圓的方程的教案

　　㈠課時(shí)目標

　　1．掌握圓的一般式方程及其各系數的幾何特征。

　　2．待定系數法之應用。

　　㈡問(wèn)題導學(xué)

　　問(wèn)題1：寫(xiě)出圓心為（a，b），半徑為r的圓的方程，并把圓方程改寫(xiě)成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0

　　問(wèn)題2：下列方程是否表示圓的方程，判斷一個(gè)方程是否為圓的方程的標準是什么？

　�、� ； ② 1

　�、� 0； ④ —2x+4y+4=0

　�、� —2x+4y+5=0； ⑥ —2x+4y+6=0

　　㈢教學(xué)過(guò)程

　　[情景設置]

　　把圓的標準方程 展開(kāi)得 —2ax—2by+ =0

　　可見(jiàn)，任何一個(gè)圓的方程都可以寫(xiě)成下面的形式：

　　+Dx+Ey+F=0 ①

　　提問(wèn)：方程表示的曲線(xiàn)是不是圓？一個(gè)方程表示的曲線(xiàn)是否為圓有標準嗎？

　　[探索研究]

　　將①配方得 ： （ ） ②

　　將方程 ②與圓的標準方程對照。

　�、女� ＞0時(shí)， 方程 ②表示圓心在 （— ），半徑為 的.圓。

　�、飘� =0時(shí)，方程①只表示一個(gè)點(diǎn)（— ）。

　�、钱� ＜0時(shí)， 方程①無(wú)實(shí)數解，因此它不表示任何圖形。

　　結論： 當 ＞0時(shí)， 方程 ①表示一個(gè)圓， 方程 ①叫做圓的一般方程。

　　圓的標準方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了形式上的特點(diǎn)：

　�、� 和 的系數相同，不等于0；

　�、茮](méi)有xy這樣的二次項。

　　以上兩點(diǎn)是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件，但不是充分條件

　　[知識應用與解題研究]

　　[例1] 求下列各圓的半徑和圓心坐標。

　�、� —6x=0； ⑵ +2by=0（b≠0）

　　[例2]求經(jīng)過(guò)O（0，0），A（1，1），B（2，4）三點(diǎn)的圓的方程，并指出圓心和半徑。

　　分析：用待定系數法設方程為 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

　　[例3]已知一曲線(xiàn)是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）距離的比為 的點(diǎn)的軌跡，求此曲線(xiàn)的方程，并畫(huà)出曲線(xiàn)。

　　分析：本題直接給出點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，可直接用坐標表示動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件得出方程。

　　反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距離之比為定植k（k>0）的點(diǎn)的軌跡又如何？當k=1時(shí)為直線(xiàn)，k>0時(shí)且k≠1時(shí)為圓。

　　㈣提煉總結

　　1．圓的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。

　　2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件是：A=C≠0且B=0。

　　3．圓的方程兩種形式的選擇：與圓心半徑有直接關(guān)系時(shí)用標準式，無(wú)直接關(guān)系選一般式。

　　4．兩圓的位置關(guān)系（相交、相離、相切、內含）。

　　㈤布置作業(yè)

　　1．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，0）且與圓 —8x—2y+12=0截得的弦最短，則直線(xiàn)l的方程為：

　　2．求下列各圓的圓心、半徑并畫(huà)出它們的圖形。

　�、� —2x—5=0； ⑵ +2x—4y—4=0

　　3．經(jīng)過(guò)兩圓 +6x—4=0和 +6y—28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線(xiàn)x—y—4=0上的圓的方程。

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