高二《橢圓及其標準方程》教學(xué)設計
高二《橢圓及其標準方程》教學(xué)設計
一、教學(xué)內容解析
1．地位與作用：
本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線(xiàn)與方程》，是高中數學(xué)解析幾何的第二大部分。解析幾何是數學(xué)中一個(gè)重要的分支，它聯(lián)系了數學(xué)中的數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學(xué)生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線(xiàn)和圓的方法，本章教材進(jìn)一步利用三種基本圓錐曲線(xiàn)深化代數與幾何的關(guān)系。本章教材內容的順序是：橢圓→拋物線(xiàn)→雙曲線(xiàn)→曲線(xiàn)與方程。這樣安排的用意是，先學(xué)圓錐曲線(xiàn)，再學(xué)曲線(xiàn)與方程，這樣的順序更有利于學(xué)生的學(xué)習，符合學(xué)生從特殊到一般，具體到抽象的認知規律。在圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習過(guò)程中，不斷的滲透曲線(xiàn)與方程的思想，為學(xué)生理解并掌握“曲線(xiàn)與方程”這一概念奠定了基礎。
本節是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線(xiàn)與方程》第1節的內容，主要學(xué)習橢圓的定義、標準方程及其簡(jiǎn)單的應用，分為兩課時(shí)，本節課是第1課時(shí)，主要學(xué)習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓為基礎和重點(diǎn)說(shuō)明了求方程并利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，然后在認知拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節課起到了承上啟下的作用。
2．教材處理順序
教材在橢圓的定義這個(gè)內容的安排上是：先從直觀(guān)上認識橢圓，再從畫(huà)法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡(jiǎn)單應用。這樣的安排不僅體現出《課程標準》中要求通過(guò)豐富的實(shí)例展開(kāi)教學(xué)的理念，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認知規律，有利于學(xué)生對概念的學(xué)習和理解。教材在本節內容中只研究了中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標準方程，讓學(xué)生自己去歸納焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學(xué)生提供了一次探究和交流的機會(huì )。有利于學(xué)生對拋物線(xiàn)標準方程的理解，有利于學(xué)生思維能力的提高和學(xué)習興趣的培養。
3．數學(xué)思想方法
本節內容蘊含了：數形結合思想、轉化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì )移項再平方去根號的方法。
二、教學(xué)目標和重難點(diǎn)
1．教學(xué)目標
�。�1） 知識與技能目標：①理解橢圓的定義；②掌握的橢圓的標準方程。
�。�2） 過(guò)程與方法目標：①在橢圓定義的獲知和歸納中，進(jìn)一步滲透數形結合的數學(xué)思想方法；②通過(guò)橢圓標準方程的推導過(guò)程，鞏固用坐標化的方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)體會(huì )含有兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)思路。
�。�3） 情感、態(tài)度和價(jià)值觀(guān)：①通過(guò)橢圓定義的歸納，培養學(xué)生發(fā)現規律，認識規律并利用規律解決實(shí)際問(wèn)題的能力；②通過(guò)師生、生生合作學(xué)習，增強學(xué)生團隊協(xié)作能力，增強主動(dòng)與他人合作交流的意識。
2．教學(xué)重點(diǎn)
�。�1） 掌握橢圓的定義與相關(guān)概念；
�。�2） 掌握橢圓的標準方程。
3．教學(xué)難點(diǎn)
橢圓標準方程的推導。
三、學(xué)情分析
1．學(xué)生已有的認知基礎
授課班級學(xué)生為高二年級學(xué)生。
橢圓是圓錐曲線(xiàn)中基礎且重要的一種圖形，在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到。學(xué)生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點(diǎn)坐標及長(cháng)度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學(xué)習習慣和方法。
2．學(xué)生存在的難點(diǎn)
學(xué)生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個(gè)難點(diǎn)。且之前未接觸過(guò)一個(gè)式子中含兩個(gè)根式相加的情況，故化簡(jiǎn)是個(gè)問(wèn)題。
3．突破策略
由教師引領(lǐng)學(xué)生觀(guān)察所繪出的橢圓的特點(diǎn)，定點(diǎn)位置，從而建立合適的直角坐標系。
四、教學(xué)策略分析
1．內容突破策略
本節課新知內容分兩大板塊：一是總結概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內容，主要采取學(xué)生先動(dòng)手畫(huà)橢圓，在實(shí)踐的過(guò)程中發(fā)現一些固定不變的量和量與量之間存在的關(guān)系，從而總結出橢圓的定義，并且深刻領(lǐng)悟定義中所說(shuō)的一些特別要求。針對第二板塊內容，主要是采取教師引導，學(xué)生動(dòng)手，通過(guò)一般的求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學(xué)生的認知規律。
2．啟迪學(xué)生思維策略：
在教學(xué)方法的選擇上，采用教師組織引導，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流的學(xué)習方式，力求體現教師的引導者、合作者的作用，突出學(xué)生的主體地位。
五、教學(xué)過(guò)程
教學(xué)過(guò)程
設計意圖
一、創(chuàng )設情景，導入新課
1．讓學(xué)生觀(guān)察幾張典型圖片和行星在太陽(yáng)系中的運動(dòng)軌跡，由此看出一個(gè)共同的數學(xué)圖形“橢圓”。
2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？
3．用多媒體演示一個(gè)嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。
1．使學(xué)生對橢圓有一個(gè)感性認識，明白生活實(shí)踐中有許多數學(xué)問(wèn)題，數學(xué)于實(shí)踐，同時(shí)培養學(xué)生學(xué)會(huì )用數學(xué)的眼光去觀(guān)察周?chē)挛锏哪芰Α?/p>
2．通過(guò)提問(wèn)激發(fā)學(xué)生課堂上的學(xué)習興趣。
二、橢圓的定義（分四個(gè)環(huán)節）
1．畫(huà)一畫(huà)（畫(huà)橢圓）
�、賹⒁粭l繩子的兩端固定在同一個(gè)定點(diǎn)上，用筆尖勾起繩子的中點(diǎn)使繩子繃緊，圍繞定點(diǎn)旋轉，筆尖形成的軌跡是什么？
�。ㄓ蓪W(xué)生動(dòng)手在黑板上進(jìn)行演示，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，同時(shí)激起學(xué)生學(xué)習本節課的興趣）
�、诙鴮⒗K子的兩端分別固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，筆尖勾直繩子，移動(dòng)筆尖，得到的是軌跡是什么？
�。ń處熖釂�(wèn)，讓學(xué)生動(dòng)手，拿出提前準備好的毛線(xiàn)，兩組同學(xué)上黑板畫(huà)，其他同學(xué)同桌合作在練習本上畫(huà)）
動(dòng)畫(huà)演示作圖過(guò)程
2．認一認（實(shí)驗總結）
提出問(wèn)題：①作圖過(guò)程中，哪些量沒(méi)有變？哪些量變了？
提出問(wèn)題：②為什么要求作圖過(guò)程中筆尖要繃緊？
提出問(wèn)題：③筆尖所對應的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離有什么長(cháng)度之間的關(guān)系？
總結：筆尖對應的動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)的長(cháng)度之和固定不變。
3．說(shuō)一說(shuō)（總結定義）
提出問(wèn)題：根據剛才動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程，能否總結橢圓的定義？（同學(xué)自由發(fā)言，再由學(xué)生進(jìn)一步補充完善）
我們把平面內到兩個(gè)定點(diǎn) ， 的距離之和等于常數（大于 ）的點(diǎn)的集合叫作橢圓。
問(wèn)題1：定義中的常數等于 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？
問(wèn)題2：定義中的常數小于 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？
4．橢圓相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn) ， 叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn) ， 間的距離叫作橢圓的焦距。
1．給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手、動(dòng)腦的學(xué)習機會(huì )；
2．學(xué)生可通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程去體會(huì )“滿(mǎn)足什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀(guān)深刻的認識。
3．通過(guò)三個(gè)問(wèn)題的設置，為學(xué)生從畫(huà)法中發(fā)現拋物線(xiàn)的幾何特征奠定基礎。
4．通過(guò)三個(gè)典型的問(wèn)題，讓學(xué)生更深刻地理解橢圓的定義
5．使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過(guò)程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養成嚴謹的科學(xué)作風(fēng)。
三、橢圓的標準方程
1．求一求（推導橢圓的標準方程）
問(wèn)題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？
�、俳ㄏ担� ②設點(diǎn)：
�、哿惺剑� 得： ④化簡(jiǎn)：
問(wèn)題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？
�。ㄑa充說(shuō)明：橢圓具有一定的對稱(chēng)美，故所求的式子最好簡(jiǎn)潔工整）
動(dòng)手演算：讓學(xué)生動(dòng)手，求推導焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標準方程
�、俳ㄏ担河^(guān)察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔？（利用橢圓的對稱(chēng)性特征）
以直線(xiàn) 為 軸，以線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn)為 軸，建
立平面直角坐標系．
�、谠O點(diǎn)：設焦距為 ，則 ．設 為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn) 與點(diǎn) 的距離之和為 ．
�、哿惺剑簞�(dòng)點(diǎn) 滿(mǎn)足的幾何約束條件:
坐標化為：
�、芑�(jiǎn)：化簡(jiǎn)橢圓方程是本節課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導學(xué)生思考如何去根號
預案一：移項后兩次平方法
兩邊同時(shí)平方、整理得：
將上式兩邊平方、整理得：
分析 的幾何含義，令
得到焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標準方程為
預案二：
用等差數列法：
設
得4cx=4at，即t=
將t= 代入 式得
�、�
將③式兩邊平方得出結論。以下同預案一
預案三：三角換元法：
設
得
即 即
代入 式得
以下同預案一
2．問(wèn)一問(wèn)
問(wèn)題5 ：焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標準方程是什么？
�。ㄓ蓪W(xué)生動(dòng)手列式， ，引導學(xué)生觀(guān)察焦點(diǎn)在 軸上與焦點(diǎn)在 軸上式子的差異，從而用類(lèi)比的方法得到焦點(diǎn)在 軸上橢圓的標準方程）
如果橢圓的焦點(diǎn)在 軸上，其焦點(diǎn)坐標為 ， ，用同樣的方法可以推出它的標準方程
問(wèn)題6：如何用幾何圖形解釋 ？ ， ， 在橢圓中分別表示哪些線(xiàn)段的長(cháng)？
1．讓學(xué)生由圓的標準方程的推導過(guò)程，類(lèi)比的推導橢圓的標準方程。
2．橢圓方程不止一種，建立的坐標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點(diǎn)在坐標軸上的橢圓的標準方程。
3．進(jìn)一步熟悉用坐標法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，掌握化簡(jiǎn)含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神，感受數學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對稱(chēng)美
4．數形結合的思想的靈活應用，進(jìn)一步深化鞏固數學(xué)思想方法
做好準備，以備個(gè)別學(xué)生想到此種方法
四、課堂探究
探究一：判斷分別滿(mǎn)足下列條件的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是否為橢圓
�。�1）到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）
�。�2）到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡； （不是）
�。�3）到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡； （不是）
(4).已知橢圓的標準方程為 ，請填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦點(diǎn)坐標為_(kāi)________________,焦距等于_________.
探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個(gè)軸上，并寫(xiě)出焦點(diǎn)的坐標
�。�1） ；（在 軸上，焦點(diǎn)為 ， ）
�。�2） ；（在 軸上，焦點(diǎn)為 ， ）
�。�3） 。（在 軸上，焦點(diǎn)為 ， ）
1．鞏固橢圓的定義
2．通過(guò)本題的練習，使學(xué)生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關(guān)系的理解，同時(shí)會(huì )求標準方程的基本量，教學(xué)時(shí)應引導學(xué)生逐層深入，養成求橢圓標準方程先看焦點(diǎn)位置的良好習慣。
五、課堂小結
問(wèn)題：這節課你學(xué)到了什么？請談?wù)勀愕氖斋@.
1．知識內容收獲：一個(gè)定義（橢圓的定義）；兩個(gè)方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中 之間的關(guān)系。
2．學(xué)習過(guò)程收獲：①鞏固了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法；②通過(guò)推導橢圓的標準方程的過(guò)程，學(xué)會(huì )了兩個(gè)根式相加的式子的化簡(jiǎn)方法，同時(shí)提高了自己的運算能力。
3．數學(xué)思想和方法：數形結合思想；轉化化歸思想；分類(lèi)討論思想。
目的：培養學(xué)生的概括總結能力
六、課后鞏固練習
1．課后思考：當把橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結出什么樣的規律？
2．書(shū)面作業(yè)：
課本 練習2: 1, 2, 3
是對本節課新知內容及學(xué)習方法的鞏固，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生更有興趣繼續研究橢圓
七、板書(shū)設計
橢圓及其標準方程
一、畫(huà)橢圓
二、定義：
注明：①若 ，則點(diǎn)的軌跡不存在；
�、谌� ，則軌跡為線(xiàn)段
三、橢圓的標準方程
焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，
焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，
八、設計感想
上本節課前本人閱讀了大量圓錐曲線(xiàn)的知識，對各種不同的橢圓定義引題進(jìn)行了分析比較，通過(guò)各位同事耐心的指導和多次的討論，最終采用了以現實(shí)生活中橢圓的應用引入，充分展現了知識的形成過(guò)程，有利于學(xué)生自主探究與創(chuàng )新意識的培養。但在設計過(guò)程仍遇到很多我無(wú)法解決的問(wèn)題，比如如何將圓錐曲線(xiàn)背景知識融入到課堂；如何用幾何畫(huà)板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進(jìn)，這是在后續教學(xué)中需要思考的問(wèn)題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專(zhuān)業(yè)發(fā)展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態(tài)的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿(mǎn)激情的主持人，一名銳意進(jìn)取的先行者這樣一個(gè)角色的轉換；認識到新課改的成功要從我做起，從現在做起！
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