小學(xué)五年級上數學(xué)北師大版《點(diǎn)陣中的規律》教案
教學(xué)內容：
北師大版小學(xué)數學(xué)五年級上冊第82——83頁(yè)的內容。
教學(xué)目標：
1、結合具體的圖形，明確什么是“點(diǎn)陣”，了解點(diǎn)陣的基本知識。
2、能在具體的觀(guān)察活動(dòng)中，發(fā)現點(diǎn)陣中隱藏的規律，體會(huì )圖形與數的聯(lián)系。
3、培養學(xué)生觀(guān)察、概括與推理的能力。
4、了解數學(xué)發(fā)展的歷史，感受數學(xué)文化的魅力。
教學(xué)重點(diǎn)：
通過(guò)觀(guān)察活動(dòng)，引導學(xué)生探索發(fā)現“點(diǎn)陣”中隱藏的規律。
教學(xué)難點(diǎn)：
能從不同的角度觀(guān)察到點(diǎn)陣圖形的不同排列規律，并能把觀(guān)察到的規律用算式表示出來(lái)。
教學(xué)準備：
�。◣煟┒嗝襟w課件；（生）彩筆。
教學(xué)過(guò)程：
一、談話(huà)引入
�。ɡ蠋熢诤诎迳袭�(huà)點(diǎn)）今天給大家請來(lái)了一位圖形朋友——點(diǎn)，不要小看了這個(gè)小小的點(diǎn)，早在2000多年前，古希臘的數學(xué)家們就是從這樣一個(gè)小小的點(diǎn)開(kāi)始研究，發(fā)現了由許多個(gè)這樣的點(diǎn)組成的點(diǎn)子圖形中的規律，還給這些圖形取了一個(gè)好聽(tīng)的名字，叫點(diǎn)陣。同學(xué)們想不想過(guò)一把當數學(xué)家的癮，自己來(lái)尋找這些規律？今天，我們就一起來(lái)探究點(diǎn)陣中隱含的規律。（板書(shū)課題：點(diǎn)陣中的規律）
二、探究正方形點(diǎn)陣中的規律
1、探究正方形點(diǎn)陣的規律。
�。�1）我們一起來(lái)看看數學(xué)家們當年研究的點(diǎn)陣圖，邊看邊說(shuō)出各個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子數。
教師依次出示前四個(gè)正方形點(diǎn)陣圖，并逐步引導學(xué)生想像、猜測：下一個(gè)點(diǎn)陣圖會(huì )是什么樣子呢？
�。S著(zhù)點(diǎn)陣圖的依次出現，學(xué)生的思維逐漸活躍，當第三個(gè)點(diǎn)陣圖出現的時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)忍不住地說(shuō)出了點(diǎn)數。說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)發(fā)現了正方形點(diǎn)陣中的規律。但這時(shí)，教師沒(méi)有急于讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，而是給學(xué)生留出了完善自己想法的時(shí)間，同時(shí)也暗示學(xué)生：規律的呈現不能依靠一個(gè)或幾個(gè)圖形來(lái)歸納，應該有耐心地繼續自己的觀(guān)察活動(dòng)。）
�。�2）除了能說(shuō)出各個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數之外，仔細觀(guān)察點(diǎn)陣圖：你還有什么其它的發(fā)現？
�。▽W(xué)生能夠發(fā)現各個(gè)點(diǎn)陣的形狀是正方形的，還能用1×1、2×2、3×3、4×4這樣的算式來(lái)表示每個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數。）
�。�3）根據剛才發(fā)現的規律，想：第五個(gè)點(diǎn)陣是什么樣子，獨立畫(huà)出來(lái)，并用算式表示點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生獨立畫(huà)出第五個(gè)5×5的點(diǎn)陣圖）
�。�4）思考：照這樣的規律繼續畫(huà)下去，第100個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數如何用算式來(lái)表示？第n個(gè)呢？
�。ńY合發(fā)現的.規律，引導學(xué)生逐步完善自己的想法，建立總結正方形點(diǎn)陣規律的模型。）
小組討論：你覺(jué)得每個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數與什么有關(guān)系？
�。▽W(xué)會(huì )用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
小結：每個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數可以看作是一個(gè)相同數字相乘的積，這個(gè)數字與點(diǎn)陣的序號有關(guān)，與每個(gè)正方形點(diǎn)陣每排的點(diǎn)子數也有關(guān)系。
2、剛才我們研究了一組正方形點(diǎn)陣中隱含的規律，那么對于同一個(gè)點(diǎn)陣來(lái)說(shuō)，如果劃分的方法不同，所呈現的規律也就不同。
�。�1）請大家仔細觀(guān)察第五個(gè)正方形點(diǎn)陣中點(diǎn)的劃分方法，你能發(fā)現什么規律？
學(xué)生會(huì )有如下發(fā)現
�、偈怯谜劬�(xiàn)劃分開(kāi)的。
�、诿織l線(xiàn)內的點(diǎn)分別是1、3、5、7、9。
�、圻@個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數就可以表示為：1＋3＋5＋7＋9=25。
�。�2）如果把每條線(xiàn)所包圍的點(diǎn)子數記下來(lái)，如何用算式來(lái)表示？
第一條線(xiàn)： 1 = 1；
第二條線(xiàn)： 1＋3 = 4；
第三條線(xiàn)： 1＋3＋5 = 9；
第四條線(xiàn)： 1＋3＋5＋7 = 16；
第五條線(xiàn)： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；
�。�3）每條線(xiàn)所包圍的點(diǎn)子數與前面研究的一組正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子數有什么關(guān)系？（正好是第一到第五個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子數。）
�。ǖ诙�、三個(gè)問(wèn)題需要老師引導，學(xué)生自己難以發(fā)現，尤其是第三個(gè)問(wèn)題，學(xué)生很難想到它們和開(kāi)始時(shí)依次出現的幾個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數之間的關(guān)系。當學(xué)生想不到這種聯(lián)系時(shí)，是否一定要引導？）
�。�4）思考：表示這個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數的算式有什么特點(diǎn)？
�。ㄟ@個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)子總數可以看作是連續奇數的和。）
�。�5）如果按這樣的劃分方法劃分第六個(gè)正方形點(diǎn)陣，它的點(diǎn)數該如何表示？
1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36；
�。�6）前面老師是把這個(gè)5×5的正方形點(diǎn)陣用折線(xiàn)進(jìn)行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？在用算式表示上有什么規律？
學(xué)生的劃分有以下幾種
�、贆M向劃分：用算式表示為5＋5＋5＋5＋5；
�、谪Q向劃分：用算式表示為5＋5＋5＋5＋5；
�、坌毕騽澐郑河盟闶奖硎緸�1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1；
至于前面兩種方法，都可以簡(jiǎn)單地表示為：5×5；重點(diǎn)引導學(xué)生討論第三種劃分方法，觀(guān)察這個(gè)算式，你們發(fā)現了什么？
學(xué)生的發(fā)現如下
算式里最大的數是5；
從1開(kāi)始加到5再加回到1；
這個(gè)算式是兩邊對稱(chēng)的；
這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數是中間那個(gè)數字5乘5的積；
教師引導：照這樣的規律類(lèi)推，第六個(gè)正方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數如何表示？第9個(gè)呢？第n個(gè)呢？
�。ㄔ谶@里把尋找不同劃分方法的任務(wù)交給學(xué)生，既是學(xué)生前面探究過(guò)程思維的延續，又體現了學(xué)生學(xué)習的自主性，還用另一種方式解讀了“練一練”中的第一題。培養了學(xué)生從不同的角度去發(fā)現問(wèn)題，總結概括規律的能力。）
三、延伸應用，形成策略
1、除了我們剛才研究的正方形點(diǎn)陣，請大家猜猜看，還會(huì )有什么形狀的點(diǎn)陣呢？
�。▽W(xué)生列舉了長(cháng)方形點(diǎn)陣、三角形點(diǎn)陣、圓形點(diǎn)陣、橢圓形點(diǎn)陣等等。）
2、請大家嘗試運用前面學(xué)會(huì )的方法探究長(cháng)方形點(diǎn)陣規律。
�。�1）小組合作研究：如何用算式表示每個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣的點(diǎn)子數？
學(xué)生通過(guò)討論很快達成共識
1×2；2×3；3×4；4×5；
�。�2）請你獨立畫(huà)出第五個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣并用算式表示出點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生獨立畫(huà)圖并寫(xiě)出算式，互相交流。）
算式表示為：5×6；
�。�3）思考討論：你們覺(jué)得自己所寫(xiě)的算式中的數字與圖形中的點(diǎn)子之間有什么關(guān)系？
�。▽W(xué)生的發(fā)現為：乘法算式中的第二個(gè)因數總是比第一個(gè)因數多 1，第一個(gè)因數是長(cháng)方形點(diǎn)陣的豎排點(diǎn)數，第二個(gè)因數是長(cháng)方形點(diǎn)陣的橫排點(diǎn)數。并沒(méi)有發(fā)現第一個(gè)因數與點(diǎn)陣序號間的關(guān)系，因此，當要求他們寫(xiě)出18個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數時(shí)，出現了兩種不同的答案：17×18、18×19。在爭論各自的理由時(shí)，學(xué)生的注意力才聯(lián)系到了點(diǎn)陣的序號與算式的關(guān)系，從而確定了正確答案。）
�。�4）照這樣繼續寫(xiě)，你能寫(xiě)出第n個(gè)長(cháng)方形點(diǎn)陣的點(diǎn)數嗎？
學(xué)生可以很順利地寫(xiě)出：n×（n＋1）。
3、看來(lái)對于任何一個(gè)點(diǎn)陣，只要我們認真觀(guān)察研究，總能發(fā)現其獨特的規律。在小組內研究三角形點(diǎn)陣中的規律，要求
�。�1）個(gè)人思考活動(dòng)：觀(guān)察給出的四個(gè)三角形點(diǎn)陣的規律，畫(huà)出第五個(gè)三角形點(diǎn)陣。
�。�2）小組討論：對自己畫(huà)出的第五個(gè)三角形點(diǎn)陣進(jìn)行劃分，你能想到哪些不同的劃分方法？分別用算式表示點(diǎn)數。
�。▽W(xué)生活動(dòng)）
全班交流
劃分一：橫向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
劃分二：豎向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
劃分三：斜向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
劃分四：折線(xiàn)劃分，1＋5＋9＝15；
�。▽τ谇懊娴娜N劃分方法，都在我的預設之內，學(xué)生到此，已經(jīng)很輕松地用語(yǔ)言表述出自己的想法：這樣的三角形點(diǎn)陣的點(diǎn)數是從1開(kāi)始的連續自然數的和。而對于第四種劃分方法，是我沒(méi)有想到的。有一個(gè)孩子卻用非常強烈地要求，表達了自己的這種劃分方法，并且說(shuō)出了這個(gè)算式依次遞加4的規律。）
4、同學(xué)們真了起！真正具有未來(lái)數學(xué)家的風(fēng)范，用自己的聰明才智，發(fā)現并總結了各個(gè)不同的點(diǎn)陣圖中隱藏的規律。那么你覺(jué)得應該從哪些方面來(lái)探究點(diǎn)陣的規律？
學(xué)生交流
仔細觀(guān)察點(diǎn)陣的形狀；
數清每一行的點(diǎn)子數；
看清前后兩個(gè)點(diǎn)陣的變化……
�。ㄔ谶@里不需要學(xué)生說(shuō)出多么專(zhuān)業(yè)的、深奧的數學(xué)原理，只是引導學(xué)生對自己探究性學(xué)習方法的一個(gè)總結，盡管語(yǔ)言可能不夠簡(jiǎn)練，總結不夠到位，只要學(xué)生用自己的語(yǔ)言在表述，就是對學(xué)生思維訓練的一個(gè)提升，一種飛越。）
四、課堂總結
1、點(diǎn)陣的知識在生活中有著(zhù)廣泛的應用，比如北京奧運會(huì )開(kāi)幕式上的“擊缶表演”、“太極表演”等，都是把一個(gè)人看作了一點(diǎn)，來(lái)排列有規律的隊形。你還知道什么地方運用了點(diǎn)陣的相關(guān)知識？
五子棋、閱兵式的方隊、節日的花壇……
2、課后繼續搜集點(diǎn)陣的相關(guān)資料，下節課繼續交流。
�。ㄔ谶@里，把學(xué)生的課堂學(xué)習延伸到生活，鏈接到學(xué)生已有的相關(guān)生活經(jīng)驗，然后讓學(xué)生在生活中繼續尋找哪里用到點(diǎn)陣的知識，體現了數學(xué)與生活的密切聯(lián)系，數學(xué)來(lái)源于生活，又應用于生活。）
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