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高中數學(xué)函數的單調性的教學(xué)設計
【教學(xué)目標】
1.知識與技能：從形與數兩方面理解函數單調性的概念，掌握利用函數圖象和定義判斷、證明函數單調性的方法步驟。
2.過(guò)程與方法：通過(guò)觀(guān)察函數圖象的變化趨勢——上升或下降，初步體會(huì )函數單調性，然后數形結合，讓學(xué)生嘗試歸納函數單調性的定義，并能利用圖像及定義解決單調性的證明。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：在對函數單調性的學(xué)習過(guò)程中，讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過(guò)程，增強學(xué)生由現象猜想結論的能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】 函數單調性的概念、判斷。
【教學(xué)難點(diǎn)】 根據定義證明函數的單調性。
【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習。
【教學(xué)工具】 教學(xué)多媒體。
【教學(xué)過(guò)程】
一、創(chuàng )設情境，引入課題
師：同學(xué)們剛剛從樓下走到了教室，如果把每一個(gè)樓梯的臺階都標上數字
，我們一起來(lái)描述一下從樓下走到教室這一過(guò)程中，同學(xué)們的位置變化。
生：隨著(zhù)樓梯臺階標號的增大，我們所處的位置在不斷地上升。
師：(積極反饋，全班鼓掌表?yè)P)反之，我們下樓時(shí)，我們的位置顯然是在下降的。
師：(閱讀教材，人教
版
節首內容，引導學(xué)生看圖
)結合上下樓的問(wèn)題，引導學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考。
觀(guān)察圖
中的函數圖象，隨著(zhù)函數自變量
的增大(減小)，你能得到什么信息?
二、歸納探索，形成概念
我們在學(xué)習函數概念時(shí)，了解了函數的定義域及值域，本節內容其實(shí)就是針對自變量與函數值之間的變化關(guān)系進(jìn)行的專(zhuān)題研究之一──函數單調性的研究。
同學(xué)們在初中已經(jīng)對函數隨著(zhù)自變量取值的變化函數值相應的變化情況有了一定的認識，但是沒(méi)有嚴格的定義，今天我們的任務(wù)就是通過(guò)形象的函數圖象變化情況，為函數單調性建立嚴格定義。
1.借助圖象，直觀(guān)感知
首先，我們來(lái)研究一次函數
和二次函數
的單調性。
師：在沒(méi)有學(xué)習函數單調性的嚴格定義之前，函數的單調性可以理解為，
師：根據圖象，請同學(xué)們寫(xiě)出你對這兩個(gè)函數單調性的描述。
生：(獨立完成，小組內互相檢查，然后閱讀教材，對比參照)。
2.抽象思維，形成概念
函數的性質(zhì)離不開(kāi)函數的定義域，在研究函數單調性時(shí)，我們也必須充分考慮到這一點(diǎn)，
在函數的定義區間上描述隨著(zhù)自變量
值的變化，函數值
的變化情況。
師：思考，如何利用函數解析式
來(lái)描述函數隨著(zhù)自變量
值的變化，函數值
的變化情況?(注意函數的定義區間)
生：在
上，隨著(zhù)自變量
值的增大，函數值
逐漸減小;在
上，隨著(zhù)自變量
值的增大，函數值
逐漸增大。
師：如果給出函數
，你能用準確的數學(xué)符號語(yǔ)言表述出函數單調性的定義嗎?
生：(師生共同探究，得出增函數嚴格的定義)一般地，設函數
的定義域為
�。�
�、偃绻麑τ诙x域上某個(gè)區間
上的任意兩個(gè)自變量的值
，當
時(shí)，都有
，那么就說(shuō)函數
在區間
上是增函數;
�、谌绻麑τ诙x域上某個(gè)區間
上的任意兩個(gè)自變量的值
，當
時(shí)，都有
，那么就說(shuō)函數
在區間
上是減函數。
三、掌握證法，適當延展
【例1】下圖是定義在區間
上的函數
，根據圖象說(shuō)出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數?
【例2】物理學(xué)中的玻意耳定律
(
為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積
減小時(shí)，壓強
將增大。試用函數的單調性證明之。
師：在解決完成這個(gè)例題后，根據解題步驟歸納總結用定義證明函數單調性的一般性算法步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。
四、歸納小結，提高認識
學(xué)生交流在本節課學(xué)習中的體會(huì )、收獲，交流學(xué)習過(guò)程中的體驗和感受，共同完成小結。
(1) 利用圖象判斷函數單調性;
(2) 利用定義判斷函數單調性;
(3) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。
五、布置作業(yè)，拓展探究
課后探究：研究函數
的單調性。
六、板書(shū)設計
函數的單調性
一、創(chuàng )設情境，引入課題
二、歸納探索，形成概念
三、掌握證法，適當延展
四、歸納小結，提高認識
七、教學(xué)反思
在有限的課堂時(shí)間，使學(xué)生掌握利用數形結合的思想方法準確理解函數單調性的有關(guān)概念，加深對基本概念的認識。首先，展示一個(gè)學(xué)生都熟悉無(wú)比的情境，在這個(gè)情境中讓學(xué)生直觀(guān)地理解上升(遞增)或下降(遞減)的現象，然后針對課本所給的三個(gè)圖象，結合情境中的直觀(guān)現象，讓學(xué)生描述這三個(gè)函數圖象的特征。學(xué)生在描述函數圖象特征(上升或下降)的時(shí)候較為順利，但總覺(jué)得有錯誤，可又說(shuō)不清理由。此時(shí)，教師指出：在敘述函數圖像特征時(shí)要按照一定的標準，即觀(guān)察的順序應沿x軸正方向，自變量從左向右變化時(shí)，函數值(圖像)的變化趨勢，這樣即可得到正確答案。學(xué)生在理解錯誤原因過(guò)程中亦得到了正確的研究方法。接下來(lái)，單刀直入地提出函數的單調性這個(gè)函數的性質(zhì)。在直觀(guān)上承認這一性質(zhì)以后，由學(xué)生按學(xué)習小組，仿照剛才的分析去研究一次函數和二次函數的單調性。繼而提出：圖象特征如何轉化為數學(xué)語(yǔ)言?經(jīng)過(guò)學(xué)生探究思考，教師啟發(fā)，學(xué)生歸納總結函數單調性的定義。結合圖像，學(xué)生通過(guò)自主合作探索，自己給出了函數單調性的定義。然后讓學(xué)生打開(kāi)書(shū)本，與書(shū)上的表述比較，肯定他們的成果，并提示注意書(shū)本敘述的精確用語(yǔ)。本課學(xué)生印象深刻，理解深入，合作探究激發(fā)了學(xué)生的內驅力與自信心。
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