完全平方公式優(yōu)秀教案
完全平方公式優(yōu)秀教案
一、教材分析：
�。ㄒ唬┙滩牡牡匚慌c作用
本節內容主要研究的是完全平方公式的推導和公式在整式乘法中的應用。它是在學(xué)生學(xué)習了代數式的概念、整式的加減法、冪的運算和整式的乘法后進(jìn)行學(xué)習的，其地位和作用主要體現在以下幾方面：
�。�1）整式是初中代數研究范圍內的一塊重要內容，整式的運算又是整式中一大主干，乘法公式則是在學(xué)習了單項式乘法、多項式乘法之后來(lái)進(jìn)行學(xué)習的；一方面是對多項式乘法中出現的較為特殊的算式的一種歸納、總結；另一方面，乘法公式的推導是初中代數中運用推理方法進(jìn)行代數式恒等變形的開(kāi)端，通過(guò)乘法公式的學(xué)習對簡(jiǎn)化某些整式的運算、培養學(xué)生的求簡(jiǎn)意識有較大好處。
�。�2）乘法公式是后續學(xué)習的必備基礎，不僅對學(xué)生提高運算速度、準確率有較大作用，更是以后學(xué)習因式分解、分式運算的重要基礎，同時(shí)也具有培養學(xué)生逐漸養成嚴密的邏輯推理能力的功能。
�。�3）公式的發(fā)現與驗證給學(xué)生體驗規律發(fā)現的基本方法和基本過(guò)程提供了很好模式。
�。ǘ┙虒W(xué)目標的確定
在素質(zhì)背景下的數學(xué)教學(xué)應以學(xué)生的發(fā)展為本，學(xué)生的能力培養為重，尤其是創(chuàng )新、創(chuàng )造能力，以及培養學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)等。根據以上指導思想，同時(shí)參照義務(wù)教育階段《數學(xué)課程標準》的要求，確定本節課的教學(xué)目標如下：
1、知識目標：
理解公式的推導過(guò)程，了解公式的幾何背景，會(huì )應用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計算。
2、能力目標：
滲透建模、化歸、換元、數形結合等思想方法，培養學(xué)生的發(fā)現能力、求簡(jiǎn)意識、應用意識、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng )新能力。
3、情感目標：
培養學(xué)生敢于挑戰，勇于探索的精神和善于觀(guān)察，大膽創(chuàng )新的思維品質(zhì)。
�。ㄈ┙虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
完全平方公式和平方差公式一樣是主要的乘法公式，其本質(zhì)是多項式乘法，是學(xué)生今后用于計算的一種重要依據，因此，本節教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)如下：
本節的重點(diǎn)是體會(huì )公式的發(fā)現和推導過(guò)程，理解公式的本質(zhì)，并會(huì )運用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計算。
本節的難點(diǎn)是從廣泛意義上理解公式中的字母含義，判明要計算的代數式是哪兩數的和（差）的平方。
二、教學(xué)方法與手段
�。ㄒ唬┙虒W(xué)方法：
針對初一學(xué)生的形象思維大于抽象思維，注意力不能持久等年齡特點(diǎn)，及本節課實(shí)際，采用自主探索，啟發(fā)引導，合作交流展開(kāi)教學(xué)，引導學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀(guān)察、猜測、驗證和交流。同時(shí)考慮到學(xué)生的認知方式、思維水平和學(xué)習能力的差異進(jìn)行分層次教學(xué)，讓不同層次的學(xué)生都能主動(dòng)參與并都能得到充分的發(fā)展。邊啟發(fā)，邊探索邊歸納，突出以學(xué)生為主體的探索性學(xué)習活動(dòng)和因材施教原則，教師努力為學(xué)生的探索性學(xué)習創(chuàng )造知識環(huán)境和氛圍，遵循知識產(chǎn)生過(guò)程，從特殊→一般→特殊，將所學(xué)的知識用于實(shí)踐中。
采用小組討論，大組競賽等多種形式激發(fā)學(xué)習興趣。
�。ǘ┙虒W(xué)手段：
利用投影儀輔助教學(xué)，突破教學(xué)難點(diǎn)，公式的推導變成生動(dòng)、形象、直觀(guān)，提高教學(xué)效率。
�。ㄈ⿲W(xué)法指導：
在學(xué)法上，教師應引導學(xué)生積極思維，鼓勵學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習，讓每個(gè)學(xué)生都動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦，自己歸納出運算法則，培養學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性和積極性。
三、教材處理
根據本節內容特點(diǎn)，本著(zhù)循序漸進(jìn)的原則，我將以“邊長(cháng)為(a+b)的正方形面積是多少？”這個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入新課，關(guān)于兩數和的平方公式通過(guò)實(shí)例、推導、驗證幾個(gè)步驟完成。關(guān)于兩數差的平方公式，我將為學(xué)生提供三種不同的思路，由學(xué)生自己選擇學(xué)習、理解，然后再歸納的方法進(jìn)行，再通過(guò)分層次練習，加以鞏固。
四、教學(xué)程序
教 學(xué) 過(guò) 程
設計意圖
一、創(chuàng )設情境，引出課題
如圖，有一個(gè)邊長(cháng)為a米的正方形廣場(chǎng)，則這個(gè)廣場(chǎng)的面積是多少？
a
若在這個(gè)廣場(chǎng)的相鄰兩邊鋪一條寬為10米的道路，則面積是多少？
a 10
引導學(xué)生利用圖形分割求面積。
另一方面：正方形
10 10a 102 面積為(a+10)2, 所以：
(a+10)2=a2+20a+102
a a2 10a
a 10
b ab b2 把10替換為b,
(a+b)2=a2+2ab+b2
a a2 ab 提出課題
a b
通過(guò)較為簡(jiǎn)單的幾何圖形面積計算和較熟悉的整式乖法計算。引入本節學(xué)習內容(a+b)·(a+b)
�。ǜ鶕跻粚W(xué)生年齡特點(diǎn)，采用圖形變化來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣）
問(wèn)題是知識、能力的生長(cháng)點(diǎn)，通過(guò)富有實(shí)際意義的問(wèn)題能激活學(xué)生原有認知，促使學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探索和思考。
對公式(a+b)2=a2+2ab+b2的形式進(jìn)行初步認識，接觸
二、交流對話(huà)，探求新知
1、推導兩數和的完全平方公式
計算(a+b)2
解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
2、理解公式特征
�、偎闶剑簝蓴岛偷钠椒�
�、诜e：兩個(gè)數的平方和加上這兩個(gè)數積的2倍
3、語(yǔ)言敘述
(a+b)2=a2+2ab+b2用語(yǔ)言如何敘述
4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教學(xué)
�、倮枚囗検匠朔� (a-b)2=(a-b)(a-b)
�、诶脫Q元思想 (a-b)2=[a+(-b)]2
�、劾脠D形
b
a
(a-b) b
a
5、學(xué)生總結、歸納：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
這兩個(gè)公式叫做完全平方公式，兩數和（或差）的平方，等于這兩數的平方和，加上（或減去）這兩數積的2倍。
6、公式中的字母含義的理解。（學(xué)生回答）
(x+2y)2是哪兩個(gè)數的和的平方？
(x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2
(2x-5y)2是哪兩個(gè)數的差的平方？
(2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2
變式 (2x-5y)2可以看成是哪兩個(gè)數的和的平方？
利用多項式乘法推導公式，使學(xué)生了解公式的來(lái)源以及理解乘法公式的本質(zhì)。
組織學(xué)生小組討論，使學(xué)生明確公式特征，加深對公式表象的理解。
由學(xué)生對公式
(a+b)2=a2+2ab+b2進(jìn)行口頭語(yǔ)言敘述。
(1)說(shuō)明：教師提供三種模式，由學(xué)生選擇一種去解決。培養學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性，開(kāi)闊學(xué)生的思路。(2)同時(shí)對滲透數形結合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節的難點(diǎn)的第一個(gè)層次；(3)體會(huì )辯證統一的唯物主義觀(guān)點(diǎn)；(4)正確引導學(xué)生學(xué)習時(shí)知識的正遷移。
使學(xué)生學(xué)會(huì )對公式的正確表述，有利于學(xué)生正確用于計算之中，此時(shí)也可以讓學(xué)生對兩個(gè)公式特點(diǎn)進(jìn)行討論歸納，適當總結一定的口訣：“頭平方，尾平方，兩倍的乘積中間放�！�
加深學(xué)生對公式中的字母含義的理解，明確字母意義的廣泛性
三、整理新知形成結構
1、完全平方公式并分析公式左右的特征。
2、換元的基本想法
四、應用新知，體驗成功
1、例1教學(xué)：用完全平方公式計算
(1)(a+3)2 (2)(y-)2 (3)(-2x+t)2 (4)(-3x-4y)2
學(xué)生直接運用公式計算，教師板演，講評時(shí)邊口述理由,針對第(4)題(-3x-4y)2可以看成是-3x與4y差的平方，也可以看成-3x與-4y和的平方
提出以下問(wèn)題：
�。�1）可否看成兩數和的平方，運用兩數和的平方公式來(lái)計算？
�。�2）可否看成兩數差的平方，運用兩數差的平方公式來(lái)計算？
�。�3）能不能進(jìn)行符號轉化？如(-3x-4y)2=(3x+4y)2
2、公式鞏固
�。�1）同桌同學(xué)互相編一道用完全平方公式計算題目，然后解答。
�。�2）下列各式的計算，錯在哪里？應怎樣改正？
�、�(a+b)2=a2+b2 ②(a-b)2=a2-b2
�、�(a-2b)2=a2+2ab+2b2
3、練習：運用完全平方公式計算：(學(xué)生板演)
�、�(a+5)2 ②(3+x)2 ③(y-2)2 ④(7-y)2
�、�(2x+3y)2⑥(-2x-3y)2 ⑦(3- )2 ⑧(- - )2
4、例2，運用完全平方公式計算：(1)1012 (2)982
5、練習：運用完全平方公式計算
(1)912 (2)7982 (3)(10 )2
6、討論：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何計算
五、公式拓展，鼓勵探究
1、a2+b2=(a+b)2-______ a2+b2+ _______=(a+b)2
a2+b2+ ________ =(a-b)2
2、(a+b)2-(a-b)2=______ 3、(a+b+c)2=________
4、提出思考題：(a+b)3=? (a+b)4=?
5、已知 求 的值。
6、已知： ，求 ， 的值。
6. 已知 ，求x和y的值。
(1)遵循及時(shí)鞏固原則。(2)針對初一學(xué)生注意力不能持久的特點(diǎn)。(3)形成知識網(wǎng)絡(luò )，有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習公式的運用
(1)直接運用公式進(jìn)行計算。(2)進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握換元法。(3)進(jìn)行符號轉化的變換，加深學(xué)生對公式理解的深度，也為進(jìn)一步學(xué)習其它知識打好基礎。
對這幾個(gè)式子的辨析目的在于防止學(xué)生對以前學(xué)過(guò)的如(ab)2=a2b2的公式的負遷移作用
講練結合
(1)合作學(xué)習，四人小組討論（教師逐步引導到運用完全平方公式計算）學(xué)生講自己解題的想法和步驟，培養語(yǔ)言表達能力。(2)體會(huì )公式實(shí)際運用作用，增加學(xué)習興趣
進(jìn)一步辨析完全平方公式與平方差公式的區別
公式變形利于各種計算
提出一個(gè)問(wèn)題，引導學(xué)生用學(xué)習研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展變形問(wèn)題。如：三項式的平方，兩項式的立方、四次方等，培養學(xué)生的嚴謹的治學(xué)態(tài)度和鉆研精神。
六、小結提高，知識升華
1、兩個(gè)公式 (a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
2、兩種推導方法：多項式乘法導出；圖形面積導出
3、換元法與轉化
七、作業(yè)布置，分層落實(shí)
1、閱讀教材 6.17內容
2、見(jiàn)省編作業(yè)本 6.17
3、對(a+b)2,(a+b)3 ……的展開(kāi)式從項數、系數方面進(jìn)行研究
由學(xué)生自己小結本節所學(xué)知識、方法等。教師根據學(xué)生回答情況作出補充。
(1)作業(yè)1主要以培養學(xué)習良好的學(xué)習習慣為目的。(2)結合學(xué)生實(shí)際情況，貫徹面向全體學(xué)生，因材施教原則。作業(yè)2要求全體學(xué)都能完成。作業(yè)3為選做題，部分學(xué)有余力的學(xué)生可選做。在減輕學(xué)生的課業(yè)負擔同時(shí)，注重人本思想，以學(xué)生的能力發(fā)展為重。 也能滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的不同要求。
附：板書(shū)設計與時(shí)間大致安排
屏 幕
課題
公式……例題
學(xué)生板演
本課時(shí)的時(shí)間大致安排：
引入課題3分鐘左右，探求新知15分鐘左右，整理新知2分鐘左右，應用新知15分鐘左右，公式拓展5分鐘左右，小結作業(yè)布置約5分鐘。
設 計 說(shuō) 明
本節課的教學(xué)設計注重體現以教師為主導、學(xué)生為主體，以發(fā)展學(xué)生為本的思想。遵循初一學(xué)生的心理特點(diǎn)（形象思維大于抽象思維）和認知規律（從特殊到一般）。結合學(xué)生實(shí)際學(xué)習情況（已較熟練掌握多項式乘法，并且本節之前也已經(jīng)學(xué)習了平方差公式）進(jìn)行本課設計的。下面就設計作幾點(diǎn)簡(jiǎn)單說(shuō)明：
1、完全平方公式的本質(zhì)是多項式乘法，它的推導方法與平方差公式推導方法是一樣的，根據乘方的意義與多項式乘法法則，就可以推導出完全平方公式。因此在兩數和的平方公式推導中，采取先由學(xué)生自己計算(a+b)2，然后教師點(diǎn)題的方式，再加上引課時(shí)已經(jīng)由幾何圖形面積的計算得出的結論(a+b)2=a2+2ab+b2，學(xué)生是容易接受的。在兩數差的平方公式推導中，更進(jìn)一步，由學(xué)生自主選擇一種模式解決、驗證，增加了數學(xué)課堂的開(kāi)放性。
2、充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習、探究的能力。從引入時(shí)圖形變換的教師啟發(fā)引導，到公式驗證、推導時(shí)的學(xué)生自主探索，再到學(xué)生與學(xué)生之間的合作交流學(xué)習，都突出了學(xué)生是探索性學(xué)習活動(dòng)的主體。在公式拓展中還提出了思考題(a+b)3=？(a+b)4=？……(a+b+c)2=？培養學(xué)生嚴謹的治學(xué)態(tài)度和鉆研探索的精神。同時(shí)讓學(xué)生明確本節課不僅要學(xué)會(huì )完全平方公式，更加要學(xué)會(huì )完全平方公式的推導方法，即授學(xué)生以漁，讓學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習。
3、在練習設計與作業(yè)布置中都體現了分層次教學(xué)的要求，讓不同層次的學(xué)生都能主動(dòng)的參與并都能得到充分的發(fā)展。同時(shí)也遵循了面向全體與因材施教相結合的教學(xué)原則。
4、充分挖掘本課時(shí)教材中的隱含的各種數學(xué)思想，在教學(xué)中滲透如建模思想、數形結合思想、換元思想、化歸思想，注重培養學(xué)生的發(fā)現問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、求簡(jiǎn)意識、應用意識、創(chuàng )新能力等各方面能力。
5、公式(a-b)2=a2-2ab+b2可以作為(a+b)2=a2+2ab+b2的一個(gè)應用，這樣兩個(gè)公式便統一為一個(gè)公式，這樣做有助于學(xué)生的記憶和理解，但作為應用，實(shí)踐表明還是把它們分開(kāi)來(lái)用的好。因此，教學(xué)中在公式(a-b)2=a2-2ab+b2的推導過(guò)程就有意識的安排與(a+b)2=a2-2ab+b2統一，但又它與(a+b)2=a2+2ab+b2同等的對待。最后在小結時(shí)，對于兩者的聯(lián)系再加以說(shuō)明，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì )到數學(xué)中的辯證統一思想。
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