多邊形的內角和檢測試題及解析

　　【例1】已知一個(gè)多邊形，它的外角和等于內角和的四分之—，求這個(gè)多邊形的邊數.

　　【解析】本題根據多邊形的內角和(與邊數n有關(guān))與外角和(恒為360°，與邊數無(wú)關(guān))的一種關(guān)系，利用己知條件列出關(guān)于n的一元一次方程，求解邊數n.

　　【答案】設多邊形的邊數為n，因為它的內角和等于(n-2)180°，外角和等于360°，根據題意，得(n-2)180=300.

　　解得n=10.

　　答:這個(gè)多邊形的邊數是10.

　　【例2】己知一個(gè)多邊形的各個(gè)內角都是120°，求這個(gè)多邊形的邊數.

　　【解析】此題既可用多邊形內角和公式列方程求解，也可以由多邊形的外角和等于360°列方程求解.不論用什么方法求解，都要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，列方程求解是解這類(lèi)題的常用方法.

　　【答案】解法一設這個(gè)多邊形的邊數為n，則有(n-2)180°=n150

　　解得n=12

　　解法二設這個(gè)多邊形的邊數為n，則有

　　n(180-150)=360

　　解得n=12

　　【例3】凸多邊形的每一個(gè)內角都小于180°，那么凸多邊形中最多可以有幾個(gè)鈍角?幾個(gè)銳角?幾個(gè)直角呢?

　　【解析】由于凸多邊形的邊數不確定，可以由邊數較少的情形來(lái)探索，再歸納出一般性的結論.

　　【答案】設凸多邊形的邊數為n，當n=3時(shí)，三角形最多只有一個(gè)鈍角;當n=4時(shí)，因為四邊形的內角和為360°，故不可能有四個(gè)鈍角，但現在可以有3個(gè)鈍角，當n≥5時(shí)，看正n邊形，它的所有內角都相等，則所有的外角也都相等，由于n邊形的外角和為360°，故每一個(gè)外角為，由于n≥5，<90°,即正n邊形的每一個(gè)外角均為銳角.故n邊形(n≥5)可有n個(gè)鈍角.

　　當n=3時(shí)，三角形最多有三個(gè)銳角(如銳角三角形);當n=4時(shí)，四邊形不可能四個(gè)角都是銳角，否則內角和小于360°;當n≥5時(shí)，多邊形不可能多于3個(gè)銳角，否則若有四個(gè)內角為銳角，則這四個(gè)銳角的外角為鈍角，其外角和大于360°.故當n≥5時(shí)，多邊形最多有三個(gè)內角是銳角.故凸多邊形中銳角最多有三個(gè).

　　當n=3時(shí)，最多只有一個(gè)直角(直角三角形);

　　當n=4時(shí)，最多有四個(gè)直角(矩形);當n≥5時(shí)，最多有三個(gè)直角，否則若有四個(gè)直角，則四個(gè)外角為直角，從而這個(gè)多邊形的外角和大于360°.故凸多邊形最多有四個(gè)直角.

　　總分100分時(shí)間60分鐘成績(jì)評定________________

　　一、填空題(每題5分，共50分)

　　課前熱身

　　1.五邊形的內角和等于________度;(3n-2)邊形的內角和是________.

　　答案：540;(3n-1)180°

　　2.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則該多邊形的內角和等于________.

　　答案：1140°

　　課上作業(yè)

　　3.已知一個(gè)五邊形的4個(gè)內角都是100°，則第5個(gè)內角的度數是________.

　　答案：140°

　　4.如果正多邊形的一個(gè)外角等于72°，那么它的邊數是________.

　　答案：5

　　5.若一個(gè)多邊形的內角和是外角和的5倍，則這個(gè)多邊形是___________.

　　答案：十二邊形

　　6.過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線(xiàn)把多邊形分成9個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的邊數是_______.

　　答案：12

　　課下作業(yè)

　　7.四邊形的四個(gè)內角度數之比為4∶5∶6，則這個(gè)四邊形各內角度數分別為_(kāi)____________.

　　答案：60°、80°、100°、120°

　　8.一個(gè)多邊形除了一個(gè)內角之外，其余各內角之和是2570°，則這個(gè)內角的度數等于______.

　　答案：130°

　　9.兩個(gè)正多邊形，其邊數m、n滿(mǎn)足,從這兩個(gè)正多邊形中各取一個(gè)內角，則這兩個(gè)角的和是__________

　　答案：270°

　　10.一個(gè)多邊形截去一個(gè)內角后，形成另一個(gè)多邊形，它的內角為2520°，則原多邊形的邊數為_(kāi)________.

　　答案：15或16或17

　　二、選擇題(每題5分，共10分)

　　模擬在線(xiàn)

　　11.(2010云南)正多邊形的一個(gè)外角的度數為36°，則這個(gè)正多邊形的邊數為()

　　A.6B.8C.10D.12

　　答案：D

　　12.(2010江蘇)多邊形的內角和不可能為()

　　A.180°B.680°C.1080°D.1980°

　　答案：C

　　13.(2010廣西)小明和小亮分別利用圖7-63中b、c的不同方法求出了五邊形的內角和都是540°，請你考慮在圖7-63a中再用另外一種方法求五邊形的內角和，并寫(xiě)出求解的過(guò)程.

　　圖7-63

　　答案：略

　　14.如果一個(gè)正多邊形的最小的一個(gè)內角是120°，比它稍大的一個(gè)內角是125°，以后依次每一個(gè)內角比前一個(gè)內角多5°，且所有內角的和最大的內角的度數之比是63∶8，試求這個(gè)多邊形邊數.

　　答案：9(設此多邊形是n邊形，它的最大內角度數為120°+(n-1)5°，則有解得n=9，

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