數學(xué)分析原理和方法在中學(xué)數學(xué)中的應用論文
隨著(zhù)中學(xué)數學(xué)教育改革的進(jìn)行，中學(xué)數學(xué)課外活動(dòng)蓬勃開(kāi)展,在中學(xué)活動(dòng)課程中,學(xué)生常常接觸一些中學(xué)數學(xué)課本以外的知識,數學(xué)奧林匹克在中學(xué)活躍了學(xué)習空氣,同時(shí)也對中學(xué)數學(xué)教師提出了更新、更高的要求,數學(xué)分析和其他一些高等數學(xué)的知識在其中發(fā)揮著(zhù)更加突出的作用。如集合的拆分,組合計數,遞歸數列,利用極限推證不等式,用介值定理求方程的近似解等。許多課外活動(dòng)的數學(xué)問(wèn)題,其內容有高等數學(xué)的背景,現代數學(xué)的觀(guān)點(diǎn),有高等數學(xué)的思想方法,但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是對數學(xué)分析課程在中學(xué)數學(xué)教學(xué)中的應用作簡(jiǎn)要探討。
1微分學(xué)原理、方法在中學(xué)數學(xué)中的應用
在中學(xué)數學(xué)中,要作出函數的圖形,除了利用極易判斷出來(lái)的函數的單調性以及可明顯看出的一些極值點(diǎn)等性質(zhì)外,最主要的還是依靠描點(diǎn)法作函數的圖形，如此作出的圖形究竟是不是該函數的真正圖形是無(wú)法肯定的。而在數學(xué)分析中，利用導數判斷出函數的單調性、凹凸性,求出極值點(diǎn)和拐點(diǎn),再利用極限求漸近線(xiàn)，就能精確地畫(huà)出函數的草圖,所以可用微分學(xué)原理和方法指導中學(xué)數學(xué)教學(xué)。
(1)討論函數的單調性中學(xué)數學(xué)討論函數的單調性一般只能根據定義,計算很繁瑣,對某些函數甚至無(wú)法判別,而根據微分學(xué)中嚴格單調的充分條件的定理“若/對乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),則函數f(X在(a,b內嚴格增加或嚴格減少)�！眲t可使解法簡(jiǎn)化,并能使問(wèn)題得以深化和拓展。
(2證明不等式。不等式在中學(xué)數學(xué)中占據著(zhù)重要地位,這體現于它在解方程（如解不定方程、三角方程、對數方程等)和有關(guān)函數的問(wèn)題、三角證明題、極值、條件極值、幾何證明題等諸方面的應用。不等式的證明方法多種多樣,沒(méi)有一個(gè)統一的模式。初等數學(xué)常用的方法是恒等變形、數學(xué)歸納法、利用二次型、使用重要不等式,其中進(jìn)行巧妙的恒等變形,形成非負的項或者湊成可利用的重要不等式洳Vb等)是極有生命力和創(chuàng )造力的方法,但這里往往要有較高的技巧。利用微分中值定理、函數的單調性、定積分的性質(zhì)等有關(guān)知識,可使不等式的證明過(guò)程大大簡(jiǎn)化。
2積分法原理和方法在中學(xué)數學(xué)中的應用
積分學(xué)是由不定積分和定積分兩部分組成，不定積分是從逆運算的角度把積分看作微分的逆運算而定義的。而定積分是從極限的角度把定積分看作是特殊類(lèi)型的極限加以定義的,這兩類(lèi)積分從定義形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微積分基本定理揭示了它們的內在聯(lián)系，使得求一個(gè)和式極限這個(gè)相當困難的定積分問(wèn)題轉化為通過(guò)求不定積分來(lái)加以解決,從而使兩者成為不可分割的整體,在理論和應用上取得了長(cháng)足的發(fā)展。單從數學(xué)分析來(lái)看,定積分不僅對求面積、弧長(cháng)、體積、近似計算等問(wèn)題十分有用,而且與數學(xué)分析的另-組成部分--級數之間建立了聯(lián)系。
定積分除具有具體應用的優(yōu)勢外，更具有方法上的指導意義。在中學(xué)數學(xué)中，對一些規則平面圖形或空間立體的`面積、體積和表面積給出計算的公式,但其中相當一部分公式無(wú)法給出推導的方法，在研究體積計算問(wèn)題時(shí)常用的一個(gè)重要定理--祖暅定理也只能當作公理介紹，并由它以及長(cháng)方體的體積公式推出柱、錐、臺、球等體積公式。而在數學(xué)分析中,有關(guān)面積、體積的計算完全可利用積分或重積分精確地計算出來(lái),祖WS定理、柱、錐、臺、球等體積公式只須用定積分的定義便可簡(jiǎn)捷地給出證明。中學(xué)數學(xué)教師有了數學(xué)分析作為工具,在遇到有關(guān)面積、體積的計算問(wèn)題時(shí),可先用數學(xué)分析的方法求出解答,這為選擇適當的教學(xué)方法指明了方向。
3級數理論在中學(xué)數學(xué)中的應用
級數理論同樣是數學(xué)分析中的一個(gè)重要內容，利用函數的級數展開(kāi)式可進(jìn)行近似計算，中學(xué)數學(xué)用表中的三角函數表、常用對數表等均是利用級數理論求出其近似值來(lái)制作。中學(xué)教師具備了這些知識后，在日常教學(xué)中就不但能教學(xué)生如何查表,還可說(shuō)明造表的理論依據,激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣。另外,還可用于講一些常數如數e,數+)的超越性等,為開(kāi)展中學(xué)數學(xué)課外活動(dòng)提供素材。
總之,利用數學(xué)分析的原理和方法,可以改變我們對一些問(wèn)題的思維方式,拓寬我們的解題思路。中學(xué)數學(xué)教師在講授上述內容時(shí),可先用數學(xué)分析的方法求出答案,做到心中有數,然后再根據中學(xué)數學(xué)知識,結合學(xué)生的實(shí)際情況,設計出既不違反科學(xué),又利于后續課程學(xué)習,并且最易為學(xué)生接受的最佳教學(xué)方案,這樣必能收到理想的教學(xué)效果。
把數學(xué)分析的思想、方法、知識應用于解決中學(xué)數學(xué)問(wèn)題上,能起到以簡(jiǎn)馭繁的作用,尤其是在不等式與恒等式的證明、求函數極值與切線(xiàn)及單調區間、方程根的討論、研究函數的性態(tài)與作圖以及解決實(shí)際問(wèn)題等方便,不僅可以簡(jiǎn)化解法,而且能使問(wèn)題的研究更為深入、全面。然而,文章對此研究的并不完善,仍有繼續研究的空間。
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