排列組合數學(xué)教案設計
排列組合數學(xué)教案設計
教學(xué)目標
(1)正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列;
(2)了解排列和排列數的意義,能根據具體的問(wèn)題,寫(xiě)出符合要求的排列;
(3)掌握排列數公式,并能根據具體的問(wèn)題,寫(xiě)出符合要求的排列數;
(4)會(huì )分析與數字有關(guān)的排列問(wèn)題,培養學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
(5)通過(guò)對排列應用問(wèn)題的學(xué)習,讓學(xué)生通過(guò)對具體事例的觀(guān)察、歸納中找出規律,得出結論,以培養學(xué)生嚴謹的學(xué)習態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識結構
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節的重點(diǎn)是排列的定義、排列數及排列數的公式,并運用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數的應用問(wèn)題.難點(diǎn)是導出排列數的公式和解有關(guān)排列的應用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用,并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問(wèn)題當中.
從n個(gè)不同元素中任取(≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的一個(gè)排列.因此,兩個(gè)相同排列,當且僅當他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同.排列數是指從n個(gè)不同元素中任取(≤n)個(gè)元素的所有不同排列的種數,只要弄清相同排列、不同排列,才有可能計算相應的排列數.排列與排列數是兩個(gè)概念,前者是具有個(gè)元素的排列,后者是這種排列的不同種數.從集合的角度看,從n個(gè)元素的有限集中取出個(gè)組成的有序集,相當于一個(gè)排列,而這種有序集的個(gè)數,就是相應的排列數.
公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來(lái)講解.要重點(diǎn)分析好 的推導.
排列的應用題是本節教材的難點(diǎn),通過(guò)本節例題的分析,應注意培養學(xué)生解決應用問(wèn)題的能力.
在分析應用題的解法時(shí),教材上先畫(huà)出框圖,然后分析逐次填入時(shí)的種數,這樣解釋比較直觀(guān),教學(xué)上要充分利用,要求學(xué)生作題時(shí)也應盡量采用.
在教學(xué)排列應用題時(shí),開(kāi)始應要求學(xué)生寫(xiě)解法要有簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明,防止單純的只寫(xiě)一個(gè)排列數,這樣可以培養學(xué)生的分析問(wèn)題的能力,在基本掌握之后,可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
�、僭谥v解排列數的概念時(shí),要注意區分“排列數”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念.一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中,任取出個(gè)元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個(gè)數,而是具體的一件事;排列數是指“從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數”,它是一個(gè)數.例如,從3個(gè)元素a,b,c中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
其中每一種都叫一個(gè)排列,共有6種,而數字6就是排列數,符號 表示排列數.
�、谂帕械亩x中包含兩個(gè)基本內容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.
從定義知,只有當元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時(shí),才是同一個(gè)排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列.
在定義中“一定順序”就是說(shuō)與位置有關(guān),在實(shí)際問(wèn)題中,要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件來(lái)決定,這一點(diǎn)要特別注意,這也是與后面學(xué)習的組合的根本區別.
在排列的定義中 ,如果 有的書(shū)上叫選排列,如果 ,此時(shí)叫全排列.
要特別注意,不加特殊說(shuō)明,本章不研究重復排列問(wèn)題.
�、坳P(guān)于排列數公式的推導的教學(xué).公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來(lái)講解.課本上用的是不完全歸納法,先推導 ,…,再推廣到 ,這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學(xué)生是不難理解的.
導出公式 后要分析這個(gè)公式的構成特點(diǎn),以便幫助學(xué)生正確地記憶公式,防止學(xué)生在“n”、“”比較復雜的時(shí)候把公式寫(xiě)錯.這個(gè)公式的特點(diǎn)可見(jiàn)課本第229頁(yè)的一段話(huà):“其中,公式右邊第一個(gè)因數是n,后面每個(gè)因數都比它前面一個(gè)因數少1,最后一個(gè)因數是 ,共個(gè)因數相乘.”這實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn):第一個(gè)因數是什么?最后一個(gè)因數是什么?一共有多少個(gè)連續的自然數相乘.
公式 是在引出全排列數公式 后,將排列數公式變形后得到的公式.對這個(gè)公式指出兩點(diǎn):(1)在一般情況下,要計算具體的排列數的值,常用前一個(gè)公式,而要對含有字母的排列數的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證,要用到這個(gè)公式,教材中第230頁(yè)例2就是用這個(gè)公式證明的問(wèn)題;(2)為使這個(gè)公式在 時(shí)也能成立,規定 ,如同 時(shí) 一樣,是一種規定,因此,不能按階乘數的原意作解釋.
�、芙ㄗh應充分利用樹(shù)形圖對問(wèn)題進(jìn)行分析,這樣比較直觀(guān),便于理解.
�、輰W(xué)生在開(kāi)始做排列應用題的作業(yè)時(shí),應要求他們寫(xiě)出解法的簡(jiǎn)要說(shuō)明,而不能只列出算式、得出答數,這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí).隨著(zhù)學(xué)生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求.
教學(xué)設計示例
排列
教學(xué)目標
(1)正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列;
(2)了解排列和排列數的意義,能根據具體的問(wèn)題,寫(xiě)出符合要求的排列;
(3)會(huì )分析與數字有關(guān)的排列問(wèn)題,培養學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是排列的定義、排列數并運用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數的應用問(wèn)題。
難點(diǎn)是解有關(guān)排列的應用題。
教學(xué)過(guò)程設計
一、 復習引入
上節課我們學(xué)習了兩個(gè)基本原理,請大家完成以下兩題的練習(用投影儀出示):
1.書(shū)架上層放著(zhù)50本不同的社會(huì )科學(xué)書(shū),下層放著(zhù)40本不同的自然科學(xué)的書(shū).
(1)從中任取1本,有多少種取法?
(2)從中任取社會(huì )科學(xué)書(shū)與自然科學(xué)書(shū)各1本,有多少種不同的取法?
2.某農場(chǎng)為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A,B,C,計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類(lèi)型的土地上分別進(jìn)行引種試驗,問(wèn)共需安排多少個(gè)試驗小區?
找一同學(xué)談解答并說(shuō)明怎樣思考的的過(guò)程
第1(1)小題從書(shū)架上任取1本書(shū),有兩類(lèi)辦法,第一類(lèi)辦法是從上層取社會(huì )科學(xué)書(shū),可以從50本中任取1本,有50種方法;第二類(lèi)辦法是從下層取自然科學(xué)書(shū),可以從40本中任取1本,有40種方法.根據加法原理,得到不同的取法種數是50+40=90.第(2)小題從書(shū)架上取社會(huì )科學(xué)、自然科學(xué)書(shū)各1本(共取出2本),可以分兩個(gè)步驟完成:第一步取一本社會(huì )科學(xué)書(shū),第二步取一本自然科學(xué)書(shū),根據乘法原理,得到不同的取法種數是: 50×40=2000.
第2題說(shuō),共有A,B,C三個(gè)優(yōu)良品種,而每個(gè)品種在甲類(lèi)型土地上實(shí)驗有三個(gè)小區,在乙類(lèi)型的土地上有三個(gè)小區……所以共需3×5=15個(gè)實(shí)驗小區.
二、 講授新課
學(xué)習了兩個(gè)基本原理之后,現在我們繼續學(xué)習排列問(wèn)題,這是我們本節討論的重點(diǎn).先從實(shí)例入手:
1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達航線(xiàn),需要準備多少種不同飛機票?
由學(xué)生設計好方案并回答.
(1)用加法原理設計方案.
首先確定起點(diǎn)站,如果北京是起點(diǎn)站,終點(diǎn)站是上�；驈V州,需要制2種飛機票,若起點(diǎn)站是上海,終點(diǎn)站是北京或廣州,又需制2種飛機票;若起點(diǎn)站是廣州,終點(diǎn)站是北京或上海,又需要2種飛機票,共需要2+2+2=6種飛機票.
(2)用乘法原理設計方案.
首先確定起點(diǎn)站,在三個(gè)站中,任選一個(gè)站為起點(diǎn)站,有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一個(gè)城市為起點(diǎn)站,當選定起點(diǎn)站后,再確定終點(diǎn)站,由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站,終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選.那么,根據乘法原理,在三個(gè)民航站中,每次取兩個(gè),按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種.
根據以上分析由學(xué)生(板演)寫(xiě)出所有種飛機票
再看一個(gè)實(shí)例.
在航海中,船艦常以“旗語(yǔ)”相互聯(lián)系,即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號.如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子,按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號,問(wèn)這樣總共可以表示出多少種不同的信號?
找學(xué)生談自己對這個(gè)問(wèn)題的想法.
事實(shí)上,紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號,所以不同顏色的同時(shí)升起可以表示出來(lái)的信號種數,也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數.
首先,先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè),有3種方法;
其次,確定中間位置的旗子,當最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取,有2種方法.剩下那面旗子,放在最低位置.
根據乘法原理,用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號種數是:3×2×1=6(種).
根據學(xué)生的分析,由另外的同學(xué)(板演)寫(xiě)出三面旗子同時(shí)升起表示信號的所有情況.(包括每個(gè)位置情況)
第三個(gè)實(shí)例,讓全體學(xué)生都參加設計,把所有情況(包括每個(gè)位置情況)寫(xiě)出來(lái).
由數字1,2,3,4可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復數字的三位數?寫(xiě)出這些所有的三位數.
根據乘法原理,從四個(gè)不同的數字中,每次取出三個(gè)排成三位數的方法共有4×3×2=24(個(gè)).
請板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲?
第一步,先確定百位上的數字.在1,2,3,4這四個(gè)數字中任取一個(gè),有4種取法.
第二步,確定十位上的數字.當百位上的數字確定以后,十位上的數字只能從余下的三個(gè)數字去取,有3種方法.
第三步,確定個(gè)位上的數字.當百位、十位上的數字都確定以后,個(gè)位上的數字只能從余下的兩個(gè)數字中去取,有2種方法.
根據乘法原理,所以共有4×3×2=24種.
下面由教師提問(wèn),學(xué)生回答下列問(wèn)題
(1)以上我們討論了三個(gè)實(shí)例,這三個(gè)問(wèn)題有什么共同的地方?
都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象.
(2)取出的這些研究對象又做些什么?
實(shí)質(zhì)上按著(zhù)順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況.
(3)請大家看書(shū),第×頁(yè)、第×行. 我們把被取的對象叫做雙元素,如上面問(wèn)題中的民航站、旗子、數字都是元素.
上面第一個(gè)問(wèn)題就是從3個(gè)不同的元素中,任取2個(gè),然后按一定順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,后來(lái)又寫(xiě)出所有排法.
第二個(gè)問(wèn)題,就是從3個(gè)不同元素中,取出3個(gè),然后按一定順序排成一列,求一共有多少排法和寫(xiě)出所有排法.
第三個(gè)問(wèn)題呢?
從4個(gè)不同的元素中,任取3個(gè),然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,并寫(xiě)出所有的排法.
給出排列定義
請看課本,第×頁(yè),第×行.一般地說(shuō),從n個(gè)不同的元素中,任取(≤n)個(gè)元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況),按著(zhù)一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.
下面由教師提問(wèn),學(xué)生回答下列問(wèn)題
(1)按著(zhù)這個(gè)定義,結合上面的問(wèn)題,請同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?什么是不同的排列?
從排列的定義知道,如果兩個(gè)排列相同,不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同,而且排列的順序(即元素所在的位置)也必須相同.兩個(gè)條件中,只要有一個(gè)條件不符合,就是不同的排列.
如第一個(gè)問(wèn)題中,北京—廣州,上�！獜V州是兩個(gè)排列,第三個(gè)問(wèn)題中,213與423也是兩個(gè)排列.
再如第一個(gè)問(wèn)題中,北京—廣州,廣州—北京;第二個(gè)問(wèn)題中,紅黃綠與紅綠黃;第三個(gè)問(wèn)題中231和213雖然元素完全相同,但排列順序不同,也是兩個(gè)排列.
(2)還需要搞清楚一個(gè)問(wèn)題,“一個(gè)排列”是不是一個(gè)數?
生:“一個(gè)排列”不應當是一個(gè)數,而應當指一件具體的事.如飛機票“北京—廣州”是一個(gè)排列,“紅黃綠”是一種信號,也是一個(gè)排列.如果問(wèn)飛機票有多少種?能表示出多少種信號.只問(wèn)種數,不用把所有情況羅列出來(lái),才是一個(gè)數.前面提到的第三個(gè)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上也是這樣的.
三、 課堂練習
大家思考,下面的排列問(wèn)題怎樣解?
有四張卡片,每張分別寫(xiě)著(zhù)數碼1,2,3,4.有四個(gè)空箱,分別寫(xiě)著(zhù)號碼1,2,3,4.把卡片放到空箱內,每箱必須并且只能放一張,而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致,問(wèn)有多少種放法?(用投影儀示出)
分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個(gè)位置上,只要交換卡片位置,就是不同的放法,是個(gè)附有條件的排列問(wèn)題.
解法是:第一步把數碼卡片四張中2,3,4三張任選一個(gè)放在第1空箱.
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法,用下面圖表表示:
所以,共有9種放法.
四、作業(yè)
課本:P232練習1,2,3,4,5,6,7.
數學(xué)教案-排列教學(xué)目標
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