的確定性既指數學(xué)知識是精確的,也指數學(xué)知識是客觀(guān)的，還指數學(xué)知識是永恒的、超越時(shí)空的。
2.數學(xué)知識確定性的表征
(1)數學(xué)知識確定性的歷史追溯
數學(xué)知識自產(chǎn)生起,就沿著(zhù)確定性的道路向前發(fā)展。柏拉圖（Plato)將世界劃分為在的世界和變的世界，數學(xué)屬于在的世界，是不變的。在《理想國》第七卷中，他認為數學(xué)是科學(xué)，強調“科學(xué)的真正目的是純粹為了……關(guān)于永恒事物的，而不是關(guān)于某種有時(shí)產(chǎn)生和滅亡的事物的……知識”歐幾里得（Euclid,A.)的《幾何原本》被當作是確定性數學(xué)知識的代表作,全書(shū)包括23條定義、五條公理和五條公設。歐幾里得認為公設是適用于一切科學(xué)的真理，公理是幾何學(xué)中的真理，它們都是確定無(wú)疑、無(wú)須證明的。
中世紀,人們認為數學(xué)知識是上帝預先設計好的、確定的客觀(guān)真理。在《哲學(xué)原理》中，笛卡爾（Descartes,R.)認為要使哲學(xué)能夠統一所有科學(xué)，必須要用數學(xué)方法（后來(lái)他將這稱(chēng)為“普遍數學(xué)”，“絕不接受我沒(méi)有確定為真的東西”。這句名言更是詮釋了他對數學(xué)確定性的追求�？梢哉f(shuō),在20世紀以前，數學(xué)發(fā)展的歷史就是追求數學(xué)確定性的歷史。
(2)數學(xué)知識確定性的權威定位
歷代的數學(xué)權威都認為，數學(xué)是不變的真理；甚至認為“自然法則就是數學(xué)規則”。柏拉圖認為“只有從理想世界是數學(xué)知識來(lái)理解現實(shí)世界的實(shí)在性和可知性,無(wú)疑這個(gè)世界是數學(xué)化的”。在他看來(lái),只有掌握了數學(xué)，才能理解這個(gè)世界。因此,在柏拉圖學(xué)園門(mén)口處掛著(zhù)這樣一個(gè)標牌：“不懂幾何學(xué)者免進(jìn)”。他認為，只有精通幾何,才能夠學(xué)習其它學(xué)科。畢達哥拉斯派甚至提出“萬(wàn)物皆數”，將音樂(lè )、行星運動(dòng)歸結為數的關(guān)系,認為數是萬(wàn)物的代表,萬(wàn)物都可歸結到數中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)認為“如果一個(gè)有理性的人在任何時(shí)刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那么他就能用一個(gè)方程式表達宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運動(dòng)”，表明在他看來(lái)方程式可以表達并解釋宇宙間所有運動(dòng)，這句話(huà)也被當作追求確定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。蘭德?tīng)枺≧andall,J.H.)在《現代思想的形成》中指出“科學(xué)起源于用數學(xué)解釋自然界這種信念,而且在很久以前這個(gè)信念就為經(jīng)驗證實(shí)了”，從中可以看出數學(xué)是近代科學(xué)形成的前提。由此可知,從古希臘起,確定性數學(xué)知識在所有知識中占據權威的地位。
(3)數學(xué)知識確定性的價(jià)值澄明
數學(xué)知識確定性的表征還表現為，將確定性的數學(xué)知識應用到其它學(xué)科中去,取得了巨大成就。
首先,對確定性數學(xué)知識的追求促進(jìn)天文學(xué)、物理學(xué)等自然學(xué)科的發(fā)展。如高斯（Gauss,K.F.)在24歲時(shí)運用數學(xué)知識觀(guān)察小行星谷神星，并預言了這顆行星的軌跡。伽利略（Galileo,G.)運用數學(xué)知識來(lái)描述和解釋自由落體規律,促進(jìn)物理力學(xué)的發(fā)展。牛頓（Newton,I.)受伽利略影響,將數學(xué)作為描述自然定理的一個(gè)工具,如在解釋萬(wàn)有引力時(shí),摒棄物理原理而只用數學(xué)原理。在《自然哲學(xué)的數學(xué)原理》一書(shū)中，對天文學(xué)、物理學(xué)和數學(xué)等學(xué)科知識的證明或求解,也都采取完全數學(xué)化的過(guò)程，以大量的數學(xué)分析為基礎，用微積分和幾何學(xué)知識來(lái)解釋說(shuō)明物體運動(dòng)和宇宙體系,促進(jìn)了物理學(xué)、天文學(xué)學(xué)科的發(fā)展。
其次,對確定性數學(xué)知識的追求也促進(jìn)了音樂(lè )、哲學(xué)、統計學(xué)等人文學(xué)科和社會(huì )學(xué)科的發(fā)展。公元前600年,畢達哥拉斯學(xué)派用數學(xué)方法研究琴弦震動(dòng)，建立了關(guān)于音樂(lè )的理論�？档拢↘ant,I.)認為數學(xué)是先天的理性真理，對數學(xué)真理的追求促進(jìn)其哲學(xué)思想體系的形成‘康德的問(wèn)題是揭示數學(xué)如何能先天被知道,而又能以無(wú)可更改的確定性地應用于所有經(jīng)驗”統計學(xué)中定量研究要求對數據進(jìn)行精確的計算和分析。建筑設計要求有精確的數字比例以達到完美的效果。
(二）確定性數學(xué)知識的局限
作為自然科學(xué)的基礎,數學(xué)知識確實(shí)具有客觀(guān)性、準確性和普遍性。追求確定性數學(xué)知識本身沒(méi)有什么錯,錯在“唯確定性”，即人們過(guò)于強調其確定性,排除了其它的可能性。在教學(xué)中，如果過(guò)于強調數學(xué)知識的確定性,就會(huì )嚴重限制教師的教和學(xué)生的學(xué)，不利于學(xué)生全面自由的發(fā)展。
1.限制了教師教學(xué)的主體性
眾所周知,教師是教學(xué)過(guò)程的重要主體之一。他之所以成為主體,并不僅僅是說(shuō)他決定著(zhù)教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)方法、教學(xué)評價(jià)等,而且還指他是知識的主體。即是說(shuō)，當教師可以在課堂上用自己的方式講述自己的知識時(shí),他才是一個(gè)真正的主體。過(guò)度重視確定性數學(xué)知識,容易使教師形成這樣一種教學(xué)觀(guān):數學(xué)教學(xué)向學(xué)生演繹、解釋數學(xué)真理。對于數學(xué)知識而言，教師沒(méi)有權力和能力去改變，甚至不能有一點(diǎn)不同于書(shū)本的理解。在這樣的教學(xué)中，教師雖然講述著(zhù)數學(xué)知識，但卻是以他人規定好的方式講述他人的知識。他不但沒(méi)有成為知識的主體,反而被知識奴役。這種教學(xué)對教師來(lái)說(shuō)是痛苦的，因為他不能自主,沒(méi)有激情和創(chuàng )造性,并由此陷入一種惡性循環(huán)：“學(xué)術(shù)生涯使他感到痛苦,他要把同樣的痛苦加諸于學(xué)生一這是對自我本身深感困擾的痛苦”。這樣,教師無(wú)法在教學(xué)中進(jìn)行反思和建立自我感,最終使自己與教學(xué)分離。
2.窄化了數學(xué)教學(xué)的內容
由于數學(xué)本身被認為是確定性知識的典范，同時(shí)加上人們通常認為基礎教育的主要任務(wù)是向學(xué)生傳授基礎知識（基礎知識一般是指具有確定結論的知識），于是確定性的數學(xué)知識幾乎成了數學(xué)教學(xué)的唯一內容,或者說(shuō)不確定的數學(xué)知識僅僅是教學(xué)內容的點(diǎn)綴。
過(guò)度強調數學(xué)知識的確定性，限定了數學(xué)教學(xué)內容。一是將數學(xué)教學(xué)的內容限定為那些確定性的內容,不確定性的數學(xué)知識沒(méi)有資格成為數學(xué)教學(xué)的內容,或者說(shuō)所占比重非常小。二是教師在講授確定性的內容時(shí),不敢加以引申，僅僅局限于那個(gè)內容。不僅數學(xué)內容的范圍被限制了，內容的深度也被限制了。在講授數學(xué)知識時(shí),教師認為數學(xué)答案就是唯一的，因此很少在課堂上與學(xué)生深度探討數學(xué)問(wèn)題。數學(xué)知識對于學(xué)生來(lái)說(shuō),就像是庫存的展品，學(xué)生站在展品面前欣賞,但卻無(wú)法觸摸其真正的內涵，無(wú)法看到知識的多元意義。其實(shí)，對每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，“知識的現實(shí)意義是多元的、多樣的、意義的，實(shí)現方式也是無(wú)限的”。
3.不利于學(xué)生創(chuàng )造力的培養
“創(chuàng )造力是一種產(chǎn)生新穎事物的能力，是一種解決問(wèn)題的.能力，是一種破除傳統的能力�！迸囵B學(xué)生的創(chuàng )造力是數學(xué)教育的重要目標。新數學(xué)課程標準指出：“數學(xué)教學(xué)活動(dòng),要引發(fā)學(xué)生的數學(xué)思考,鼓勵學(xué)生的創(chuàng )造性思維”。M確定性數學(xué)知識觀(guān),不僅無(wú)益于,反而會(huì )阻礙學(xué)生創(chuàng )造力的培養。
由于將數學(xué)知識當作是客觀(guān)的、永恒的，因此人們不僅不敢質(zhì)疑它，而且認為沒(méi)有必要質(zhì)疑它。然而“知識原本是他人對世界的一種看法，把知識當作絕對真理意味著(zhù)承認他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性�！�13教學(xué)過(guò)程中，過(guò)于強調數學(xué)知識的確定性,會(huì )導致學(xué)生被動(dòng)地“接受”數學(xué)公式、定理與答案。因此方面學(xué)生不能形成數學(xué)批判思維能力；另一方面，學(xué)生思想被禁錮，不敢大膽想象,而批判與想象是創(chuàng )造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所說(shuō)“教育最大的錯誤在于認為一個(gè)人只學(xué)習他當時(shí)所學(xué)的特定事物”。
二、數學(xué)知識的不確定性及其價(jià)值
數學(xué)知識的確定性在19世紀出現了斷裂，因為在這個(gè)世紀,人們發(fā)現數系、幾何等知識都具有不確定性。數學(xué)知識不確定性的發(fā)現,對數學(xué)、對教育都具有重要意義。
(一)數學(xué)知識不確定性的涵義
數學(xué)知識的不確定性是指數學(xué)知識具有開(kāi)放性和模糊性等特征。數學(xué)知識的開(kāi)放性是指,數學(xué)知識并不是靜止不變的，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化發(fā)展過(guò)程；它有可能被推翻。數學(xué)知識的模糊性是指數學(xué)結論本身具有不精確性,如概率論、模糊數學(xué)和灰色數學(xué)等,都具有模糊性。
數學(xué)發(fā)展到19世紀,就陷入自相矛盾的境地。數學(xué)知識不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的。數學(xué)的發(fā)展也超越了其固有的邏輯路線(xiàn)，這從數系、函數和幾何等板塊的發(fā)展過(guò)程中可以看出。
在數系中，無(wú)理數、復數的出現,表明數具有不確定性。以前，整數、分數和小數是確定的數。畢達哥拉斯派認為線(xiàn)段的長(cháng)度與它所對應的原子數目之間的比例是一一對應的，因此直角三角形的三邊之比都應是整數比，_些例子也證明它的“正確性”，如3:4：5、：12:13、：15：17等直角三角形。然而后來(lái)畢達哥拉
斯學(xué)生發(fā)現當兩直角邊均為1時(shí),斜邊為槡,這樣斜邊既不是整數,也不是分數，在線(xiàn)段中無(wú)法找到一個(gè)具體的點(diǎn),歷史上將槡稱(chēng)作不可公度比。后來(lái)人們就將類(lèi)似于在的數統稱(chēng)為無(wú)理數。
傳統意義上，人們將函數定義為：設在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果對于x在某一范圍內的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱(chēng)y是x的函數,x叫做自變量。然而正切函數的出現,表明當x為90°時(shí),y無(wú)限接近但永遠不會(huì )等于一個(gè)值,y成為一個(gè)不確定的值。
幾何學(xué)中，歐氏幾何一直被當作是唯一正確的幾何學(xué)，定理和公設是確定不移的真理,然而許多數學(xué)家卻發(fā)現它并不是確定無(wú)疑的。例如在歐氏幾何中三角形內角和等于180°,鮑耶（Bolyai,J.)和羅巴切夫斯基（Lobachevsky,N.I.)卻證明三角形內角和小于180°,即雙曲幾何。同時(shí)黎曼（Giemann,G.B.)也得出結論:三角形內角和大于180°,即黎曼幾何。雙曲幾何和黎曼幾何（兩者統稱(chēng)為非歐幾何）的出現,表明三角形內角和等于180°并不是確定無(wú)疑的真理。
(二)數學(xué)知識不確定性的價(jià)值
1.為數學(xué)學(xué)科的繁榮提供了可能
正是由于數學(xué)知識本身的不確定性,促使數學(xué)不斷發(fā)展。如歐氏幾何第五公設（即平行公設）：同一平面內一條直線(xiàn)和另外兩條直線(xiàn)相交，若在某一側的兩個(gè)內角的和小于二直角的和，則這二直線(xiàn)無(wú)限延長(cháng)后在這一側相交。1826年，羅巴切夫斯基提出一條與之相反的公理:過(guò)平面上一已知直線(xiàn)外的一點(diǎn)至少可以引出兩條直線(xiàn)與該已知直線(xiàn)不相交。1854年，黎曼有得出一個(gè)相反的命題:過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)不能引出與該直線(xiàn)不相交的直線(xiàn)。因此,正是由于第五公設陳述上的模糊性促進(jìn)非歐幾何的出現。
再如18世紀以后,人們發(fā)現微積分也存在著(zhù)邏輯上的局限性，如數學(xué)家也無(wú)法明確給極限和無(wú)窮小下定義。然而正是由于這一局限促使歐拉（Euler,L.)提出了不定積分和定積分的概念,柯西（Cauchy,A.L.)給出了極限、連續、導數、微分和積分等一系列微積分基本概念的嚴格定義。
2.為教師教學(xué)創(chuàng )造提供了空間
不確定數學(xué)知識觀(guān),使教師認識到數學(xué)知識具有相對性、條件性、主觀(guān)性。教師在教學(xué)過(guò)程中，可以談自己對數學(xué)的理解與認識,也可以結合自己或學(xué)生的經(jīng)驗來(lái)講解數學(xué)知識。這樣,教師就不再僅僅是數學(xué)知識的忠實(shí)實(shí)施者,而是數學(xué)知識的創(chuàng )造者,就容易實(shí)現自己、學(xué)生和數學(xué)知識真正相遇。數學(xué)課堂就變成一個(gè)開(kāi)放的學(xué)習空間，每個(gè)人可以對某個(gè)數學(xué)問(wèn)題發(fā)表自己的見(jiàn)解,師生可以圍繞著(zhù)某個(gè)不確定的、有待解決的數學(xué)問(wèn)題,共同探討數學(xué)真理,形成教師、學(xué)生和知識融于一體的學(xué)習共同體。數學(xué)教學(xué)也不再僅僅是教師將數學(xué)真理以“展品”的形式展現在學(xué)生的面前、控制課堂的過(guò)程，而是教師將數學(xué)知識融入自身價(jià)值觀(guān)中，促使教學(xué)與自身融為一體,這樣的數學(xué)教學(xué)才有可能是好的教學(xué)。
3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習探究欲望
數學(xué)知識的不確定性使學(xué)生認識到世界上并不存在永恒的數學(xué)真理，不要盲信數學(xué)定理。于是,他們才有可能對數學(xué)產(chǎn)生懷疑,進(jìn)而去探究;才會(huì )破除自己固有的僵硬思維,開(kāi)拓學(xué)生的視野。學(xué)生在質(zhì)疑數學(xué)、研究數學(xué)的過(guò)程中，會(huì )獲得一種自信,認為知識是可以被自己改變的。
在陳景潤讀中學(xué)的時(shí)候,沈元老師給學(xué)生講了一道困擾人們200多年的數學(xué)難題一哥德巴赫猜想，他恰當的引出數學(xué)界比喻“數學(xué)是自然科學(xué)皇后，‘哥德巴赫猜想’則是皇后王冠上的寶石”引起了陳景潤的興趣。雖然沈元老師也沒(méi)有解出這道題,但他促使陳景潤對這道題保持著(zhù)好奇心，_直研究這道題,最終發(fā)表論文《大偶數表示一個(gè)素數及一個(gè)不超過(guò)2個(gè)素數的乘積之和》,引起世界轟動(dòng)。因此,有時(shí)不確定性的數學(xué)知識可以激發(fā)學(xué)生探究欲望,使學(xué)生獲得自信。
三、不確定性數學(xué)知識價(jià)值的實(shí)現策略
如上所述,數學(xué)知識的不確定性具有重要的教育價(jià)值。那么在實(shí)際教育中如何實(shí)現這些價(jià)值值得我們去研究。
(一)突出確定性知識成立的條件
強調數學(xué)知識的不確定性,并不是說(shuō)在教學(xué)中不教確定性的數學(xué)知識,而是說(shuō)要換一種思維去教授確定性知識。其實(shí)，任何數學(xué)知識要正確，都是有條件的。在教學(xué)過(guò)程中，教師要強調數學(xué)知識確定性成立的前提和條件。某個(gè)知識正確，只是在某個(gè)特定條件下正確；若超出了這個(gè)條件,其正確性就受到了挑戰。首先,在課堂上教師要告訴學(xué)生數學(xué)定理的成立是需要條件的。如在初中講數的平方這一規律時(shí)定要告訴學(xué)生只有在實(shí)數范圍內，一個(gè)數的平方才是正數。其次,告訴學(xué)生即使現在這些數學(xué)知識是準確的、唯一的，也不代表它就永恒不變。在教學(xué)中，可以適當增加數學(xué)史的知識,告訴學(xué)生這些知識后來(lái)引起的爭議,使學(xué)生能夠用動(dòng)態(tài)的眼光看待數學(xué)知識。
(二）適當增加課程內容的不確定性
多爾（Doll,W.E.Jr.)認為“課程應具有‘適量’的不確定性、異常性、無(wú)效性、模糊性”�！读x務(wù)教育數學(xué)課程標準（2011年版）》提出課程基本理念“課程內容的呈現應注意層次性和多樣性�！盡因此，國家和地方在制定教材時(shí)，以及教師在教學(xué)時(shí),要適當地多增加一些不確定性的、有爭議的、能引起學(xué)生認知沖突的數學(xué)知識^“編制課程大綱或教學(xué)計劃應該采用一種一般的、寬松的、多少帶有一定的不確定的方式”。M如在教學(xué)不同學(xué)段，可適當增加不等式、不定方程、負數、估算、統計與概率、無(wú)理數等不確定數學(xué)知識的比例，引導學(xué)生用“亦此亦彼”的思維模式去思考問(wèn)題。國外的某些做法值得借鑒。如在我國老
師教授時(shí)（-8)+,老師告訴我們將它看作是-8的開(kāi)立方，因此結果為-2。而在國外,老師認為這題有3種不同的結果3“第一種方法與我國解法是相同的，將（-8)+看作是-8的開(kāi)立方，因而結果為-2。第二種將^當作是I,于是(-8)+=(-8)+=槡(-8)=^=2。第三種觀(guān)點(diǎn)認為（-8)^是說(shuō)不清的，因為每個(gè)人可以有自己不同的解法”。這樣,學(xué)生在計算負數的指數時(shí),答案是不確定的。
(三）注重數學(xué)教學(xué)的開(kāi)放性
開(kāi)放性教學(xué)在教學(xué)中發(fā)揮著(zhù)重要的作甩“開(kāi)放性教學(xué)是為學(xué)生提供一個(gè)發(fā)現和創(chuàng )新的環(huán)境和機會(huì ),為教師提供一個(gè)培養學(xué)生解題能力、自控能力和應用數學(xué)知識能力的有效途徑�！�19因此，教師的教學(xué)應具有開(kāi)放性。這里的開(kāi)放性,首先是指教師在教授數學(xué)時(shí),不一定非得將結論教給學(xué)生;其次,要注重選擇一些沒(méi)有確定答案的數學(xué)內容;再次,要選擇一些條件并不是十分明朗的數學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生思考;最后，還可以創(chuàng )造一些只有部分條件的問(wèn)題，讓學(xué)生補充相關(guān)條件,并提出問(wèn)題。如小學(xué)低年級可以設計這樣的題型:羊圈里有8只羊?這樣每個(gè)學(xué)生補充的條件不同，最終得出的結果也就不一樣。同時(shí),教師可以自己結合生活經(jīng)驗進(jìn)行教學(xué)，重視數學(xué)經(jīng)驗在教學(xué)中的作用，培養學(xué)生直覺(jué)思維和求異思維能力。如在課堂上讓小學(xué)生設計如何測量土豆的體積,不同學(xué)生有不同測量方法，一個(gè)學(xué)生也可以有多種方法；讓學(xué)生自己描述回家路線(xiàn)圖，這樣題目就與學(xué)生實(shí)際生活聯(lián)系，且每個(gè)人回家路線(xiàn)的不同,得到的答案必然不同。
(四）注重評價(jià)方式個(gè)性化
既然數學(xué)知識具有不確定性,那么對學(xué)生的評價(jià)就不能局限于統一的標準。要在評價(jià)中突出學(xué)生的主體地位,注重學(xué)生數學(xué)學(xué)習的個(gè)別差異性“新評定走出了甄別的誤區，評定尊重學(xué)生的個(gè)別差異和個(gè)性特點(diǎn)，問(wèn)題要求具有相當的開(kāi)放性,允許學(xué)生依據自己的興趣和特長(cháng)作出不同形式和內容的解答�！盡只有根據每個(gè)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行評價(jià),才能夠發(fā)現每個(gè)學(xué)生數學(xué)學(xué)習的差異性,才能夠因材施教,也才能引導學(xué)生對數學(xué)充滿(mǎn)懷疑,才有利于學(xué)生發(fā)散思維的形成與發(fā)展。
《素質(zhì)教育在美國》一書(shū)中作者講到在一次數學(xué)對數測試中，美國一個(gè)學(xué)生礦礦在考試時(shí),在對數這一題上畫(huà)了一只咬原木的河貍,手中拿著(zhù)一塊木頭（在英語(yǔ)中Log除了表示對數,還可以表示原木），并寫(xiě)上“Logsarefun!”(木頭真有趣味）。礦礦試卷本身得了100分,老師又給試卷上的畫(huà)“原木和河貍”加了0.2分,這0.2分表明老師對礦礦數理邏輯、形象思維和自信心的充分肯定。這位教師把學(xué)生當作獨特的個(gè)體,這種評價(jià)更具有指導性作用，激勵學(xué)生“探究”數學(xué)而不是“學(xué)習”數學(xué)。
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