《1.2 應用舉例》測試題及答案參考

　　《1.2 應用舉例（2）》測試題

　　一、選擇題

　　1.有一長(cháng)為米的斜坡，它的坡度為，公路建設部門(mén)根據要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變?yōu)�，則坡底將伸長(cháng)( ).

　　A.米 B. 米 C. 米 D. 米

　　考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應用.

　　答案：D.

　　解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長(cháng). 根據題意可知，，，，根據正弦定理得，∴.

　　2.(2010北京文)某班設計了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長(cháng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關(guān)系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.

　　答案：A.

　　解析：根據已知條件，四個(gè)等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關(guān)系得正方形的邊長(cháng)為，所以該八邊形的面積為 .

　　3.(由2009浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，且滿(mǎn)足，若．則的面積為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數的基本關(guān)系式、三角形面積公式、向量的數量積以及運算求解能力.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.

　　二、填空題

　　4.(2011上海理)在相距2千米的兩點(diǎn)處測量目標，若，，則兩點(diǎn)之間的距離是 千米.

　　考查目的：考查三角形內角和定理、正弦定理的應用.

　　答案：.

　　解析：根據三角形內角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.

　　5.三角形的一邊長(cháng)為，這條邊所對的角為，另兩邊之比為，則這個(gè)三角形的面積為 .

　　考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.

　　答案：.

　　解析：不妨設的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯(lián)立解得，，∴.

　　6.我艦在島南偏西方向相距的處發(fā)現敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時(shí)的速度航行，若我艦要用小時(shí)追上敵艦，則我艦追擊的速度為 ，方向為 (精確到).

　　考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應用.

　　答案：小時(shí)，北偏東.

　　解析：設我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據余弦定理得，，∴.設我艦追擊的方向為北偏東角度，由正弦定理得，，∴，故.

　　三、解答題：

　　7.(2008上海)如圖，某住宅小區的平面圖呈扇形．小區的兩個(gè)出入口設置在點(diǎn)及點(diǎn)處，小區里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(cháng)(精確到1米)．

　　考查目的：考查利用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及運算求解能力.

　　答案：米

　　解析：(方法一)設該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).

　　(方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).

　　8.在中，的對邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數的恒等變形和性質(zhì)以及運算求解能力.

　　答案：.

　　解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.

　　數學(xué)的三次危機——第一次數學(xué)危機

　　從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不存在的，即便以確定無(wú)疑著(zhù)稱(chēng)的數學(xué)也不例外。數學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無(wú)理數、實(shí)數與虛數等等。在整個(gè)數學(xué)發(fā)展過(guò)程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀(guān)、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。

　　在數學(xué)史上，貫穿著(zhù)矛盾的斗爭與解決。當矛盾激化到涉及整個(gè)數學(xué)的基礎時(shí)，就會(huì )產(chǎn)生數學(xué)危機。而危機的解決，往往能給數學(xué)帶來(lái)新的內容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

　　數學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過(guò)三次關(guān)于基礎理論的危機。

　　一、第一次數學(xué)危機

　　從某種意義上來(lái)講，現代意義下的數學(xué)，也就是作為演繹系統的純粹數學(xué)，來(lái)源予古希臘畢達哥拉斯學(xué)派。它是一個(gè)唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右。他們認為，“萬(wàn)物皆數”(指整數)，數學(xué)的知識是可靠的、準確的，而且可以應用于現實(shí)的世界，數學(xué)的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀(guān)察、直覺(jué)和日常經(jīng)驗。

　　整數是在對于對象的有限整合進(jìn)行計算的過(guò)程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個(gè)的對象，還要度量各種量，例如長(cháng)度、重量和時(shí)間。為了滿(mǎn)足這些簡(jiǎn)單的度量需要，就要用到分數。于是，如果定義有理數為兩個(gè)整數的商，那么由于有理數系包括所有的整數和分數，所以對于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。

　　有理數有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋。在一條水平直線(xiàn)上，標出一段線(xiàn)段作為單位長(cháng)，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數0和1，則可用這條直線(xiàn)上的間隔為單位長(cháng)的點(diǎn)的集合來(lái)表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數都對應著(zhù)直線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)。

　　古代數學(xué)家認為，這樣能把直線(xiàn)上所有的點(diǎn)用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現：直線(xiàn)上存在不對應任何有理數的點(diǎn)。特別是，他們證明了：這條直線(xiàn)上存在點(diǎn)p不對應于有理數，這里距離op等于邊長(cháng)為單位長(cháng)的正方形的對角線(xiàn)。于是就必須發(fā)明新的數對應這樣的點(diǎn)，并且因為這些數不可能是有理數，只好稱(chēng)它們?yōu)闊o(wú)理數。無(wú)理數的發(fā)現，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數學(xué)史上的重要里程碑。

　　無(wú)理數的發(fā)現，引起了第一次數學(xué)危機。首先，對于全部依靠整數的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無(wú)理數看來(lái)與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀(guān)相反，存在不可通約的線(xiàn)段，即沒(méi)有公共的量度單位的線(xiàn)段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個(gè)同類(lèi)量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。

　　“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時(shí)間，他們費了很大的精力將此事保密，不準外傳。但是人們很快發(fā)現不可通約性并不是罕見(jiàn)的現象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨予以了證明。隨著(zhù)時(shí)間的推移，無(wú)理數的存在逐漸成為人所共知的事實(shí)。

　　誘發(fā)第一次數學(xué)危機的一個(gè)間接因素是之后“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學(xué)家們的擔憂(yōu)：數學(xué)作為一門(mén)精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？

　　在大約公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無(wú)理數的現代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來(lái)的某些困難和微炒之處。

　　第一次數學(xué)危機表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數及其比來(lái)表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數的尊祟地位受到挑戰，古希臘的數學(xué)觀(guān)點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數學(xué)思想上的一次革命，是第一次數學(xué)危機的自然產(chǎn)物。

　　回顧在此以前的各種數學(xué)，無(wú)非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應用到實(shí)際問(wèn)題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機和革命，也就繼續走著(zhù)以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數學(xué)危機的發(fā)生和解決，希臘數學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數學(xué)作出了另一種杰出的貢獻。

　　但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數學(xué)的基礎，把數的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無(wú)理數本身的研究，使算術(shù)和代數的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續了2000多年。

　　高考數學(xué)沖刺指導：數列問(wèn)題

　　摘要：為大家帶來(lái)高考數學(xué)沖刺指導，希望大家喜歡下文!

　　近幾年來(lái)，高考關(guān)于數列方面的命題主要有以下三個(gè)方面;(1)數列本身的有關(guān)知識，其中有等差數列與等比數列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。(2)數列與其它知識的結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合。(3)數列的應用問(wèn)題，其中主要是以增長(cháng)率問(wèn)題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

　　知識整合

　　1.在掌握等差數列、等比數列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題;

　　2.在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對基礎知識、基本技能和基本數學(xué)思想方法的認識，溝通各類(lèi)知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò )，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，

　　進(jìn)一步培養學(xué)生閱讀理解和創(chuàng )新能力，綜合運用數學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

　　3.培養學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應新的背景，新的設問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數的思想、方程的思想研究數列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.

　　總結：高考數學(xué)沖刺指導就介紹到這里了，希望能幫助同學(xué)們更好的復習本門(mén)課程，更多精彩學(xué)習內容請繼續關(guān)注!

　　數學(xué)的三次危機——第二次數學(xué)危機

　　二、第二次數學(xué)危機

　　十七、十八世紀關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱(chēng)為第二次數學(xué)危機。從歷史或邏輯的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，它的發(fā)生也帶有必然性。

　　這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無(wú)限性的理解問(wèn)題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無(wú)限的四個(gè)悖論：

　　“兩分法”：向著(zhù)一個(gè)目的地運動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過(guò)路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過(guò)路程的1/4點(diǎn)……，如此類(lèi)推以至無(wú)窮�！�—結論是：無(wú)窮是不可窮盡的過(guò)程，運動(dòng)是不可能的。

　　“阿基里斯(《荷馬史詩(shī)》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜的出發(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過(guò)的路程一再平分。

　　“飛矢不動(dòng)”：意思是箭在運動(dòng)過(guò)程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動(dòng)狀態(tài)。

　　“操場(chǎng)或旅游隊伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運動(dòng)。從靜止的c來(lái)看，比如說(shuō)A、B都在1小時(shí)內移動(dòng)了2公里，可是從A看來(lái)，則B在1小時(shí)內就移動(dòng)了4公里。運動(dòng)是矛盾的，所以運動(dòng)是不可能的。

　　芝諾揭示的矛盾是深刻而復雜的。前兩個(gè)悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無(wú)限可分，因而運動(dòng)是連續的觀(guān)點(diǎn)，后兩個(gè)悖論詰難了時(shí)間和空間不能無(wú)限可分，因而運動(dòng)是間斷的觀(guān)點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專(zhuān)門(mén)針對數學(xué)的，但是它們在數學(xué)王國中卻掀起了一場(chǎng)軒然大被。它們說(shuō)明了希臘人已經(jīng)看到“無(wú)窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無(wú)法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無(wú)窮小。

　　經(jīng)過(guò)許多人多年的努力，終于在17世紀晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門(mén)學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績(jì)主要在于：把各種有關(guān)問(wèn)題的解法統一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由于運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時(shí)解決問(wèn)題的重要工具。同時(shí)，關(guān)于微積分基礎的問(wèn)題也越來(lái)越嚴重。關(guān)鍵問(wèn)題就是無(wú)窮小量究競是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學(xué)界甚至哲學(xué)界長(cháng)達一個(gè)半世紀的爭論，造成了第二次數學(xué)危機。

　　無(wú)窮小量究竟是不是零？?jì)煞N答案都會(huì )導致矛盾。牛頓對它曾作過(guò)三種不同解釋?zhuān)?669年說(shuō)它是一種常量；1671年又說(shuō)它是一個(gè)趨于零的變量；1676年它被“兩個(gè)正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無(wú)法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無(wú)窮小量成比例的有限量的差分來(lái)代替無(wú)窮小量，但是他也沒(méi)有找到從有限量過(guò)渡到無(wú)窮小量的橋梁。

　　英國大主教貝克萊于1734年寫(xiě)文章，攻擊流數(導數)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數的人，是不會(huì )因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的�！彼�說(shuō)，用忽略高階無(wú)窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結果”。貝克萊雖然也抓住了當時(shí)微積分、無(wú)窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問(wèn)題，不過(guò)他是出自對科學(xué)的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學(xué)的追求和探索。

　　當時(shí)一些數學(xué)家和其他學(xué)者，也批判過(guò)微積分的一些問(wèn)題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。例如，羅爾曾說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集�！痹谀莻�(gè)勇于創(chuàng )造時(shí)代的初期，科學(xué)中邏輯上存在這樣那樣的問(wèn)題，并不是個(gè)別現象。

　　18世紀的數學(xué)思想的確是不嚴密的、直觀(guān)的，強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而導數、微分、積分等概念不清楚；無(wú)窮大概念不清楚；發(fā)散級數求和的任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續性就進(jìn)行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

　　直到19世紀20年代，一些數學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀，基本上解決了矛盾，為數學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴格的基礎。

　　波爾查諾給出了連續性的正確定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開(kāi)及求和；柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發(fā)，認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，無(wú)窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導數和積分；狄里赫利給出了函數的現代定義。在這些工作的基礎上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，并把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。

　　19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實(shí)數理論，而且在實(shí)數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學(xué)分析建立在實(shí)數理論的嚴格基礎之上。

　　三角函數線(xiàn)

　　一、知識與技能

　　1. 會(huì )用三角函數線(xiàn)分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數值

　　2.借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義；

　　3.能利用三角函數線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數問(wèn)題

　　二、過(guò)程與方法

　　1.借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀(guān)察、發(fā)現、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗探索的能力；

　　2.讓學(xué)生從所學(xué)知識基礎上發(fā)現新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數學(xué)表述等基本數學(xué)思維能力.

　　三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　1.通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現共同探究獲取知識.

　　2.通過(guò)三角函數線(xiàn)學(xué)習，使學(xué)生進(jìn)一步加深對數形結合思想的理解，培養良好的思維習慣，拓展思維空間

　　教學(xué)重點(diǎn)：三角函數線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應用

　　教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).

　　授課類(lèi)型：新授課

　　課時(shí)安排：1課時(shí)

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、溫故而知新

　　1. 前面我們學(xué)習了利用單位圓定義三角函數，

　　復習：1單位圓的定義：圓心在圓點(diǎn)，半徑等于單位長(cháng)的圓叫做單位圓。

　　2 三角函數的定義：如圖,設是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:

　　(1)叫做的正弦(sine),記做,即；

　　(2)叫做的余弦(cossine),記做,即；

　　(3)叫做的正切(tangent),記做,即.

　　正弦函數,余弦函數,正切函數統稱(chēng)為三角函數

　　師：我們那么能否在此基礎上用幾何圖形來(lái)表示任意角的正弦、余弦、正切函數值呢？這就是我們今天一起要研究的問(wèn)題.

　　二、研探新知

　　(1)設角的'終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn),垂足M,

　　用的三角函數表示點(diǎn)P的坐標 ;

　　線(xiàn)段OM的長(cháng)度|OM|= ;

　　線(xiàn)段MP的長(cháng)度|MP|= .

　　(利用幾何畫(huà)板演示,角的變化過(guò)程中,角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標的變化)

　　|MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|

　　(2)思考1:如何去掉上述等式中的絕對值符號,為此能否給線(xiàn)段OM,MP規定一個(gè)適當的方向,使它們的取值與點(diǎn)P的坐標一致?

　　2.有向線(xiàn)段

　　我們知道，直角坐標系內點(diǎn)的坐標與坐標軸的方向有關(guān).

　　當角的終邊不在坐標軸上時(shí), 規定：

　　(1) 以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)的線(xiàn)段：當線(xiàn)段與軸同向時(shí)，的方向為正向，且有正值；當線(xiàn)段與軸反向時(shí)，的方向為負向，且有負值；其中為點(diǎn)的橫坐標.這樣,無(wú)論那種情況都有

　　(2)以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)的線(xiàn)段，當線(xiàn)段與軸同向時(shí)，的方向為正向，且有正值；當線(xiàn)段與軸反向時(shí)，的方向為負向，且有負值；其中為點(diǎn)的縱坐標.這樣,無(wú)論那種情況都有

　　像這種被看作帶有方向的線(xiàn)段，叫做有向線(xiàn)段.

　　思考2:你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線(xiàn)段來(lái)表示角的正切值嗎？

　　過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線(xiàn)，它與角的終邊或其反向延長(cháng)線(xiàn)交與點(diǎn).

　　(利用幾何畫(huà)板演示)

　　根據正切函數的定義與相似三角形的知識,借助有向線(xiàn)段,我們有

　　三、三角函數線(xiàn)

　　由上述四個(gè)圖看出：當角的終邊不在坐標軸上時(shí)，有向線(xiàn)段，

　　于是有

　　我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段分別稱(chēng)為角的正弦線(xiàn),余弦線(xiàn),正切線(xiàn).他們統稱(chēng)三角函數線(xiàn)

　　幾點(diǎn)說(shuō)明：

　�、偃龡l有向線(xiàn)段的位置：正弦線(xiàn)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線(xiàn)段；余弦線(xiàn)在軸上；正切線(xiàn)在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線(xiàn)上，三條有向線(xiàn)段中兩條在單位圓內，一條在單位圓外。

　�、谌龡l有向線(xiàn)段的方向：正弦線(xiàn)由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線(xiàn)由原點(diǎn)指向垂足；正切線(xiàn)由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。

　�、廴龡l有向線(xiàn)段的正負：三條有向線(xiàn)段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負值。

　�、苋龡l有向線(xiàn)段的書(shū)寫(xiě)：有向線(xiàn)段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

　　思考1：角的終邊在x軸或y軸上時(shí), 角的正弦線(xiàn),余弦線(xiàn),正切線(xiàn)是怎樣的?

　　思考2：觀(guān)察角的終邊在各位置的情形,分析三角函數線(xiàn)的變化情況？

　　四、師生共議，排難解惑，發(fā)展思維

　　例1.畫(huà)出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)：

　�。�1）；； （2）．

　　學(xué)生練習：畫(huà)出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)：

　�。�1） （2）

　　師：請大家總結這三種三角函數線(xiàn)的作法：

　　第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)；

　　第二步：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，設垂足為，得正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)；

　　第三步：過(guò)點(diǎn)(1,0)作單位圓的切線(xiàn)，它與角的終邊或其反向延長(cháng)線(xiàn)的交點(diǎn)設為，得角的正切線(xiàn).

　　特別注意：三角函數線(xiàn)是有向線(xiàn)段，在用字母表示這些線(xiàn)段時(shí)，要注意它們的方

　　向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書(shū)寫(xiě)

　　五、三角函數線(xiàn)的應用

　　例1. 利用三角函數線(xiàn)比較下列各組數的大�。�

　　(1) 與 ； (2) tan與tan ；(3)；

　　(4)已知，試比較的大小.

　　例2已知是第一象限角，證明sinα+ cosα＞1;

　　分析：作單位圓，正弦sina=MP;余弦cosa=OM OP=1

　　在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sinα+cosα＞1;

　　課后深入探究：

　　(1) 對任意角有，sin2 + cos2 = 1

　　(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,

　　例3利用三角函數線(xiàn)作出符合下列條件的角的終邊，并寫(xiě)出這些角的集合：

　�。�1） （2） （3）

　　例3變式 利用三角函數線(xiàn)作出符合下列條件的角的終邊，并寫(xiě)出這些角的集合：

　�。�1） ; （2）≤- .

　　分析：先作出滿(mǎn)足，的角的終邊，

　　然后根據已知條件確定角終邊的范圍.

　　六、變式練習，強化概念

　　變式1：利用三角函數線(xiàn)作出符合下列條件的角的終邊，并寫(xiě)出這些角的集合：

　�。�1）； 高中物理 （2）； （3）tana （4）；

　　變式2：求下列函數的定義域：

　�。�1） y = (2) y = lg(3－4sin2x) .

　　七.課堂小結

　　(1)了解有向線(xiàn)段的概念.

　　(2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角的正弦,余弦,正切函數值分別用正弦線(xiàn),余弦線(xiàn),正切線(xiàn)表示出來(lái).

　　(3)用三角函數線(xiàn)理解三角函數的定義

　�。�4）體會(huì )三角函數線(xiàn)的簡(jiǎn)單應用.

　　八、作業(yè)：

　　1課后練習第三題

　　2預習同角三角函數基本關(guān)系式

　　教學(xué)后記：本節課容量較大，使用多媒體輔助教學(xué)，幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示功能正好可以幫助學(xué)生做數學(xué)試驗，探討數學(xué)問(wèn)題。這樣充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，既豐富了三角函數線(xiàn)的概念，又培養了學(xué)生發(fā)現問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，探索精神、創(chuàng )新意識也有了相應的提高。例3變式是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生會(huì )遇到三個(gè)障礙，一是：兩個(gè)角的確定，二是從相等到不等式的過(guò)渡問(wèn)題，三是角的集合的表示問(wèn)題。教學(xué)時(shí)應讓引導學(xué)生自己總結出解題方法和步驟 ，安排例3目的是為例3變式作鋪墊作用，同時(shí)也降低了知識的難度，讓其基礎差的學(xué)生也能學(xué)習和掌握知識。另外安排課后深入探究其目的為下節內容作鋪墊作用。

　　《2.2 直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)》測試題

　　一、選擇題

　　1.下面命題中正確的是( )．

　�、偃粢粋�(gè)平面內有兩條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；

　�、谌粢粋�(gè)平面內有無(wú)數條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；

　�、廴粢粋�(gè)平面內任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；

　�、苋粢粋�(gè)平面內的兩條相交直線(xiàn)分別與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．

　　A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④

　　考查目的：考查平面與平面平行的判定.

　　答案：D.

　　解析：①②中兩個(gè)平面可以相交，③是兩個(gè)平面平行的定義，④是兩個(gè)平面平行的判定定理.

　　2.(2011浙江)若直線(xiàn)不平行于平面，且，則( )．

　　A.內的所有直線(xiàn)與異面 B.內不存在與平行的直線(xiàn)

　　C.內存在唯一的直線(xiàn)與平行 D.內的直線(xiàn)與都相交

　　考查目的：考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系.

　　答案：B.

　　解析：如圖，在內存在直線(xiàn)與相交，所以A不正確；若內存在直線(xiàn)與平行，又∵，則∥，與題設相矛盾，∴B正確，C不正確；在內不過(guò)與交點(diǎn)的直線(xiàn)與異面，D不正確.

　　3.(2012全國理)已知正四棱柱中 ，AB=2，，E為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面BED的距離為( )．

　　A.2 B. C. D.1

　　考查目的：考查直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì).

　　答案：D．

　　解析：連結交于點(diǎn)，連結，∵是的中點(diǎn)，∴，且，∴∥平面，即直線(xiàn) 與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的距離，過(guò)C做于，則即為所求距離. ∵底面邊長(cháng)為2，高為，∴，，，利用等積法得.

　　二、填空題

　　4.平面∥平面，，，則直線(xiàn)，的位置關(guān)系是________.

　　考查目的：考查平面與平面平行的性質(zhì).

　　答案：平行或異面.

　　解析：直線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)與平行或異面.

　　5.在正方體中，E是的中點(diǎn)，則與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)_______.

　　考查目的：考查直線(xiàn)與平面平行的判定.

　　答案：平行.

　　解析：如圖，連接AC、BD交于O點(diǎn)，連結OE，∵OE∥，而OE?平面ACE， BD平面ACE，∴∥平面ACE.

　　6.(2011福建文)如圖，正方體中，AB=2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面，則線(xiàn)段EF的長(cháng)度等于_____________.

　　考查目的：考查直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì).

　　答案：.

　　解析：∵∥平面，平面，平面平面，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，得.又∵E為AD的中點(diǎn)，∴F是CD的中點(diǎn)，即EF為的中位線(xiàn)，∴.又∵正方體的棱長(cháng)為2，∴，∴.

　　三、解答題

　　7.(2011天津改編)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：.

　　考查目的：考查直線(xiàn)與平面平行的判定.

　　解析：連接，.在平行四邊形中，∵為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn).又∵為的中點(diǎn)，∴.∵平面，?平面，∴.

　　8.如圖，在三棱柱中，E，F，G，H分別是AB，AC，，的中點(diǎn)，求證：

　�、臖，C，H，G四點(diǎn)共面；⑵平面∥平面BCHG.

　　考查目的：考查平面與平面平行的判定．

　　答案：(略).

　　解析：⑴∵GH是的中位線(xiàn)，∴GH∥.又∵∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.

　�、啤逧、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵=EB且∥EB，∴四邊形是平行四邊形，∴∥GB.∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴∥平面BCHG.∵EF＝E，∴平面∥平面BCHG.

　　高中數學(xué)筆記誤區分析

　　俗話(huà)說(shuō)：“好記性不如爛筆頭�！钡拇_，上課時(shí)把講的概念、公式和解題技巧記下來(lái)，把聽(tīng)過(guò)或看過(guò)的重要信息清晰地保存下來(lái)，有利于減輕負擔，提高。但在實(shí)際中，不少同學(xué)忙于記筆記，沒(méi)有處理好聽(tīng)、看、記和思的關(guān)系，顧此失彼，從而影響效果。這里，筆者僅就同學(xué)們在筆記中存在的幾種誤區進(jìn)行分析，以幫助大家提高記筆記的。

　　誤區之一：筆記成了教學(xué)實(shí)錄

　　有的同學(xué)習慣于“教師講，自己記，復習背，模仿”的學(xué)習，一節課下來(lái)，他們的筆記往往記了幾頁(yè)紙，可以說(shuō)是教材和教師板書(shū)的“映射”，成了教學(xué)實(shí)錄。這些同學(xué)過(guò)分依賴(lài)筆記，忽視的講解，忽視思考，以為講的沒(méi)有聽(tīng)懂不要緊，只要課后認真看筆記就可以了。殊不知，這樣做往往會(huì )忽視的一些精彩分析，使自己對的理解膚淺，增加學(xué)習負擔，學(xué)習效率反而降低，易形成惡性循環(huán)。一般來(lái)講，在數學(xué)的學(xué)習中，上課要以聽(tīng)講和思考為主，并簡(jiǎn)明扼要地把教師講的思路記下來(lái)，課本上敘述詳細的地方可以不記或略記。同時(shí)，要記下自己的疑問(wèn)或閃光的思想。如老師講概念或公式時(shí)，主要記的發(fā)生背景、實(shí)例、分析思路、關(guān)鍵的推理步驟、重要結論和注意事項等；對復習講評課，重點(diǎn)要記解題策略(如審題、思路分析、最優(yōu)解法等)以及典型錯誤與原因剖析，總結過(guò)程，揭示解題規律。記筆記時(shí)，不要把筆記本記滿(mǎn)，要留有余地，以便課后反思、整理，這樣既可以提高效率，又有利于課后有針對性的復習，從而收到事半功倍的效果。

　　誤區之二：筆記本成了習題集

　　翻開(kāi)一些同學(xué)的數學(xué)筆記本，可以說(shuō)是大全以及一些解題技巧、一題多解之類(lèi)的集錦，很少涉及知識點(diǎn)之間的聯(lián)系、思想方法的提煉及解題策略的整理，沒(méi)有自己的鉆研體驗，筆記本成了習題集。誠然，做題是學(xué)習數學(xué)的基本途徑，多積累一些習題也是必要的，但若一味做題抄

　　錄，不認真領(lǐng)悟其中蘊含的重要數學(xué)思想和方法，是學(xué)不好數學(xué)的。經(jīng)驗告訴我們，少量典型習題及其解法的確要記在筆記本上，但不能就題論題，而是要把重點(diǎn)放在習題價(jià)值的挖掘上，即注意寫(xiě)好解題評注。這就好比安裝在高速公路兩旁的路標，它們會(huì )提醒你何時(shí)減速，何時(shí)急轉彎，何時(shí)遇到岔路口等。解題也是如此，易錯之處或重要的解題思想，要用簡(jiǎn)短精煉的詞語(yǔ)作為評注，把閃光的智慧用筆頭記下來(lái)，這對積累經(jīng)驗，提升數學(xué)素養大有裨益。隔一段時(shí)間后，再把它們拿出來(lái)推敲一番，往往會(huì )溫故知新�？傊�，筆記應成為自己研究數學(xué)的心得，指引學(xué)習前進(jìn)方向的路標。

　　誤區之三：筆記本成了過(guò)期“期刊”

　　有些同學(xué)的筆記本好比過(guò)期期刊，時(shí)間一長(cháng)就棄于一旁，沒(méi)有發(fā)揮它應有的作用，實(shí)在可惜。事實(shí)上，許多高考優(yōu)勝者的經(jīng)驗之一就是使自己的筆記成為個(gè)人的“學(xué)習檔案”和最重要的復習。因為，好的筆記是課本知識的濃縮、補充和深化，是思維過(guò)程的展現與提煉。合理利用筆記可以節省時(shí)間，突出重點(diǎn)、提高效率。當然，還要經(jīng)常對筆記進(jìn)行階段性整理和補充，建立有個(gè)性的學(xué)習體系。如可以分類(lèi)建立“錯題集”，整理每次練習和考試中出現的錯誤，并作剖析；還可以將筆記整理為“妙題巧解”、“方法點(diǎn)評”、“易錯題”等類(lèi)別。只要這樣堅持做下去，不斷擴大成果，就能克服“盲點(diǎn)”，走出&ldquo 高二;誤區”，到了緊張的綜合復習階段，就會(huì )顯得輕松、有序，還可以騰出更多的精力和時(shí)間，把所學(xué)知識系統化、信息化。

【《1.2 應用舉例》測試題及答案參考】相關(guān)文章：

關(guān)于應用舉例的測試題05-04

1.2 基本算法語(yǔ)句測試題參考04-30

1.2 基本算法語(yǔ)句測試題參考08-21

電阻測試題及答案參考05-03

數學(xué)測試題及答案參考05-03

理想測試題及答案參考06-29

《理想》測試題及答案參考06-29

漁測試題及答案參考06-20

小升初英語(yǔ)測試題及答案參考05-15