執教：張惠（北京市海淀區育英學(xué)校小學(xué)部）
【教學(xué)內容】新世紀小學(xué)數學(xué)五年級下冊第82頁(yè)綜合“包裝的學(xué)問(wèn)”
【教材分析】
本課教學(xué)內容是在學(xué)生掌握了長(cháng)方體特征及表面積計算等相關(guān)知識的基礎上，進(jìn)一步探究幾個(gè)相同長(cháng)方體組合成新長(cháng)方體的多種方案以及使其表面積最小的最優(yōu)策略。教材把《數學(xué)與購物》這一系列數學(xué)實(shí)踐活動(dòng)安排在第六單元后，主要意圖是通過(guò)這樣一系列與生活緊密聯(lián)系的實(shí)踐活動(dòng)，培養學(xué)生綜合應用所學(xué)的知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在這系列實(shí)踐活動(dòng)中，教材安排了三個(gè)內容，主要涉及數與代數、空間與圖形兩部分知識，在解決生活實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，分別培養了學(xué)生的估算意識、計算中的最優(yōu)策略以及組合立體圖形的表面積最優(yōu)策略。本課教學(xué)內容是這一系列實(shí)踐活動(dòng)中的最后一個(gè)內容。
包裝問(wèn)題在日常生活中經(jīng)常遇到，教材創(chuàng )設“包裝”的情景，使學(xué)生綜合應用表面積等知識來(lái)討論如何節約包裝紙的問(wèn)題，它不僅培養學(xué)生的節約意識，更體現了數學(xué)的優(yōu)化思想。同時(shí)有助于培養學(xué)生空間感，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，感受數學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系。
【學(xué)生分析】
1．學(xué)生已有的知識基礎
在本課學(xué)習之前，學(xué)生已熟練掌握了長(cháng)方體、正方體的特征，能準確、迅速的計算出單一物體的棱長(cháng)、表面積、體積，能把幾個(gè)相同的正方體組合成新的正方體。初步接觸了由兩個(gè)相同的正方體拼成一個(gè)長(cháng)方體后表面積發(fā)生的變化。
針對學(xué)生已有知識的掌握情況，我們進(jìn)行了前測，前測內容及情況如下：
參加前測的人數：83人
前測題目 正確率
1.一個(gè)長(cháng)6厘米、寬4厘米、高10厘米的長(cháng)方體牛奶盒。它最大那個(gè)面的面積是( )平方厘米，最小的那個(gè)面的面積是( )平方厘米。 92%
2、把兩個(gè)棱長(cháng)都是5厘米的正方體拼成一個(gè)長(cháng)方體，這個(gè)長(cháng)方體的表面積比原來(lái)減少了( )平方厘米。 93%
3、有一個(gè)長(cháng)方體，它的長(cháng)是10厘米、寬5厘米、高15厘米。這個(gè)長(cháng)方體底面的面積是( )平方厘米，前面的面積是( )平方厘米，右側面的面積是( )。 95%
4、一個(gè)棱長(cháng)是4厘米的正方體木塊，把它切成兩個(gè)完全一樣的長(cháng)方體，求每個(gè)長(cháng)方體的表面積。 48%
分析以上前測情況，我們看到學(xué)生已熟練掌握長(cháng)方體各個(gè)面的面積計算，對于由兩個(gè)相同的正方體拼成長(cháng)方體，其表面積發(fā)生的變化掌握較好。但是，對于組合立體圖形的逆向思維，特別是由文字呈現時(shí)，有近一半的學(xué)生接受有困難，這提示我們：①在幫助學(xué)生建立空間觀(guān)念時(shí)，要借助實(shí)物操作。②在操作的過(guò)程中調動(dòng)學(xué)生的多種感官，理解由幾個(gè)相同長(cháng)方體組合成新的長(cháng)方體后發(fā)生的一系列變化。
2．學(xué)生已有的生活經(jīng)驗
我校位于北京市海淀區城南，有近九成的學(xué)生是家中的獨生子女，家庭經(jīng)濟情況較好，所有的學(xué)生都得到過(guò)生日禮物，也曾經(jīng)為同伴或家人準備過(guò)禮物，接觸過(guò)禮品的包裝，知道包裝紙的大小不僅與價(jià)格有關(guān)，也能清楚地意識到用包裝紙包裝起來(lái)的部分就是物體的表面積。
3．學(xué)生學(xué)習本課內容可能遇到的困難及學(xué)習方式的研究
學(xué)生在探究由4個(gè)至多個(gè)相同的長(cháng)方體組合成新的長(cháng)方體時(shí)，對于方法的多樣化與策略的最優(yōu)化可能存在問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手操作大多數學(xué)生可以得到由4個(gè)相同長(cháng)方體組合成新的長(cháng)方體時(shí)的六種拼擺方法，但思維無(wú)序，對于方法的歸納和總結存在困難，因此以小組合作的活動(dòng)方式進(jìn)行研究，同伴之間相互補充，共同歸納總結，有助于培養學(xué)生的思維的有序性。
小組合作的學(xué)習方式應當是本課內容的最佳路徑，學(xué)生可以在小組學(xué)習中充分體現解決拼擺方法的多樣化，對于策略的最優(yōu)化，存在更大的困難，這時(shí)需要教師發(fā)揮引導作用，帶領(lǐng)全班學(xué)生通過(guò)比較六種拼擺、疊放方法，得到最相近的兩種方法（即六個(gè)大面重疊或四個(gè)大面四個(gè)中面重疊），引發(fā)爭論，再讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察實(shí)物、計算、說(shuō)理推導、比較數值等多種方法結合具體事物，得到最優(yōu)策略。
【學(xué)習目標】
利用表面積等有關(guān)知識，探索多個(gè)相同的長(cháng)方體疊放的方法以及使其表面積最小的最優(yōu)策略，體驗策略的多樣化，發(fā)展優(yōu)化思想。
通過(guò)解決包裝中的相關(guān)問(wèn)題，體會(huì )棱、面、體三者之間的關(guān)系，進(jìn)一步培養學(xué)生的空間感。
通過(guò)動(dòng)手操作、同伴交流，體驗解決問(wèn)題的基本過(guò)程和方法，提高解決問(wèn)題的能力，感受數學(xué)與生活的密切聯(lián)系。
【教學(xué)過(guò)程】
一、引入
一盒磁帶的包裝：
師：剛才大家欣賞到的包裝漂亮嗎？用這些包裝紙包裝成的禮物都是什么體的？今天我們一起研究長(cháng)方體包裝中的數學(xué)問(wèn)題。（出示課題）
我剛買(mǎi)了一盒磁帶送給朋友，請你用手摸一摸用彩紙包裝的是磁帶盒的什么部分？（表面積）
課前大家已經(jīng)測量了磁帶盒的長(cháng)、寬、高并計算了它的表面積，能說(shuō)一說(shuō)嗎？
（設計意圖：理解用包裝紙包裝與物體的表面積有著(zhù)密切的聯(lián)系，揭示本課所研究的數學(xué)問(wèn)題是物體的表面積。通過(guò)課前作業(yè)的訂正，為下面由幾個(gè)磁帶盒組合成的長(cháng)方體表面積計算打好基礎。）
二、探究多個(gè)相同長(cháng)方體組合成長(cháng)方體的方法以及表面積最小的策略
1．兩盒磁帶的包裝：
師：如果要送給朋友兩盒磁帶，可以怎樣包裝呢？售貨員說(shuō)用的包裝紙越大包裝的價(jià)格越高，你推薦老師采用哪種包裝方法？為什么？這種方法用多大面積的包裝紙呢？
師：請每個(gè)同學(xué)先想一想，想好后再動(dòng)手擺一擺，看看自己的想法可行嗎？
學(xué)生獨立借助學(xué)具研究。匯報訂正。
包裝方法：
小面重疊 中面重疊 大面重疊
師問(wèn)：為什么只有這三種包裝方法呢？（長(cháng)方體6個(gè)面對面相等，分成了三組）
根據你的經(jīng)驗，你推薦給老師哪種包裝方法呢？為什么？
這種包裝方法至少需要多大面積的包裝紙，接口處忽略不計。（板書(shū)：兩盒磁帶 大面重疊）
（1）學(xué)生可能推薦老師用大面重疊的方法，因為重疊的面積越大，需要包裝的面積就越小。
（2）包裝紙的面積
算法一：226×2-11×7×2=298（平方厘米）
算法二：11×7×2+11×（2×2）×2+7×（2×2）×2=298（平方厘米）
算法三：（226―11×7）×2=298（平方厘米）
（設計意圖：這是本課重點(diǎn)研究的內容，分兩個(gè)層次進(jìn)行：先研究包裝的方案即方法多樣化，再探究節省包裝紙的問(wèn)題即策略最優(yōu)化，使部分學(xué)生初步意識到重疊的面積越大，包裝的面積越小。通過(guò)思考和動(dòng)手操作為不同層次的學(xué)生搭建解決問(wèn)題的舞臺，使每一個(gè)學(xué)生都能找到解決問(wèn)題的途徑。）
2．三盒磁帶包裝
師：如果將三盒磁帶包裝起來(lái)，你們說(shuō)我選擇什么樣的方式包裝最省包裝紙呢？ 同桌兩個(gè)同學(xué)擺一擺，說(shuō)一說(shuō)。
匯報：大面重疊的方法最省包裝紙
板書(shū)：三盒磁帶：大面重疊
3．四盒相同物體的包裝：
師：我們共同研究了兩盒、三盒磁帶的包裝，如果是相同的四盒包裝，它們有多少種包裝方案呢？請四人小組的同學(xué)一起研究。
活動(dòng)建議：
請小組任意選擇一種商品（四盒）研究包裝方案，對每種方案進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，想一想怎樣匯報才能做到不重復、不遺漏，選出最省包裝紙的方案并說(shuō)明理由。
小組活動(dòng)
匯報：
（1）四盒可能的包裝方案
6小面重疊 6中面重疊 6大面重疊
（2）最省包裝紙的方案
師：請同學(xué)們再通過(guò)電腦回憶這六種包裝方案，對于前三種方案你認為最佳的是……，后三種方案呢？
重疊六個(gè)大面與重疊4個(gè)大面、4個(gè)中面比，哪個(gè)更省包裝紙呢？你們是怎樣得出結論的？（四盒磁帶包裝是六個(gè)大面最省包裝紙，四盒牙膏等是4個(gè)大面、4個(gè)中面重疊最省包裝紙）
觀(guān)察這些數據，為什么同樣是四盒包裝，而最省包裝紙的包裝方案卻不一樣呢？
（設計意圖：對于四盒物品的包裝分三部分進(jìn)行，首先探究有多少種包裝方案，不同層次的學(xué)生都可以找到包裝方案，但在方案的種類(lèi)上有所差別，在總結方案的過(guò)程中可以培養學(xué)生思維的有序性；然后通過(guò)分析、比較六種方案得到最優(yōu)方案；因為學(xué)生研究的對象不同，在最佳方案上會(huì )引發(fā)爭執，這就開(kāi)展了第三層次的研究，是什么原因造成了最佳方案上的差異，力爭使一部分學(xué)生體會(huì )到棱的大小關(guān)系決定了方案的選擇。）
三、課后小結（略）
【教學(xué)反思】
不算我們也能解決問(wèn)題
教育家陶行之先生曾說(shuō)：“我們發(fā)現了兒童有創(chuàng )造力，認識了兒童有創(chuàng )造力，就需進(jìn)一步把兒童的創(chuàng )造力解放出來(lái)�！痹诒菊n的試講過(guò)程中，我對陶行之先生的這句話(huà)感觸很深。
本課在探究把四盒磁帶進(jìn)行包裝，哪種方法最節省包裝紙內容時(shí)，學(xué)生通過(guò)比較、分析，產(chǎn)生了兩種意見(jiàn)：一部分學(xué)生認為“6個(gè)大面重疊”的方法最節省包裝紙；另一部分學(xué)生認為
“4個(gè)大面、4個(gè)中面重疊”的方法最好。面對學(xué)生的爭論，我阻攔了學(xué)生的發(fā)言，要求全體學(xué)生通過(guò)計算的方法解決這個(gè)爭論。絕大多數學(xué)生都在執行我的“命令”，有兩個(gè)男孩子不聽(tīng)指揮，仍在擺弄手中的磁帶盒，我幾次有意識的提示他們算一算，但他們置之不理……
待大多數學(xué)生完成計算后，我故意先請剛才的兩位同學(xué)談?wù)勛约旱南敕�，他們說(shuō)：“我們發(fā)現把大面重疊的四盒磁帶組成的新長(cháng)方體的左面是由原來(lái)的四個(gè)中面組成的，它們面積的大小與一個(gè)大面的面積很接近，因此我們的結論是四盒磁帶在包裝時(shí)，6個(gè)大面重疊的方法比4個(gè)大面、4個(gè)中面重疊的方法更省包裝紙”學(xué)生擺放的方法：
通過(guò)這次試講，不僅讓我看到了學(xué)生潛在的創(chuàng )造力，更讓我意識到動(dòng)手操作對于小學(xué)生研究幾何知識的重要性。依據教學(xué)內容，有效的組織學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)，為學(xué)生創(chuàng )設自主探索的空間是教師的責任。因此，在設計本課教學(xué)方式上，分三個(gè)層次，對于兩盒磁帶的包裝方法，在學(xué)生思考的前提下，以個(gè)人獨立操作的方式來(lái)解決問(wèn)題；對于三盒磁帶的包裝，以同桌兩個(gè)同學(xué)交流的方式進(jìn)行；對于難度最大的四盒相同長(cháng)方體的包裝，以四人小組合作的方式開(kāi)展探究活動(dòng)，在活動(dòng)中不僅要擺放出包裝方案，還要對這些包裝方案進(jìn)行歸納整理，從而找到最優(yōu)策略。
總之，解放學(xué)生的創(chuàng )造力、發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng )造力，開(kāi)展有效的探究活動(dòng)，可以進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量，充分調動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習的積極性，把課堂還給學(xué)生，使學(xué)生真正成為課堂的主人。