坐標軸的平移初中數學(xué)教案
一、教材分析
1、坐標變換是化簡(jiǎn)曲線(xiàn)方程，以便于討論曲線(xiàn)的性質(zhì)和畫(huà)出曲線(xiàn)的一種重要方法。這一節教材主要講坐標軸的平移，要求學(xué)生在正確理解新舊坐標之間的關(guān)系的基礎上掌握平移公式;并能利用平移公式對新舊坐標系中點(diǎn)的坐標和曲線(xiàn)的方程進(jìn)行互化。這就是本節課的教學(xué)目的之一。
2、本教材的重點(diǎn)是平移公式的推導及其簡(jiǎn)單應用。為了解決重點(diǎn)，教學(xué)中先以圓(x-3)+(y-2)=5化為x+y=5這個(gè)例子引入來(lái)說(shuō)明，雖然點(diǎn)的位置沒(méi)有改變曲線(xiàn)的位置、形狀和大小沒(méi)有改變，但是由于坐標系的改變，點(diǎn)的坐標和曲線(xiàn)的方程也隨著(zhù)改變，而且適當地變換坐標系，曲線(xiàn)的方程就可以化簡(jiǎn)，以此指明平移坐標軸的意義和作用，并由此引出平移的定義，導出平移公式。在推導平移公式時(shí)，先從特殊到一般，通過(guò)觀(guān)察、歸納、猜想和推導，得出平移公式，還引導學(xué)生運用代數中剛學(xué)過(guò)的復數的幾何意義來(lái)證明，既開(kāi)闊視野，溝通學(xué)科知識，又培養學(xué)生的思維能力，同時(shí)還可通過(guò)一組練習，讓學(xué)生正用、逆用、變用平移公式，達到進(jìn)一步加深理解、熟練掌握公式的目的，進(jìn)而培養學(xué)生的發(fā)現、推理能力和教學(xué)思想方法。
3、本節教材的難點(diǎn)是平移公式兩種形式何時(shí)運用，學(xué)生易產(chǎn)生混淆，教學(xué)中應通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生自己領(lǐng)會(huì )，并及時(shí)加以小結，掌握其規律，加強公式的記憶并培養靈活運用知識的能力。
4、本節寓德于教的要點(diǎn)，主要是通過(guò)事物變化過(guò)程的內在聯(lián)系，認識變與不變的矛盾對立統一規律，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育。
二、教學(xué)過(guò)程
(一)提出問(wèn)題
教師先在黑板上畫(huà)出圖形，讓學(xué)生觀(guān)察、思考并提問(wèn)以下問(wèn)題:
1、如圖，點(diǎn)O和○O關(guān)于坐標系xoy的坐標和方程各是什么?點(diǎn)O和○O關(guān)于坐標系xoy的坐標和方程各是什么?兩個(gè)方程，那一個(gè)較為簡(jiǎn)單?
(學(xué)生回答，教師在黑板上板書(shū):)
直角坐標系 點(diǎn)O的坐標 ○O的方程
<在xoy中 (3，2); (x-3)+(y-2)=5
在xoy中 (0，0) x+y=5
兩個(gè)方程，顯然后一個(gè)方程簡(jiǎn)單。
(二)引入新課
(繼續提問(wèn))
1、從上面的例子可以看出什么?
(答) (1)對于同一點(diǎn)或同一曲線(xiàn)，由于選取的'坐標系不同，點(diǎn)的坐標功曲線(xiàn)的方程也不同。
(2)把一個(gè)坐標系變換為另一個(gè)適當的坐標系，可以使曲線(xiàn)的方程簡(jiǎn)化，便于研究曲線(xiàn)的性質(zhì)。
教師繼續提出新的話(huà)題，即如何把一個(gè)坐標系變換為另一個(gè)適當的坐標系呢?我們再從上面的例子來(lái)觀(guān)察坐標系
xoy與xoy有何異同點(diǎn)呢?(提問(wèn))
(答)(1)坐標軸的方向和長(cháng)度單位都相同——不變
(2)坐標系的原點(diǎn)的位置不同——變
(教師歸納) 這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡(jiǎn)稱(chēng)移軸。
(讓學(xué)生打開(kāi)課本閱讀移軸的定義，教師在黑板上板書(shū))
(板書(shū)) 坐標軸的平移
(三)講授新課
(板書(shū))1、坐標軸平移的定義
2、坐標軸平移公式
思路:(1)以特殊到一般，在已畫(huà)出的圖形上任取四個(gè)點(diǎn)(分別在第一、二、三、四系限或坐標軸上)讓學(xué)生分別寫(xiě)出在新、舊坐標系里的坐標，并觀(guān)察、分析出它們的關(guān)系。
(答) 坐標平面上任意一點(diǎn)在原坐標系中坐標和在新坐標系中的坐檔，歸納出來(lái)有如下關(guān)系:
(板書(shū)) 原系橫坐標x=新系橫坐標 x+3
原系縱坐標y=新系縱坐標y+2
現在把(3，2)推廣到一般(h，k)能否得出 x=x+h
y=y+k
這個(gè)公式呢?(讓學(xué)生自己動(dòng)手證明)
思路(2)第一步用有向線(xiàn)段的數量表示x，y，h，k，x，和y，
第二步據圖進(jìn)行推導
第三步由推出的公式 x=x+h (1)再推出 x=x-h
y=y+k y=y-h
小結:這兩個(gè)公式都叫做平移(移軸)公式。同學(xué)們還可以運用代數中學(xué)過(guò)的向量加、減法則，建立復平面來(lái)證明(留給學(xué)生課后自己作練習)
3、平移公式的應用
(1)利用平移公式求在新坐標內點(diǎn)的新坐標
例與練:①平移坐標軸，把原點(diǎn)平移到O(-4，3)，求A(0，0)， B(4，-5)的新坐標;C(5，-7) ， D(4，-6)的舊坐標。
�、谄揭谱鴺溯S，把原點(diǎn)平移到O( )使A(2，4)的新坐標為(3，2); B(-4，0)的舊坐標為(0，3)
(2)利用平移公式化簡(jiǎn)方程
例與練:(課本例)平移坐軸，把原點(diǎn)移到O(2，-1)，求下列曲線(xiàn)關(guān)于新坐標系的方程，并畫(huà)出新舊坐標軸和曲線(xiàn)。
(x-2)
�、� x=2 ②y=-1 ③ （x+2) /9+(y+1)/4=1
分析:解①②時(shí) 用分別把x=2，y=-1代入公式
(2) 得x=0 y=0(比課本中的解法簡(jiǎn)單)而在解③時(shí)，卻要用公式(1)分別用x=+2，y=y-1代入原方程得出新方程x/9+y/4=1 (引導學(xué)生正確作出圖)
小結: 從例中可以看出，要把方程(x-2)/9+ (y+1)/4
化為簡(jiǎn)單的方程x/9+y/4 =1 ，可把 x-2=x y+1=y，得出應
把坐標原點(diǎn)平移到(2，-1)，由此可推廣，形如(x-h)/a+(y-k)/b的方程如何化簡(jiǎn)。
選擇題1.坐標軸平移后，下列各數值中發(fā)生變化的是( )
(A)某兩點(diǎn)的距離 (B)某線(xiàn)權中點(diǎn)的坐標
(C)某兩條直線(xiàn)的夾角 (D)某三角形的面積
答案選(C) 從此題可看出，坐標軸平移后，與坐標有關(guān)的量發(fā)生變化，但圖形本身的幾何性質(zhì)不變。
選擇題2:曲線(xiàn)x+y+2x-4y+1=0在新坐標系中的方程是x+y=4，則新坐標系原點(diǎn)在舊坐標系中的坐標是( )
(A) (-1，2) (B) (1，-2) (C)2，-1) (D) (-2，1)
分析:把x+y+2x-4y+1=0配方為(x+1)+(y-2)=4
由x+1=x===h=-1 y-2=y===k=2 故應選(A)
(四)教師小結:
今天講的主要內容是坐標軸平移的意義，平移公式及其簡(jiǎn)單應用。移軸的目的在幾何上是使曲線(xiàn)圖形的中心(或頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，使圖形“居中”，而在代數上則是將一般二元二次方程通過(guò)代數變形(變量代換)，消去其中的一次項，從而使方程簡(jiǎn)化，這個(gè)問(wèn)題，下一節課將作更具體深入的研究與探討。
平移公式的兩種形式何時(shí)應用較好方便，一般說(shuō)來(lái)，由點(diǎn)的舊坐標求其新坐標時(shí)用(2)較方便，而由曲線(xiàn)的原方程求其新方程時(shí)用(1)較方便，但這也不是固定不變的，如例2中把方程x=2化為新方程，直接代入(2)，馬上就可求出x=0這個(gè)新方程。
平移坐標軸，可以簡(jiǎn)化曲線(xiàn)的方程，但不含改變曲線(xiàn)原來(lái)的性質(zhì)與不變，可以看出其中的辯證關(guān)系和內在規律。
(五)布置作業(yè)(略)
三、課后附記
1、本節課曾在福州市教育學(xué)院組織的青年教師培訓班的觀(guān)摩課上講授，反映較好，從學(xué)生的作業(yè)反饋及下節課的復習提問(wèn)，利用坐標軸的平移化簡(jiǎn)二元二次方程中，引用平移公式進(jìn)行運算，學(xué)生都能較熟練掌握，在半期考中，關(guān)于平移公式的應用題得分率在90%以上，說(shuō)明本節課的效果較好，但因本教材在整個(gè)圓錐曲線(xiàn)教材內容中占的分量不重，公式較少使用，容易出現反生與遺忘，因此在平時(shí)教學(xué)中可適時(shí)加以引用。
2、本節課的設計遵照“一體三重五環(huán)節”的福八中數學(xué)教學(xué)的特色，重視發(fā)揮學(xué)生的主體與教師的主導作用，重視“過(guò)程”的教學(xué)，盡量做到:提出問(wèn)題，循循誘導;疏通思路，耐心開(kāi)導;解題練習，精心指導;存在不足，熱情輔導;掌握過(guò)程，盡心引導;真正體現重情善導的教風(fēng)與特色。
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