數學(xué)課堂的數學(xué)味
作者:富源縣大河鎮腦上小學(xué) 楊 波
在幾年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐與探索中，我始終注重數學(xué)課堂的數學(xué)味研究，在教學(xué)中不斷挖掘、呈現、彰顯數學(xué)內容自身的數學(xué)味。下面舉幾則案例，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)教學(xué)體會(huì )。
一、“交換律”一課的教學(xué)實(shí)踐。如果單純地由具體現實(shí)情境引出3+6=6+3，并引發(fā)學(xué)生形成猜想：“是否任意兩數相加，交換位置后和都不變?”進(jìn)而引導學(xué)生通過(guò)舉例，試圖驗證猜想，并最終得出相應的結論。雖然這個(gè)教學(xué)過(guò)程輪廓清晰，思路涇渭分明，探討的主要問(wèn)題也基本在數學(xué)范疇內展開(kāi)，但不能充分體現數學(xué)課堂的數學(xué)味。我們要做更進(jìn)一步的思考，即數學(xué)課堂上的數學(xué)味顯然不應該僅停留在表層，應該注重數學(xué)內容、數學(xué)方法及數學(xué)思想的實(shí)質(zhì)等更里層問(wèn)題的探討。從而，在試圖對本課進(jìn)行重新梳理時(shí)，下述問(wèn)題自然就成了我關(guān)注的興奮點(diǎn)：“由僅有的一個(gè)例子鼓勵學(xué)生提出猜想是否適宜?”“什么是數學(xué)上的不完全歸納法?”“對四年級學(xué)生來(lái)說(shuō)，試圖用不完全歸納法獲得結論，舉出多少個(gè)例子比較合適?”“例子越多越好嗎?”“怎樣的例子是好的例子，怎樣的例子是不好的例子?”“舉例驗證猜想時(shí)，我們要不要關(guān)注反例?反例對猜想意味著(zhù)什么?”進(jìn)而，“舉例的過(guò)程僅僅是一個(gè)模仿與復制的過(guò)程，還是一個(gè)主動(dòng)思考并進(jìn)行試探與甄別的過(guò)程?”“經(jīng)由不完全歸納法所給出的能不能算作結論?如果不算，小學(xué)課堂該不該引入必要的證明?”在具體的教學(xué)語(yǔ)境中，好的數學(xué)味一定還伴隨著(zhù)必要的兒童視角和立場(chǎng)!
二、“分數的意義”一課的教學(xué)實(shí)踐。一節經(jīng)典的老課，教學(xué)線(xiàn)索與理路也基本定型。但在試圖對數學(xué)內涵進(jìn)行深入梳理時(shí)，不經(jīng)意間卻被幾個(gè)小問(wèn)題所梗�。喊褑挝弧�1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數是分數，這是分數意義的形式化表達，可這里的單位“1”究竟是什么?數學(xué)上，為什么我們把這些平均分的對象叫做單位“1”，而不是別的什么名稱(chēng)，比如整體“1”或是對象“1”?稱(chēng)其單位“1”究竟只是一種純粹的數學(xué)規定，還是另有其數學(xué)的合理性?進(jìn)而，與百分數不同的是，分數既可以表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系，還可以表示一個(gè)具體的數，用數學(xué)上的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)來(lái)講，分數既有其無(wú)量綱性，同時(shí)還具有量綱性。事實(shí)上，理解到這一點(diǎn)，對于未來(lái)學(xué)生更深入地理解分數的實(shí)質(zhì)，以及對分數直接進(jìn)行大小比較(不提供直觀(guān)圖的情況下)、分數和小數的互化以及理解分數乘除法實(shí)際問(wèn)題的數量關(guān)系等，無(wú)疑具有重要的意義。然而，反觀(guān)各版本教材，在安排這一內容時(shí)所選擇的素材與呈現的情境，仍局限在“部分與整體的關(guān)系”這單一的維度，即分數的無(wú)量綱性上，分數始終只是在“把整體看作1時(shí)，其中的一部分如何用數學(xué)符號來(lái)表征”的情境下得以呈現的，而其所理應具備的有量綱性的一面，卻未能在具體的教學(xué)編排中得到相應的體現。事實(shí)上，由無(wú)量綱性向著(zhù)有量綱性的跨越對學(xué)生來(lái)說(shuō)是有一定的難度的，默認這種跨越可以自然而然地生成，實(shí)際上缺乏理論的支撐，在實(shí)踐層面也不具備說(shuō)服力。此外，教材在編排分數意義這一內容時(shí)，似乎對如何更好地溝通分數、1及整數之間的關(guān)系也缺乏必要的關(guān)注，從而，“分數的意義”一課在許多時(shí)候還只停留在就分數論分數的層面，對于如何促進(jìn)學(xué)生更好地形成有關(guān)數的整體認知圖景，還缺乏相應的實(shí)踐指導。
由此，筆者執教這一內容時(shí)，由對單位“1”的探討引入：先引導學(xué)生認識“1”這個(gè)數的包容性，即所謂“1個(gè)梨可以看做1，3個(gè)梨也能看做1，6個(gè)、12個(gè)梨同樣能看做1”。然后經(jīng)由討論，使他們進(jìn)一步理解到，一旦在某一語(yǔ)境下，我們將3個(gè)梨看做了“1”，那么，6個(gè)或12個(gè)梨通常就不再看做“1”，而應該看做“2”或“4”了。理由很簡(jiǎn)單，3個(gè)梨既已看做“1”，6個(gè)梨中包含2個(gè)這樣的“1”，當然就是“2”，12個(gè)梨亦然。事實(shí)上，在上述情境及過(guò)程中，我們已然發(fā)現，3個(gè)梨所構成的“1”其實(shí)已經(jīng)成為一個(gè)計數或計量的單位，此時(shí)，稱(chēng)其為單位“1”已是自然而然的事了。
三、“平均數”一課的教學(xué)實(shí)踐。作為反映一組數據整體水平的一種統計量，平均數與眾數及中位數既有相似之處，又有明顯的不同。無(wú)疑，如何將平均數置于統計的角度來(lái)審視，并努力開(kāi)掘出其應有的統計意義與價(jià)值，當是這節課首要關(guān)注的問(wèn)題。教材多采取“比較”的情境，由于“兩組人數不均的小組開(kāi)展相應比賽，比總數不公平，所以應比平均每人的個(gè)數”，由此引入平均數。但在備課過(guò)程中，隨著(zhù)思考的不斷深入，新的問(wèn)題不斷涌現。首先，作為一個(gè)重要的統計學(xué)概念，平均數是否首先或主要地源自于比較的現實(shí)需求?其次，“平均每人投中的個(gè)數”和“每人投中個(gè)數的平均數”之間是否可以直接畫(huà)上等號?再者，平均數既是統計學(xué)中的一個(gè)重要概念，那么，其誕生理應處于一個(gè)統計的活動(dòng)背景之中，這是比較合理的一種預期。為此，設計教學(xué)時(shí)，我微調了教材中的情境結構，通過(guò)呈現如下的活動(dòng)序列，將平均數重新置于統計背景下，并力圖還原其作為“一組數據的代表”的角色與身份，再現平均數的本來(lái)面目。
老師和小明、小紅、小強進(jìn)行一分鐘投籃賽，以每分鐘進(jìn)球多少論勝負。
小明先投，結果一分鐘僅投中5個(gè)，他不滿(mǎn)意自己的成績(jì)，提出想再投兩次的要求。老師該不該同意他的要求?經(jīng)過(guò)討論并最終獲得同意后，小明再投，結果第二、三分鐘均投中5個(gè)。此時(shí)引導思考：小明一分鐘究竟能投中幾個(gè)?用哪個(gè)數表示他一分鐘的成績(jì)比較合適?為什么?
小紅第二個(gè)出場(chǎng)，結果一分鐘投中3個(gè)，他會(huì )提出怎樣的要求?當征得同意后，他第二、第三分鐘分別投中4個(gè)、5個(gè)。引導思考：3次成績(jì)各不相同，用哪個(gè)數表示小剛一分鐘的個(gè)數比較合適?為什么?
小強第三個(gè)出場(chǎng)，3分鐘各投中3個(gè)、7個(gè)和2個(gè)。此時(shí)，又該用哪個(gè)數表示他一分鐘的水平?為什么?至此，在“移多補少”的直觀(guān)操作和“先合并再均分”的抽象算法的基礎上，揭示平均數，并幫助學(xué)生認識到平均數對于描述一組數據的整體水平的意義。
老師最后出場(chǎng)，一開(kāi)始便提出“水平不行，想投4次”的打算，如果是你，你會(huì )同意老師的請求嗎?在征得同意后，老師前3分鐘的成績(jì)分別是4個(gè)、6個(gè)、5個(gè)，你覺(jué)得最后老師會(huì )贏(yíng)得這場(chǎng)比賽嗎?為什么?出示第四次成績(jì)(1個(gè))后，學(xué)生再度討論：老師贏(yíng)了沒(méi)有?為什么輸了?如果最后一次投中5個(gè)或者9個(gè)，結果會(huì )怎樣?等等。至此，概念建立告一段落。
回顧上述環(huán)節，同樣是比賽的主題情境，但其根本立場(chǎng)和視角已然發(fā)生轉變。其一，由于相關(guān)數據是由同一個(gè)體所產(chǎn)生，求其總數顯然不具備充分的現實(shí)意義，而相對來(lái)說(shuō)，從產(chǎn)生的這組數據中選擇一個(gè)或“另外創(chuàng )造”一個(gè)以代表這組數據的一般水平，對學(xué)生而言似乎更容易理解。其二，情境中大量充斥著(zhù)“他想再投兩次，該不該給他這個(gè)機會(huì )?”“老師想多投一分鐘，行還是不行?”“你覺(jué)得老師最后一定會(huì )贏(yíng)嗎?”“最后，老師為什么反而輸了?”這樣的問(wèn)題，看似與平均數無(wú)關(guān)，但實(shí)則高度相關(guān)。僅以第一問(wèn)為例，當小明一分鐘投完僅得5個(gè)時(shí)，我們究竟該不該讓他再投兩分鐘?試想，當學(xué)生最終通過(guò)討論與思維交鋒，同意小明的這一請求時(shí)，對學(xué)生而言，這究竟意味著(zhù)什么?--投籃的次數并不是決定最后輸贏(yíng)的關(guān)鍵要素，多次成績(jì)背后所呈現出的一組數據的分布、離散情況及其所反映出的一般水平，才最終決定著(zhù)一個(gè)人的實(shí)際水平，并最終決定著(zhù)他的輸贏(yíng)。試想，經(jīng)由這樣的思考、獲得類(lèi)似的體驗后，學(xué)生如何能夠不對平均數獲得更為豐富的理解和把握呢?
同樣在對教學(xué)內容進(jìn)行深入思考與內涵開(kāi)掘后，本課選擇了以?xún)和軌驉偧{的一種姿態(tài)介入--游戲、討論、對話(huà)、思辨。盡管教師于其中也有竭力想傳達和滲透的教學(xué)意圖和數學(xué)內涵，但避開(kāi)了抽象的說(shuō)教和示范，而是選擇了以一種更具親和力、更富情境化的思維場(chǎng)域，讓學(xué)生在思考、交流的過(guò)程中去獲得相關(guān)體驗、領(lǐng)悟相關(guān)意圖、獲得某種建構。具有良好數學(xué)內涵的課堂，一定是深入淺出的，它能夠將教師領(lǐng)悟到的深刻的數學(xué)理解以一種平和的、學(xué)生可以理解并悅納的姿態(tài)介入課堂活動(dòng)，并努力在數學(xué)內涵與兒童趣味之間找到一種良好的平衡。
作者簡(jiǎn)介：楊波，女，漢族，出生于1982年3月，中共黨員，云南省富源縣竹園鎮人，小學(xué)一級教師，本科文化，西南師范大學(xué)漢語(yǔ)言文學(xué)專(zhuān)業(yè)，現在富源縣大河鎮腦上小學(xué)任教，教學(xué)科目為五年級數學(xué)。