本單元教學(xué)方程的知識，是在四年級（下冊）“用字母表示數”的基礎上編排的。第一次教學(xué)方程，涉及的基礎知識比較多，教學(xué)內容分成三部分編排。
第1~2頁(yè)教學(xué)等式的含義與方程的意義，根據直觀(guān)情境里的等量關(guān)系列方程。
第3~11頁(yè)教學(xué)等式的性質(zhì)，解方程，列方程解答一步計算的實(shí)際問(wèn)題。
第12~14頁(yè)全單元內容的整理與練習。
本單元編排的一篇“你知道嗎”簡(jiǎn)要介紹了我國古代就有方程的思想，并有運用方程解決實(shí)際問(wèn)題的歷史記載。
1貝擁仁降椒匠蹋逐步構建新的數學(xué)知識。
方程是等式里的一類(lèi)特殊對象，教材用屬概念加種差的方式，按“等式+含有未知數→方程”的線(xiàn)索教學(xué)方程的意義。
（1） 借助天平體會(huì )等式的含義。
等式是方程的生長(cháng)點(diǎn)，學(xué)生在前幾冊教材里對等式已經(jīng)有了初步的認識，為了有利于方程概念的建立，本單元教材首先讓學(xué)生體會(huì )等式的含義。
天平兩臂平衡，表示兩邊的物體質(zhì)量相等；兩臂不平衡，表示兩邊物體的質(zhì)量不相等。讓學(xué)生在天平平衡的直觀(guān)情境中體會(huì )等式，符合學(xué)生的認知特點(diǎn)。例1在天平圖下方呈現“=”，讓學(xué)生用等式表達天平兩邊物體質(zhì)量的相等關(guān)系，從中體會(huì )等式的含義。教材使用了“質(zhì)量”這個(gè)詞，是因為天平與其他的秤不同。習慣上秤計量物體有多重，天平計量物體的質(zhì)量是多少。教學(xué)時(shí)不要把質(zhì)量說(shuō)成重量，但不必作過(guò)多的解釋。
例2繼續教學(xué)等式，教材的安排有三個(gè)特點(diǎn)： 第一，有些天平的兩臂平衡，有些天平兩臂不平衡。根據各個(gè)天平的狀態(tài)，有時(shí)寫(xiě)出的是等式，有時(shí)寫(xiě)出的不是等式。學(xué)生在相等與不等的比較與感受中，能進(jìn)一步體會(huì )等式的含義。第二，寫(xiě)出的四個(gè)式子里都含有未知數，有兩個(gè)是含有未知數的等式。這便于學(xué)生初步感知方程，為教學(xué)方程的意義積累了具體的素材。第三，寫(xiě)四個(gè)式子時(shí)，對學(xué)生的要求由扶到放。圓圈里的關(guān)系符號都要學(xué)生填寫(xiě)，學(xué)生在選擇“=”“＞”或“＜”時(shí)，能深刻體會(huì )符號兩邊相等與不相等的關(guān)系；符號兩邊的式子與數則逐漸放手讓學(xué)生填寫(xiě)，這是因為他們以前沒(méi)有寫(xiě)過(guò)含有未知數的等式與不等式。
（2） 教學(xué)方程的意義，突出概念的內涵與外延。
“含有未知數”與“等式”是方程意義的兩點(diǎn)最重要的內涵�！昂形粗獢怠币彩欠匠虆^別于其他等式的關(guān)鍵特征。在第1頁(yè)的兩道例題里，學(xué)生陸續寫(xiě)出了等式，也寫(xiě)出了不等式；寫(xiě)出了不含未知數的等式，也寫(xiě)出了含有未知數的等式。這些都為教學(xué)方程的意義提供了鮮明的感知材料。教材首先告訴學(xué)生： 像x+50=150、2x=200這樣含有未知數的等式叫做方程，讓他們理解x+50=150、2x=200的共同特點(diǎn)是“含有未知數”，也是“等式”。這時(shí)，如果讓學(xué)生對兩道例題里寫(xiě)出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能稱(chēng)為方程的原因作出合理的解釋?zhuān)敲磳W(xué)生對方程是等式的理解會(huì )更深刻。教材接著(zhù)安排討論“等式和方程有什么關(guān)系”，并通過(guò)“練一練”第1題讓學(xué)生先找出等式，再找出方程，理解等式與方程這兩個(gè)概念之間的包含與被包含關(guān)系。即方程都是等式，但等式不都是方程。這道題里有以x為未知數的等式，也有以y為未知數的等式，使學(xué)生對“未知數”有正確的理解，防止把未知數局限為x，把方程狹隘地理解為“含有x的等式”�！熬氁痪殹钡�2題要求學(xué)生自己寫(xiě)出一些方程并相互交流，讓它們在寫(xiě)方程時(shí)關(guān)注方程的本質(zhì)屬性，從而鞏固方程的概念。
（3） 用方程表示直觀(guān)情境里的相等關(guān)系。
第2頁(yè)的“試一試”和“練一練”第3題都是看圖列方程，編排這些題的目的是培養學(xué)生發(fā)現和理解現實(shí)情境里的等量關(guān)系的能力，體會(huì )方程是表示等量關(guān)系的數學(xué)方法，從而進(jìn)一步鞏固方程的概念，并為以后列方程解決實(shí)際問(wèn)題打下扎實(shí)的基礎。這些內容在編排上有兩個(gè)特點(diǎn)： 一是直觀(guān)情境的呈現從天平圖開(kāi)始，發(fā)展到帶括線(xiàn)的圖畫(huà)。帶括線(xiàn)的圖畫(huà)在一年級（上冊）就出現了，學(xué)生比較熟悉。但是，從列算式求答案的習慣思維轉向列方程表示等量關(guān)系，仍然會(huì )有困難。因此，教材先讓學(xué)生看天平圖列方程。天平兩臂平衡，表示它左右兩邊物體的質(zhì)量相等，已經(jīng)在兩道例題里教學(xué)得很充分了，看天平圖列方程能讓學(xué)生初步知道什么是列方程和怎樣列方程，對依據什么列方程和列出的方程表示什么有所體驗。 在此基礎上，過(guò)渡到列方程表示帶括線(xiàn)的圖畫(huà)里的等量關(guān)系，會(huì )平穩得多。二是帶括線(xiàn)的圖畫(huà)里的等量關(guān)系，突出兩個(gè)或幾個(gè)部分數相加是它們的總數。在幾個(gè)部分數相同時(shí)，它們相加用乘法比較簡(jiǎn)便。這些關(guān)系是數量之間最基本的關(guān)系。而且這些關(guān)系建立在加法和乘法的意義上，學(xué)生容易理解。如文具盒的價(jià)錢(qián)加筆記本的價(jià)錢(qián)一共20元，買(mǎi)4本同樣的故事書(shū)一共要16.8元，列出的方程分別是12+x=20和4x=16.8。如果少數學(xué)生列出的方程是20-x=12或16.8÷x=4也是可以的，但不宜提倡；絕不能列出20-12=x、16.8÷4=x這樣的方程。因為后者仍然是過(guò)去列算式的思路，不利于學(xué)生體會(huì )數量間的相等關(guān)系，對以后的教學(xué)也是有弊無(wú)利的。
2崩用等式的性質(zhì)解方程。
在過(guò)去的小學(xué)數學(xué)教材里，學(xué)生是應用四則計算的各部分關(guān)系解方程。這樣的思路只適宜解比較簡(jiǎn)單的方程，而且和中學(xué)教材不一致�！稑藴省窂膶W(xué)生的長(cháng)遠發(fā)展和中小學(xué)教學(xué)的銜接出發(fā)，要求小學(xué)階段的學(xué)生也要利用等式的性質(zhì)解方程。因此，本單元安排了關(guān)于等式性質(zhì)的內容，分兩段教學(xué)： 第一段是等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數，結果仍然是等式；第二段是等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不等于零的數，結果仍然是等式。在每一段教學(xué)等式的性質(zhì)以后，都及時(shí)讓學(xué)生運用等式的性質(zhì)解方程。
（1） 在直觀(guān)情境中，按“形象感受→抽象概括”的方式教學(xué)等式的性質(zhì)。
教材仍然用天平的直觀(guān)情境教學(xué)等式的性質(zhì)。因為在兩臂平衡的天平上，左右兩邊物體的質(zhì)量發(fā)生相同的變化，天平的兩臂仍然保持平衡。這種現象能形象地表示等式的性質(zhì)，有利于學(xué)生的直觀(guān)感受。
例3教學(xué)等式的一個(gè)性質(zhì)。教材設計了四組天平圖，每組左邊的天平圖表示變化前的等式，右邊的天平圖表示變化后的等式，從左邊的等式到右邊的等式，反映了等式的性質(zhì)。上面的兩組圖揭示的是等式的兩邊都加上一個(gè)相同的數，仍然是等式；下面的兩組圖揭示的是等式的兩邊都減去相同的數，仍然是等式。四組圖的內容綜合起來(lái)就是等式的一個(gè)性質(zhì)。教材精心設計每組天平上物體的質(zhì)量，第一組圖寫(xiě)出的是不含未知數的等式，在左邊的天平表示20=20以后，右邊天平的兩邊各加1個(gè)10克的砝碼，看圖填寫(xiě)20+（）○20+（）。學(xué)生在兩個(gè)括號里都寫(xiě)“10”，在圓圈里寫(xiě)“=”，聯(lián)系天平兩邊各加10克都變成30克，而天平仍然平衡的現象，體會(huì )填寫(xiě)的等式是合理的。這樣就首次感知了等式的兩邊都加上同一個(gè)數，結果仍是等式。第二組圖寫(xiě)出的是含有未知數的等式，從x=50到x+20=50+20的變化和比較中，對等式兩邊都加上相同的數有進(jìn)一步的感受。第三組圖寫(xiě)出的等式兩邊都用字母a表示砝碼的質(zhì)量，圈出a克砝碼并畫(huà)上箭頭，表示去掉它的意思。聯(lián)系已有經(jīng)驗，這里的a代表許多個(gè)數，這組天平圖與等式概括了眾多等式兩邊減去相同數的情況。第四組圖在方程x+20=70的兩邊都減去20，不但又一次表示了等式性質(zhì)，而且與解方程的方法十分接近。
另外，這道例題的8個(gè)等式中，有7個(gè)讓學(xué)生在圓圈里填寫(xiě)“=”組成等式，這是引導學(xué)生切實(shí)關(guān)注等式有沒(méi)有變化。右邊的四個(gè)等式分別讓學(xué)生在括號里填出同時(shí)加上或減去的數，有利于發(fā)現等式的性質(zhì)。
例5教學(xué)等式的另一個(gè)性質(zhì)。教材注意利用學(xué)生前面學(xué)習等式性質(zhì)的經(jīng)驗，在感知天平的直觀(guān)情境表示出等式性質(zhì)的一個(gè)實(shí)例后，再讓學(xué)生寫(xiě)一個(gè)等式，通過(guò)比較、概括與交流，得出“等式的兩邊都乘或除以相同的數，結果仍然是等式”的結論。教學(xué)時(shí)有兩點(diǎn)應注意： 一是讓學(xué)生正確理解圖意。上面一組天平圖的左邊原來(lái)是一個(gè)質(zhì)量為x克的物體，又添上一個(gè)質(zhì)量相同的物體；右邊原來(lái)是一個(gè)20克的砝碼，又添上一個(gè)同樣的砝碼。這表示天平左右兩邊物體的質(zhì)量都乘2。下面一組天平圖左邊原來(lái)是3個(gè)質(zhì)量都為x克的物體，現在只剩下1個(gè)這樣的物體；右邊原來(lái)是3個(gè)20克的砝碼，現在只剩下1個(gè)20克的砝碼。這表示天平左右兩邊物體的質(zhì)量都除以3。二是等式兩邊同時(shí)除以的那個(gè)數不能是0，這一點(diǎn)學(xué)生能夠接受。因為前面的教學(xué)中，已經(jīng)多次提到除數不能是0。
（2） 應用等式的性質(zhì)解方程。
例4和例6教學(xué)解方程，解方程的關(guān)鍵是方程的兩邊都加（減）幾、乘（除以）幾，教材對此有精心的設計。例4看圖列出方程，學(xué)生先從圖中能得到求x值的啟示： 只要在天平的左右兩邊各去掉10克的砝碼。聯(lián)系等式的性質(zhì)與方程x+10=50的特點(diǎn)，理解“方程兩邊都減去10”的道理： 等式的兩邊都減去10，左邊就剩下x，x的值只要通過(guò)右邊的計算就能得到。例6在列出方程以后，讓學(xué)生聯(lián)系已有的解方程經(jīng)驗和有關(guān)的等式性質(zhì)，思考“方程兩邊都要除以幾”這個(gè)問(wèn)題，并解這個(gè)方程。這些設計都體現了從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習的教育理念。另外，例4的編寫(xiě)還注意了三點(diǎn)： 一是示范了解方程的書(shū)寫(xiě)格式，強調等式變換時(shí)，各個(gè)等式的等號要上下對齊，教學(xué)時(shí)必須嚴格遵循；二是求得x=40后，通過(guò)“是不是正確答案”的質(zhì)疑，引導學(xué)生根據“左右兩邊是不是相等”進(jìn)行檢驗；三是在回顧反思求x值的過(guò)程基礎上，講了什么是“解方程”。這些都是以后解方程時(shí)反復使用的知識。
幫助學(xué)生逐漸掌握解方程的方法并形成相應的技能，是教材編寫(xiě)時(shí)認真思考的問(wèn)題。用好教材設計的兩道題，能培養學(xué)生這方面的能力。一處是第4頁(yè)“練一練”第1題，為了使方程的左邊只剩下x，方程的左邊已經(jīng)加上25（或減去18），右邊應該怎樣？這是剛開(kāi)始教學(xué)解方程時(shí)的設計。通過(guò)在方框里填數，在圓圈里填運算符號， 引導學(xué)生正確應用等式的性質(zhì)，體會(huì )解方程的策略和思路，理出解方程的關(guān)鍵步驟。學(xué)生在方框里填數一般不會(huì )有問(wèn)題，在圓圈里填運算符號可能會(huì )出現錯誤。要通過(guò)交流和評價(jià)，幫助他們正確掌握方程的兩邊同時(shí)加上或同時(shí)減去相同的數。另一處是第6頁(yè)第7題，簡(jiǎn)化解方程過(guò)程的書(shū)寫(xiě)，濃縮思路，是在基本掌握解方程的方法以后安排的。如解方程x-20=30，在方程的兩邊都加20這一步，省寫(xiě)了虛線(xiàn)框里的內容： x-20+20=30+20，直接寫(xiě)出x=30+20。這樣做能使解方程的思考流暢、書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，從而提升解方程的能力。教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體會(huì )簡(jiǎn)化的過(guò)程，重點(diǎn)討論圓圈里填什么符號、方框里填什么數以及為什么。第8頁(yè)“練一練”第1題、第10頁(yè)第2題的編排意圖與上面相同。
3繃蟹匠探餼鍪導飾侍狻
本單元解決的都是一步計算的實(shí)際問(wèn)題，其中大多數都是第一學(xué)段里沒(méi)有出現的。這些實(shí)際問(wèn)題如果列算式解答，學(xué)生體會(huì )其中的數量關(guān)系有一定難度；如果用方程的知識解答，利用的是問(wèn)題中最本質(zhì)的數量關(guān)系，思路就順暢得多。
列方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是找到問(wèn)題里的等量關(guān)系。列方程時(shí)的數量關(guān)系與列算式時(shí)明顯不同。列算式時(shí)的數量關(guān)系把已知和未知隔裂，已知條件作為一方，要求的問(wèn)題為另一方，通過(guò)已知數量的運算得到未知數量。而列方程的數量關(guān)系，把已知和未知融合起來(lái)，共同參與運算。尋找等量關(guān)系是列方程解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。為此，教材作了三步安排。
（1） 教學(xué)方程意義的時(shí)候，列方程表示簡(jiǎn)單現象里的等量關(guān)系，有第2頁(yè)“試一試”，“練一練”第3題，練習一第1~3題等。這些簡(jiǎn)單現象都是學(xué)生能夠接受的，并以他們熟悉的方式呈現，如天平圖、帶括線(xiàn)的圖畫(huà)、線(xiàn)段圖、圖文結合的敘述等。讓學(xué)生對什么是列方程、怎樣列方程，尤其是依據什么列方程、列出的方程表示什么意思有所體會(huì )。在尋找等量關(guān)系和列方程的時(shí)候要注意兩點(diǎn)： 一是聯(lián)系生活經(jīng)驗，按照事情的發(fā)生與發(fā)展線(xiàn)索，理順數量關(guān)系。如買(mǎi)1件上衣和1條褲子一共用去86元，原有的圖書(shū)借出56本還剩60本，付出的錢(qián)數減電話(huà)機的價(jià)錢(qián)得找回的錢(qián)數，媽媽的歲數減小紅的歲數得媽媽比小紅大的歲數。有了這些等量關(guān)系，列方程就方便了。二是暫時(shí)不要鼓勵對數量關(guān)系的發(fā)散性思考，也不要提倡列出的方程多樣，確保把握和應用事件里的最基本的等量關(guān)系。這對以后的教學(xué)十分重要。
（2） 教學(xué)解方程的時(shí)候，滲透列方程解決實(shí)際問(wèn)題的思想。例4求天平左邊正方體的質(zhì)量，例6求長(cháng)方形試驗田的寬，都是先列出方程再求解。這兩道例題的教學(xué)重點(diǎn)是應用等式性質(zhì)解方程，以實(shí)際問(wèn)題為載體有兩點(diǎn)好處： 一是初步體會(huì )列方程是解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法，從而發(fā)展解決問(wèn)題的策略；二是繼續體會(huì )列方程的依據是實(shí)際問(wèn)題里的等量關(guān)系。例4的相等關(guān)系是天平兩邊物體的質(zhì)量相等，學(xué)生已經(jīng)比較熟悉。例6依據長(cháng)方形面積公式列方程，是對等量關(guān)系的一次引導。教學(xué)的時(shí)候，既不要沖淡例題的教學(xué)重點(diǎn)，又要讓學(xué)生獲得這兩點(diǎn)體會(huì )。
（3） 例7和相配合的“試一試”“練一練”教學(xué)列方程解決實(shí)際問(wèn)題，主要解決相差關(guān)系和倍數關(guān)系的問(wèn)題。這些實(shí)際問(wèn)題里都有一個(gè)關(guān)于“相差多少”或“幾倍”的已知條件，只要抓住這個(gè)條件分析相差數或倍數的具體含義，就能找到實(shí)際問(wèn)題里的等量關(guān)系。
首次教學(xué)列方程解決實(shí)際問(wèn)題，例7有三個(gè)內容： 一是怎樣尋找數量間的相等關(guān)系，二是這個(gè)問(wèn)題為什么列方程解答，三是列方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟與格式。這三個(gè)內容中，第一個(gè)最重要，另兩個(gè)內容都能在第一個(gè)內容中得到啟示。
這道例題的相等關(guān)系“小軍的成績(jì)-小剛的成績(jì)=0.06米”，是從“小剛比小軍少跳0.06米”得出的。分析這個(gè)已知條件，首先想到小剛跳的米數、小軍跳的米數與0.06米是三個(gè)有關(guān)系的數量；接著(zhù)想到小軍跳的米數多，小剛跳的米數少，0.06米是他們跳的米數的差，等量關(guān)系就出來(lái)了。把文字敘述的相差關(guān)系改變成數學(xué)式子表示的相等關(guān)系，就列出了方程。
“小軍的跳高成績(jì)不知道，可以設為x米，再列方程解答”這句話(huà)是指著(zhù)等量關(guān)系說(shuō)的。在等量關(guān)系中，兩個(gè)數量已知，一個(gè)數量未知，如果把未知的數量設為x米，很容易列出方程。再通過(guò)解方程，就能算出未知的數量。這就是為什么列方程解題的原因，學(xué)生體會(huì )這一點(diǎn)，也就體會(huì )了列方程是解決問(wèn)題的一種策略。于是，解題活動(dòng)就在尋找等量關(guān)系的基礎上，很自然地按照“寫(xiě)設句--列方程--解方程”的順序進(jìn)行，列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟由此而得出。
在交流中讓學(xué)生思考還可以怎樣列方程，是因為在分析小軍跳的米數多，小剛跳的米數少，他們跳的米數相差0.06米時(shí)，學(xué)生有可能用“小剛跳的米數+0.06=小軍跳的米數”表示等量關(guān)系。教材對此表示肯定，并不要求學(xué)生一題多解。
“試一試”輔助學(xué)生尋找相等關(guān)系，在分析“藍鯨的體重是一頭非洲象的33倍”這個(gè)條件的基礎上，以填空的形式得出等量關(guān)系。其他解題活動(dòng)由學(xué)生獨立完成，逐漸熟悉列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。練習中涉及的等量關(guān)系有了擴展，如平行四邊形的面積公式、正方形的周長(cháng)公式、單價(jià)×數量=總價(jià)等，要盡量讓學(xué)生獨立尋找和應用等量關(guān)系列方程。