完全平方數練習題
完全平方數練習題1
1、一個(gè)數與2940的積是完全平方數，那么這個(gè)數最小是()。
2、已知1×2×3×……×n+3是一個(gè)自然數的平方，n=( )。
3、有兩個(gè)兩位數，它們的差是56，它們的平方數末兩位數字相同，這兩個(gè)兩位數分別是()。
4、一個(gè)四位數的數碼都是由非零的偶數碼構成，它又恰好是某個(gè)偶數碼組成的數的平方，則這個(gè)四位數是()。
5、有一個(gè)自然數，它與168的和恰好等于某個(gè)數的平方;它與100的和恰好等于另一個(gè)數的平方，這個(gè)數是()。
完全平方數練習題2
奧數是一種理性的精神，使人類(lèi)的思維得以運用到最完善的'程度.讓我們一起來(lái)閱讀關(guān)于完全平方數的數論練習,感受奧數的奇異世界!
1、一個(gè)自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
x-45=m^2;(1)
x+44=n^2(2)
(m,n為自然數)
(2)-(1)可得:
n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89
因為n+m>n-m
又因為89為質(zhì)數，
所以：n+m=89;n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
2、求證：四個(gè)連續的整數的積加上1，等于一個(gè)奇數的平方(1954年基輔數學(xué)競賽題)。
分析設四個(gè)連續的整數為，其中n為整數。欲證
是一奇數的平方，只需將它通過(guò)因式分解而變成一個(gè)奇數的平方即可。
證明設這四個(gè)整數之積加上1為m，則
m為平方數
而n(n+1)是兩個(gè)連續整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個(gè)奇數的平方。
3、求證：11,111,1111,這串數中沒(méi)有完全平方數(1972年基輔數學(xué)競賽題)。
分析形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即
或
在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾。
證明若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
綜上所述，不可能是完全平方數。
另證由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過(guò)，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。
4、求滿(mǎn)足下列條件的所有自然數：
(1)它是四位數。
(2)被22除余數為5。
(3)它是完全平方數。
解：設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。
11|N-4或11|N+4
或
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
所以此自然數為1369,2601,3481,5329,6561,9025。
5、甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣(mài)價(jià)又恰為n元，全部賣(mài)完后，兩人分錢(qián)方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數學(xué)邀請賽試題)?
解：n頭羊的總價(jià)為元，由題意知元中含有奇數個(gè)10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個(gè)位數字一定是6。所以，的末位數字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。
為您提供的關(guān)于完全平方數的數論練習，希望給您帶來(lái)啟發(fā)!
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