統計學(xué)專(zhuān)業(yè)數學(xué)基礎課程改革的研究論文
面向統計學(xué)專(zhuān)業(yè)，為培養理論基礎扎實(shí)、專(zhuān)業(yè)應用性強的學(xué)生，相應進(jìn)行其基礎課程數學(xué)分析和概率論的教學(xué)改革。將兩學(xué)科統籌安排，從教學(xué)內容重點(diǎn)的調整、教學(xué)內容順序的變更、數學(xué)分析和概率論知識點(diǎn)在統計學(xué)中的應用以及兩課程知識點(diǎn)的相互滲透等方面進(jìn)行課程教學(xué)改革。本文通過(guò)諸多實(shí)例，具體闡述了教學(xué)改革的方法。
為培養一批理論基礎扎實(shí)、專(zhuān)業(yè)應用性強的統計學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，對其專(zhuān)業(yè)基礎課程數學(xué)分析和概率論進(jìn)行相應的教學(xué)改革。不僅在兩門(mén)課程各自的教學(xué)中調整了內容重點(diǎn)，滲透相關(guān)知識點(diǎn)在統計學(xué)后繼專(zhuān)業(yè)課程中的應用，而且在兩門(mén)課程同步教學(xué)的過(guò)程中，合理安排了教學(xué)內容的順序，相互滲透兩門(mén)課程的知識。在統籌安排下，我們進(jìn)行了數學(xué)分析和概率論的課程改革。
一、統計學(xué)專(zhuān)業(yè)數學(xué)分析課程改革的研究
數學(xué)分析內容經(jīng)典，體系完整，理論推理嚴密，既對培養學(xué)生數學(xué)思維有著(zhù)重要的作用，也為統計學(xué)后繼課程提供必要的基礎知識和應用工具。在數學(xué)分析的教學(xué)過(guò)程中，除了在教學(xué)理念中突出數學(xué)分析的思想性和增強應用能力，在教學(xué)內容中抓住主要內容，融入建模思想，增設實(shí)驗課程，以及在教學(xué)方法中按學(xué)生能力，采用分層等教學(xué)改革外，我們結合統計學(xué)專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革的研究。
第一，調整課程教學(xué)的重點(diǎn)。統計學(xué)專(zhuān)業(yè)以培養理論基礎扎實(shí)，專(zhuān)業(yè)應用性強的學(xué)生為目標。在數學(xué)分析的教學(xué)中，對重要知識點(diǎn)深入講解，使學(xué)生理解其思想，并通過(guò)例題加深體會(huì );而對過(guò)于繁雜的證明可適當降低要求，且對一些知識點(diǎn)在幾何、物理中的應用部分可作為學(xué)生課下自學(xué)內容。例如在講授“實(shí)數的完備性”這一章的內容時(shí)，授課時(shí)重點(diǎn)講解定理的思想，而對定理的證明適當降低要求，并且證明部分在數學(xué)分析第三學(xué)期講授。這樣安排一方面是由于統計學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生對數學(xué)理論證明的要求并不是很高，另一方也可以避免學(xué)生在數學(xué)分析學(xué)習的前期因繁雜的證明而失去信心和興趣，而且可以在有限的課時(shí)內講解更多的例題、以及數學(xué)分析知識點(diǎn)在統計學(xué)中的應用。例如在學(xué)習“定積分的性質(zhì)和計算”之后，講解定積分在統計學(xué)中的應用，而對于定積分在幾何以及物理中的應用略講。諸如利用定積分求平面曲線(xiàn)的弧長(cháng)與曲率，旋轉曲面的面積等幾何應用部分，以及利用定積分求液體靜壓力，引力等物理應用部分安排作為學(xué)生課下自學(xué)內容。同樣，在講解隱函數定理、重積分等的應用時(shí)，對其在幾何、物理中的應用略講，而講解其在統計中的應用。這樣，一方面可以增強統計學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習的興趣，感受到數學(xué)分析的基礎性作用，另一方面讓學(xué)生提前感受統計學(xué)的相關(guān)專(zhuān)業(yè)知識和應用。
第二，滲透數學(xué)分析知識在統計學(xué)中的應用。比如在講授“微分中值定理”、“泰勒公式”、“極值定理”、“定積分”、“隱函數定理”、“傅里葉級數”時(shí)，可滲透其在統計學(xué)中的應用。在介紹知識點(diǎn)和性質(zhì)之后，以例題的形式講解這些知識在統計學(xué)中的應用。例如在“多元函數極值問(wèn)題”的教學(xué)中，以一元線(xiàn)性回歸模型參數的最小二乘估計為例題，講解極值判別法在統計學(xué)中的應用，并且提出有實(shí)際應用背景方面的例題，比如銷(xiāo)售收入和廣告費用支出之間的關(guān)系。這樣既使學(xué)生了解了數學(xué)建模的方法，又使學(xué)生體會(huì )到了數學(xué)分析的奇妙，增強了學(xué)習的興趣。例如在講解“導數的運算”時(shí)，以數理統計學(xué)的最大似然估計中對似然函數求導取得最值點(diǎn)為例題，滲透導數知識在統計學(xué)中的應用;在講解“高階導數”時(shí)，以時(shí)間序列分析中的ARIMA模型為例題，滲透高階求導在時(shí)間序列分析中的應用;在講解“一致連續性”時(shí)，以概率統計中特征函數為例題，證明特征函數的一致連續性。這樣，既使學(xué)生體會(huì )到數學(xué)分析對統計學(xué)專(zhuān)業(yè)課程的重要性，又使學(xué)生提前了解了統計學(xué)中的部分知識點(diǎn)及其應用，增強了學(xué)生學(xué)習數學(xué)分析和統計學(xué)課程的興趣，提高了學(xué)習的主動(dòng)性。
第三，調整課程教學(xué)內容的順序。為加開(kāi)更多的應用型統計專(zhuān)業(yè)課程，在統計學(xué)專(zhuān)業(yè)的培養計劃中，概率論課程開(kāi)設在大學(xué)一年級第二學(xué)期，數理統計課程開(kāi)設在大學(xué)二年級第一學(xué)期。這便需要對先修課程數學(xué)分析的進(jìn)度安排加以調整，以便適應后繼專(zhuān)業(yè)課程的開(kāi)設。例如學(xué)生在學(xué)習概率論中“多維隨機變量及其分布”的相關(guān)知識之前，在數學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)習了重積分的概念、性質(zhì)和計算，因而在數學(xué)分析三個(gè)學(xué)期的教學(xué)中，應合理調整講授內容的順序。具體安排如下：講解了一元函數的極限和微積分后，介紹多元函數的極限、微分學(xué)和重積分，之后再講授數項級數、函數項級數和冪級數的知識;對于實(shí)數的完備性部分僅在數學(xué)分析第一學(xué)期中講授定理的思想和應用，而將定理的證明部分安排在第三學(xué)期講解;對于曲線(xiàn)積分、曲面積分、含參量積分部分，安排在第三學(xué)期講授，同時(shí)隱函數定理、傅里葉級數也安排在第三學(xué)期講授。這樣調整數學(xué)分析課程教學(xué)內容的`順序，既可以使得概率論、數理統計等課程正常開(kāi)展，又可以兼顧數學(xué)分析知識體系本身的系統性和完整性。
第四，在數學(xué)分析的教學(xué)中開(kāi)設專(zhuān)題。在數學(xué)分析第三學(xué)期的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了概率論的相關(guān)知識，可開(kāi)設“數學(xué)分析方法在概率論中的應用”、“數學(xué)分析方法在統計學(xué)中的應用”、“概率論方法在數學(xué)分析中的應用”等專(zhuān)題。在專(zhuān)題課上，可通過(guò)歸納總結、引入相關(guān)例題的方式，介紹數學(xué)分析知識在概率論、數理統計、回歸分析、時(shí)間序列等中的應用;同樣也可介紹用概率論方法解決極限問(wèn)題、無(wú)窮級數問(wèn)題、積分問(wèn)題、恒等式與不等式問(wèn)題等。通過(guò)這些專(zhuān)題使學(xué)生體會(huì )到數學(xué)各學(xué)科間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，感受到數學(xué)的奇妙，增強了學(xué)生的學(xué)習興趣。
二、統計學(xué)專(zhuān)業(yè)概率論課程改革的研究
概率論是隨機數學(xué)的典型代表，其理論性強，內容抽象，應用廣泛。結合統計學(xué)專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革的研究。
第一，在教學(xué)中運用案例教學(xué)法，融入數學(xué)建模的思想。一方面精心挑選具有實(shí)際背景的例題，使學(xué)生在學(xué)習中感受到概率論廣泛的應用性，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習的興趣;另一方面，在知識點(diǎn)和例題的講解中，盡量以具體數字代替抽象的數學(xué)符號，避免因符號的抽象性而帶來(lái)學(xué)生理解難度的增大，降低概率論在教學(xué)過(guò)程中的抽象性。
第二，調整課程教學(xué)的重點(diǎn)，并且滲透概率論知識在統計學(xué)中的應用。我們將從以下四個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革。(1)重點(diǎn)講解在統計學(xué)后繼專(zhuān)業(yè)課程中使用較多的知識點(diǎn)，并通過(guò)例題讓學(xué)生深入體會(huì )這些知識點(diǎn)的內涵和應用。例如“貝葉斯公式”、“二項分布”、“泊松分布”、“正態(tài)分布”、“指數分布”、“隨機變量函數的分布”、“相關(guān)系數”、“大數定律”和“中心極限定理”等知識點(diǎn)。(2)對于一些極限定理，授課時(shí)重點(diǎn)講解定理和性質(zhì)的思想，并通過(guò)例題使學(xué)生理解其內涵，學(xué)會(huì )其應用的方法;而對于證明部分，可適當降低要求，或采取學(xué)生課下自學(xué)的方式。例如“概率的上(下)連續性”相關(guān)性質(zhì)的證明，常用的幾個(gè)“大數定律”的證明和“中心極限定理”的證明。(3)由于授課對象為統計學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，對一些概率論中的非核心內容而在后繼統計學(xué)專(zhuān)業(yè)課程中比較重要的知識點(diǎn)要詳細講解。例如“伽瑪分布”、“蒙特卡羅法”(由隨機變量函數的性質(zhì)獲得產(chǎn)生隨機數的方法)、“分位數”等內容。(4)在概率論課程的教學(xué)中，滲透概率論知識在統計學(xué)中的應用。例如講解“中心極限定理”在大樣本檢驗中的應用，“二項分布”在符號檢驗中的應用，“超幾何分布”在Brown-Mood中位數檢驗中的應用，“Lindburg-Levy中心極限定理”在正態(tài)隨機數的產(chǎn)生和數值計算誤差分析中的應用。
第三，在概率論課程上，適當提前講解部分數學(xué)分析的知識。雖然在數學(xué)分析課程的教學(xué)改革中，對數學(xué)分析課程教學(xué)內容的順序進(jìn)行了調整，但是為了保證概率論課程的正常進(jìn)行，仍需在概率論課上提前講授數學(xué)分析的部分知識點(diǎn)。例如在講解“概率的公理化定義”和“離散型隨機變量數學(xué)期望”時(shí)，經(jīng)過(guò)教學(xué)改革調整后的數學(xué)分析課程還未講授數項級數部分，這便需要在概率論課程上提前講解級數的定義和絕對收斂的相關(guān)知識。這些講解無(wú)需深入，只需滿(mǎn)足概率論課程的正常開(kāi)展即可。
第四，開(kāi)設處理實(shí)際生活中隨機問(wèn)題的專(zhuān)題。通過(guò)介紹一些處理概率論問(wèn)題中既有趣又有用的新思想、新方法與新內容，開(kāi)闊學(xué)生的視野。例如可開(kāi)設“分賭資問(wèn)題”、“抽牌游戲”、“信封與信配對問(wèn)題”、“人壽保險問(wèn)題”、“乘客等車(chē)時(shí)間問(wèn)題”、“下電梯問(wèn)題”、“價(jià)格預測”等專(zhuān)題。
三、概率論與數學(xué)分析方法的相互應用
雖然數學(xué)分析與概率論是數學(xué)的兩個(gè)不同分支，但數學(xué)分析的發(fā)展為概率論奠定了基礎，而概率論中隨機性、反因果論也推動(dòng)著(zhù)數學(xué)分析的發(fā)展。二者的緊密結合性不僅體現在學(xué)科發(fā)展上，而且在教學(xué)上也有著(zhù)相輔相成的意義。
(一)在數學(xué)分析教學(xué)中融入建模思想，引入用概率解題的方法
概率論思維與一般數學(xué)思維的結構類(lèi)同，通過(guò)建立適當的模型，應用概率方法不僅能解決一些隨機的數學(xué)問(wèn)題，而且還可以解決一些確定的數學(xué)問(wèn)題。尋找并歸納總結概率方法、模型和概率論中相關(guān)定理在數學(xué)分析中的應用，比如用概率論知識方法解決極限問(wèn)題、無(wú)窮級數問(wèn)題、積分問(wèn)題、恒等式與不等式問(wèn)題等。將一些確定性的問(wèn)題轉化為隨機性的問(wèn)題，使得數學(xué)分析中某些比較繁雜的問(wèn)題得以高效、簡(jiǎn)捷地解決，以期激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使學(xué)生從中體會(huì )到數學(xué)的奇妙所在。例如用“蒙特卡羅方法”計算定積分(隨機投點(diǎn)法)，利用“隨機變量分布函數”的性質(zhì)簡(jiǎn)化積分的計算等。在下述數學(xué)分析求重積分的例題中，用普通的近似方法無(wú)法求解，而利用概率論中的“大數定律”可獲得n重積分(n很大時(shí))的極限值。
(二)在概率論教學(xué)中體會(huì )數學(xué)分析的思想內涵，增強學(xué)生的學(xué)習興趣
概率論是研究隨機現象統計規律性的一門(mén)學(xué)科，有廣泛的應用性。但同時(shí)，自Kolmogrov提出公理化體系之后，概率論中用以解決實(shí)際問(wèn)題主要是通過(guò)分析手段。概率論是在數學(xué)分析課程的基礎上進(jìn)行教學(xué)的，學(xué)生在概率論的學(xué)習中可鞏固數學(xué)分析的基礎知識，在概率論數學(xué)化論證和嚴密的推理中進(jìn)一步體會(huì )數學(xué)分析的內涵，理解數學(xué)分析解決問(wèn)題的思維方式，使知識整體化、系統化。例如，在概率論中講授“分布函數”時(shí)，學(xué)生可鞏固數學(xué)分析中“無(wú)窮積分”的知識;在講授“泊松分布”時(shí)，學(xué)生可體會(huì )“泰勒展開(kāi)”的意義;在講授“正態(tài)分布的數學(xué)期望與方差”時(shí)，學(xué)生可通過(guò)積分求值的計算過(guò)程對數學(xué)分析知識有所鞏固提高;在講授“連續隨機變量函數的分布”時(shí)，學(xué)生可鞏固“變上限積分”的知識;在講授“分布”時(shí)，學(xué)生可認識到“歐拉積分”的重要性;在講授“連續隨機變量的條件分布”時(shí)，學(xué)生可體會(huì )“積分中值定理”的應用。
在概率論教學(xué)中，不僅要幫助學(xué)生從中體會(huì )數學(xué)分析的思想內涵，而且通過(guò)概率論的實(shí)際解題，幫助學(xué)生體會(huì )到了數學(xué)分析的基礎性作用，增強了學(xué)生的學(xué)習興趣。例如在處理“配對問(wèn)題”——“在一個(gè)有n個(gè)人參加的晚會(huì )上，每個(gè)人帶了一件禮物，且假定各人帶的禮物都不相同。晚會(huì )期間各人從放在一起的n件禮物中隨機抽取一件，問(wèn)至少有一個(gè)人自己抽到自己禮物的概率是多少”時(shí)，通過(guò)概率的加法公式可得到至少有一個(gè)人自己抽到自己禮物的概率。當n≥5時(shí)，計算較為繁雜，這時(shí)若用的泰勒展開(kāi)，便可得到此概率的近似值，極大地簡(jiǎn)化了計算。
總之，通過(guò)在探索中不斷實(shí)踐，在實(shí)踐中不斷探索，能夠很好的進(jìn)行統計學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎課程《數學(xué)分析和概率論》的教學(xué)改革。
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