2.十進(jìn)制與二進(jìn)制的互相轉化
今天，當我們寫(xiě)上一個(gè)數目 1997 時(shí)，實(shí)際上意味著(zhù)我們使用了“十進(jìn)制”數，即
1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1
也就是說(shuō)：1997 中含有一個(gè) 1000，九個(gè) 100，九個(gè) 10 與七個(gè) 1。
在表 1 中可以看到：二進(jìn)制數 10 表示十進(jìn)制數 2；二進(jìn)制數 100，表示十進(jìn)制數
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4；二進(jìn)制數 1000，表示十進(jìn)制數 8；二進(jìn)制數 10000 表示十進(jìn)制數 16；…；可
以看出規律：二進(jìn)制數 100000 應該表示十進(jìn)制數 32，…。那么我們寫(xiě)下一個(gè)二進(jìn)制
數 10110，則應表示它含有一個(gè) 16，一個(gè) 4 與一個(gè) 2，也就是
10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1
明白了上面所說(shuō)的兩點(diǎn)，則二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉化的道理就容易懂了。為了
敘述的方便，我們約定：用（ ）2表示括號內寫(xiě)的數是二進(jìn)制數，如（1011）2；用（ ）
10 表示括號中寫(xiě)的數是十進(jìn)制數，如（37）10。
例 1 把（10110）2改寫(xiě)成十進(jìn)制數。
解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1
=16＋4+2
=（22）10
例 2 把（1110101）2改寫(xiě)成十進(jìn)制數。
分析：因為位數太多，我們先從低位寫(xiě)起。
解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64
=1+4+16+32＋64
＝（117）10
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從上面兩道例題可以看到：將一個(gè)二進(jìn)制數寫(xiě)成十進(jìn)制數的第一步驟是：將二進(jìn)
制數的各數位上數字改寫(xiě)成相應的十進(jìn)制數。因為是“滿(mǎn)二進(jìn)一”，所以高位是相鄰
低一位數的 2 倍。一個(gè)二進(jìn)制數的各個(gè)數位（由低位到高位）對應十進(jìn)制數的規律是：
1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…
第二個(gè)步驟是將各數位上對應的十進(jìn)制數求和，所得結果便是相應的十進(jìn)制數。
再看一題。
例 3 將（110100111）2改寫(xiě)成十進(jìn)制數。
分析：還是由低位寫(xiě)起。
解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256
=1+2＋4+32+128+256
＝（423）10
下面我們介紹如何將一個(gè)十進(jìn)制數改寫(xiě)成相應的二進(jìn)制數。
例 4 把（60）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數。
解 （60）10=32＋28
=32+16+12
=32＋16＋8＋4
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=32+16+8＋4+0×2＋0×1
=（111100）2
說(shuō)明：從解題過(guò)程中立即便能看出，將十進(jìn)制數寫(xiě)成二進(jìn)制數的過(guò)程，正好與將
二進(jìn)制數改寫(xiě)成十進(jìn)制數的過(guò)程相反：先由高位開(kāi)始考慮，將十進(jìn)制數盡可能地湊出
相應二進(jìn)制數的最高位，然后逐步往下進(jìn)行。
例 5 把（45）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數。
分析：（45）10不足 64，所以它對應的二進(jìn)制數的最高位是 32，即 45=32＋13，
剩下的 13 不足 16，則向下一位考慮。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的 5 中包含一
個(gè) 4，即 45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位數是 1，又不足 2，所以對應的二進(jìn)位數
又空一位。
解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1
=（101101）2
練一練：
（1）將（31）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數；
（2）將（78）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數。
下面我們再介紹一種將十進(jìn)制數寫(xiě)成二進(jìn)制數的常用方法--除二倒取余法。例
如要將（71）10寫(xiě)成二進(jìn)制數，參見(jiàn)下式。我們將 71 除以 2，余數 1 相應寫(xiě)在右邊（如
果除盡，余數則寫(xiě) 0）；再將商 35 除以 2，余數 1 相應寫(xiě)在右邊；再將這步的商 17
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除以 2，重復上述過(guò)程，直到商等于 1 為止。并且最后一步的商“1”也寫(xiě)到右邊余數
那一列的最下面。最后將這列余數由下到上寫(xiě)成一行數，這行數便是（71）10的二進(jìn)
制數表示法。即
（71）10=（1000111）2
例 6 用除二倒取余法將（38）10寫(xiě)成二進(jìn)制數。
解 ∵
∴（38）10＝（100110）2
例 7 用兩種方法將（107）10改寫(xiě)成二進(jìn)制數。
解 方法一
（107）10=64+43
=64＋32+11
=64＋32＋0×16+8+3
=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1
70
＝（1101011）2
方法二 ∵
∴（107）10=（1101011）2
練習九
1.把下面的二進(jìn)制數改寫(xiě)成十進(jìn)制數。
①（10001）2； ②（11000）2；
③（101110）2； ④（111101）2；
⑤（1101001）2； ⑥（11011010）2。
2.把下面的十進(jìn)制數改寫(xiě)成二進(jìn)制數。
①（19）10； ②（26）10； ③（54）10；
④（81）10； ⑤（123）10； ⑥（180）10。
3.現有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝碼各一枚，在天平上能稱(chēng)出多少種不同重量的
物體？想一想這是為什么？與二進(jìn)制有關(guān)嗎？
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十、二進(jìn)制數的四則運算
同學(xué)們一定記得，剛上一年級學(xué)習加法運算時(shí)有加法口訣到了學(xué)習乘法的時(shí)候，
又有“九九乘法口訣表”。背誦“九九表”對每個(gè)小同學(xué)來(lái)說(shuō)都是一件十分辛苦而費
時(shí)的事，所以當時(shí)大家都希望“九九表”能夠簡(jiǎn)單一些吧？由于我們使用的是十進(jìn)制，
所以它的四則運算法則不可能太簡(jiǎn)單�，F在我們學(xué)習了二進(jìn)制數，而二進(jìn)制數中只有
兩個(gè)獨立的符號“0”與“1”，所以二進(jìn)制數的四則運算法則就簡(jiǎn)便多了！
加法法則：
0＋0=0；0＋1=1；
1＋0=1；1+1=10。
乘法法則：
0×0=0；0×1=0；
1×0=0；1×1=1。
上面列出的八條二進(jìn)制運算法則可以歸納成八個(gè)字：“格式照舊，滿(mǎn)二進(jìn)一�！�
利用這一規則，可以很容易地實(shí)現二進(jìn)制數的四則運算。只是對于減法，當需要向上
一位借數時(shí)，必須把上一位的 1 看成下一位的（2）10。
下面是一些例子，右邊列的是十進(jìn)制下的對照：
加法運算：
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（100）2+（110）2＝（1010）2
1＋1=10，本位記 0，并向高位進(jìn) 1（即“滿(mǎn)二進(jìn)一”）
4＋6=10
減法運算：
（1100）2-（1001）2=（11）2
被減數不夠減，向高位借 1 當 2，2-1 得 1。
12-9=3