全國高中數學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A卷）
高中數學(xué)聯(lián)賽篇一：2015年全國高中數學(xué)聯(lián)賽試題
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿(mǎn)分64分
1.設a,b為不相等的實(shí)數，若二次函數f(x)?x2?ax?b滿(mǎn)足f(a)?f(b)，則f(2)的值為2.若實(shí)數?滿(mǎn)足cos??tan?，則1?cos4?的值為sin?
3.已知復數數列{zn}滿(mǎn)足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,3,?)，其中i為虛數單位，zn表示zn的共軛復數，則z2015的值為4.在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,邊DC（包含點(diǎn)D,C）上的動(dòng)點(diǎn)P與CB延長(cháng)線(xiàn)上（包含
點(diǎn)B）的動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足DP?BQ,則向量PA與向量PQ的數量積PA?PQ的最小值為
5.在正方體中隨機取3條棱，它們兩兩異面的概率為
6.在平面直角坐標系xOy中，點(diǎn)集K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所對應的平面區域的面積為
7.設?為正實(shí)數，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，則?的取值范圍是
8.對四位數abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)，若a?b,b?c,c?d，則稱(chēng)abcd為P類(lèi)數，若a?b,b?c,c?d，則稱(chēng)abcd為Q類(lèi)數，用N(P),N(Q)分別表示P類(lèi)數與Q類(lèi)數的個(gè)數，則N(P)?N(Q)的值為??
二、解答題：本大題共3小題，滿(mǎn)分56分，解答應寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
9.（本題滿(mǎn)分16分）若實(shí)數a,b,c滿(mǎn)足2a?4b?2c,4a?2b?4c，求c的最小值.
10.（本題滿(mǎn)分20分）設a1,a2,a3,a4是4個(gè)有理數，使得
31??aa1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值.?ij??28??
x2
11.（本題滿(mǎn)分20分）在平面直角坐標系xOy中，F1,F2分別是橢圓?y2?1的左、右焦點(diǎn)，2
設不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B，焦點(diǎn)F2到直線(xiàn)l的距離為d，如果直線(xiàn)AF1,l,BF1的斜率依次成等差數列，求d的取值范圍.
2015年全國高中數學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（A卷）
一、（本題滿(mǎn)分40分）設a1,a2,?,an(n?2)是實(shí)數，證明：可以選取?1,?2,?,?n??1,?1?，使?????n2?得??ai?????iai??(n?1)??ai?.?i?1??i?1??i?1?
二、（本題滿(mǎn)分40分）設S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n個(gè)互不相同的有限集合
�。╪?2），滿(mǎn)足對任意的Ai,Aj?S，均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.證明：存在x??Ai，1?i?ni?1nn2n2使得x屬于A(yíng)1,A2,?,An中的至少n個(gè)集合（這里X表示有限集合X的元素個(gè)數）.k?上一點(diǎn)，點(diǎn)K在線(xiàn)段AP上，使得三、（本題滿(mǎn)分50分）如圖，?ABC內接于圓O，P為BC
BK平分?ABC，過(guò)K,P,C三點(diǎn)的圓?與邊AC交于D，連接BD交圓?于點(diǎn)E，連接PE并延長(cháng)與邊AB交于點(diǎn)F.證明：?ABC?2?FCB.（解題時(shí)請將圖畫(huà)在答卷紙上）
四、（本題滿(mǎn)分50分）求具有下述性質(zhì)的所有正整數k：
(kn)!對任意正整數n，2(k?1)n?1不整除.
n!
高中數學(xué)聯(lián)賽篇二：高中數學(xué)聯(lián)賽基本知識集錦
高中數學(xué)聯(lián)賽基本知識集錦
一、三角函數
常用公式
由于是講競賽，這里就不再重復過(guò)于基礎的東西，例如六種三角函數之間的轉換，兩角和與差的三角函數，二倍角公式等等。但是由于現在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫(xiě)。先從最基礎的開(kāi)始（這些必須熟練掌握）：
半角公式
sin?
2??1?cos2
cos?1?cos?
2??2
tan?1?cos?
2??1?cos??1?cos?sin?
sin??1?cos?
積化和差
sin?cos??1
2?sin??????sin??????
cos?sin??1
2?sin??????sin??????
cos?cos??1
2?cos??????cos??????
sin?sin???1
2?cos??????cos??????
和差化積
sin??sin??2sin???
2cos???
2
sin??sin??2cos??????
2sin2
cos??cos??2cos??????
2cos2
cos??cos???2sin??????
2sin2
萬(wàn)能公式
sin2??2tan?
1?tan2?
1?tan2
cos2???
1?tan2?
tan2??2tan?
1?tan2?
三倍角公式
sin3??3sin??4sin3??4sin60???sin?sin60???
cos3??4cos3??3cos??4cos60???cos?cos60???
二、某些特殊角的三角函數值
????????
三、三角函數求值
給出一個(gè)復雜的式子，要求化簡(jiǎn)。這樣的題目經(jīng)�？�，而且一般化出來(lái)都是一個(gè)具體值。要熟練應用上面的常用式子，個(gè)人認為和差化積、積化和差是競賽中最常用的，如果看到一些不常用的角，應當考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時(shí)候，可以考慮先乘一個(gè)三角函數，然后利用積化和差化簡(jiǎn)，最后再把這個(gè)三角函數除下去
舉個(gè)例子
2?4?6??cos?cos777
2?提示：乘以2sin，化簡(jiǎn)后再除下去。7求值：cos
求值：cos10??cos50??sin40?sin80?
來(lái)個(gè)復雜的
設n為正整數，求證22?sin
i?1ni?2n?1?2n?12n
另外這個(gè)題目也可以用復數的知識來(lái)解決，在復數的那一章節里再講
四、三角不等式證明
最常用的公式一般就是：x為銳角，則sinx?x?tanx；還有就是正余弦的有界性。例
求證：x為銳角，sinx+tanx<2x
設x?y?z??
12，且x?y?z??
2，求乘積cosxsinycosz的最大值和最小值。
注：這個(gè)題目比較難
數列
關(guān)于數列的知識可以說(shuō)怎么學(xué)怎么有，還好我們只是來(lái)了解競賽中最基本的一些東西，不然我可寫(xiě)不完了。?
1給遞推式求通項公式
(1)常見(jiàn)形式即一般求解方法
注：以下各種情況只需掌握方法即可，沒(méi)有必要記住結果，否則數學(xué)就變成無(wú)意義的機械勞動(dòng)了。
�、賏n?1?pan?q
若p=1，則顯然是以a1為首項，q為公差的等差數列，
若p≠1，則兩邊同時(shí)加上qq，變?yōu)閍n?1??p?1p?1?q?p?a??np?1????
顯然是以a1?q為首項，p為公比的等比數列p?1
�、赼n?1?pan?f?n?，其中f(n)不是常數
若p=1，則顯然an=a1+?f?i?，n≥2
i?1n?1
若p≠1，則兩邊同時(shí)除以pn+1，變形為an?1anf?n???n?1nn?1ppp
n?1ana1n?1f?i?f?i??n?1?利用疊加法易得n???i?1，從而an?p?a1??i?pi?1ppi?1p??
注：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們再介紹一些屬于數學(xué)競賽中的“高級方法”。
(2)不動(dòng)點(diǎn)法
當f(x)=x時(shí)，x的取值稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：an?1?a?an?bc?an?d
注：我感覺(jué)一般非用不動(dòng)點(diǎn)不可的也就這個(gè)了，所以記住它的解法就足夠了。
我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數，又要求倒數之類(lèi)的，太復雜，如果用不動(dòng)點(diǎn)的方法，此題就很容易了令x?a?x?b2，即cx??d?a?x?b?0，c?x?d
令此方程的兩個(gè)根為x1，x2，
若x1=x2
則有
11??pan?1?x1an?x1
其中k可以用待定系數法求解，然后再利用等差數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=
若x1≠x2則有2ca?d
an?1?x1a?x1?q?n
an?1?x2an?x2
其中k可以用待定系數法求解，然后再利用等比數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將q的表達式記住，q=a?cx1a?cx2
(3)特征根法
特征根法是專(zhuān)用來(lái)求線(xiàn)性遞推式的好方法。
先來(lái)了解特征方程的一般例子，通過(guò)這個(gè)來(lái)學(xué)會(huì )使用特征方程。
�、賏n?2?pan?1?qan
特征方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2
nn則其通項公式為an?A?x1，A、B用待定系數法求得。?B?x2
�、赼n?3?pan?2?qan?1?ran
特征方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3
nnn則其通項公式為an?A?x1，A、B、C用待定系數法求得。?B?x2?C?x3
注：通過(guò)這兩個(gè)例子我們應當能夠得到特征方程解線(xiàn)性遞歸式的一般方法，可以試著(zhù)寫(xiě)出對于一般線(xiàn)性遞歸式的特征方程和通項公式，鑒于3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見(jiàn)，我們僅需掌握這兩種就夠了。
(4)數學(xué)歸納法
簡(jiǎn)單說(shuō)就是根據前幾項的規律猜出一個(gè)結果然后用數學(xué)歸納法去證。這樣的題雖說(shuō)有不少但是要提高不完全歸納的水平實(shí)在不易。大家應當都會(huì )用數學(xué)歸納法，因此這里不詳細說(shuō)了。但需要記得有這樣一個(gè)方法，適當的時(shí)候可以拿出來(lái)用。
(5)聯(lián)系三角函數
三角函數是個(gè)很奇妙的.東西，看看下面的例子
an?1?2an21?an
看起來(lái)似乎摸不著(zhù)頭腦，只需聯(lián)系正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。
注：這需要我們對三角函數中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書(shū)中能見(jiàn)到很多。
例
數列?an?定義如下：a1?2，求?an?通項2，an?1?2?4?an
注：這個(gè)不太好看出來(lái)，試試大膽的猜想，然后去驗證。
(6)迭代法
先了解迭代的含義
f0?x??x，f1?x??f?x?，f2?x??f?f?x??，f3?x??f?f?f?x???，??
f右上角的數字叫做迭代指數，其中f
再來(lái)了解復合的表示?n?x?是表示fn?x?的反函數
f?g?x??f?g?x??，f?g?h?x??f?g?h?x???
如果設F?x??g?1?f?g?x?，則Fn?x??g?1?fn?g?x?，就可以將求F(x)的迭代轉變?yōu)榍骹(x)的迭代。這個(gè)公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎。
而在數列中我們可以將遞推式看成an?1?F?an?，因此求通項和求函數迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡(jiǎn)單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項公式。
練習
?an?滿(mǎn)足a1?1，a2?2，a2n?1?已知數列a2n?a2n?1，a2n?2?a2n?1a2n，試求數列的2
通項公式。
注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項公式的常用方法。
下面是我的一個(gè)原創(chuàng )題目
已知數列?an?滿(mǎn)足a1?0，a2?1，an?1?n??an?an?1?，求該數列的通項公式。
2數列求和
求和的方法很多，像裂項求和，錯位相減等等，這些知識就算單純應付高考也應該都掌握了，這里不再贅述。主要寫(xiě)競賽中應當掌握的方法——阿貝爾恒等式。
阿貝爾（Abel）恒等式
有多種形式，最一般的是
?ab??S?bkkk
k?1k?1nn?1k?bk?1??Snbn
其中Sk??a
i?1kk
注：個(gè)人認為，掌握這一個(gè)就夠了，當然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。
高中數學(xué)聯(lián)賽篇三：2014全國高中數學(xué)聯(lián)賽試題
2014全國高中數學(xué)聯(lián)賽試題
一、填空題
1、若正數a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),則
11
?的值為_(kāi)_________ab
2、設集合{?b|1?a?b?2}中的最大值與最小值分別為M,m，則M?m=_________3、若函數f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上單調遞增，則a的取值范圍為_(kāi)______4、數列{an}滿(mǎn)足a1?2,an?1?
3a
2(n?2)a2014
an(n?N?)，則=_________n?1a1?a2?...?a2013
5、已知正四棱錐P?ABCD中，側面是邊長(cháng)為1的正三角形，M,N分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)MN與PC之間的距離是_____________
6、設橢圓?的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1,F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)與?交于點(diǎn)P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且
3|PF1|?4|QF1|，則橢圓?的短軸與長(cháng)軸的比值為_(kāi)_________
7、設等邊三角形ABC的內切圓半徑為2，圓心為I。若點(diǎn)P滿(mǎn)足PI?1，則?ABC與
?APC的面積之比的最大值為_(kāi)_________8、設A,B,C,D是空間四個(gè)不共面的點(diǎn)，以
1
的概率在每對點(diǎn)之間連一條邊，任意兩點(diǎn)之2
間是否連邊是相互獨立的，則A,B可用（一條邊或者若干條邊組成的）空間折線(xiàn)連接的概率是__________
二、解答題
P是不在x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，9、平面直角坐標系xOy中，滿(mǎn)足條件：過(guò)P可作拋物線(xiàn)y?4x
的兩條切線(xiàn)，兩切點(diǎn)連線(xiàn)lP與PO垂直。設直線(xiàn)lP與PO，x軸的交點(diǎn)分別為Q,R，（1）證明：R是一個(gè)頂點(diǎn)（2）球
2
|PQ|
的最小值|QR|
10、數列{an}滿(mǎn)足a1?
?
,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整數m，使得
6
sina11sina2......sianm?
100
11、確定所有的復數?，使得對任意的復數z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2
|z1|,|z2|?1,z1?z2），均有
�。�
2014全國高中數學(xué)聯(lián)賽二試
一、（本題滿(mǎn)分40分）設a,b,c?R，滿(mǎn)足a?b?c?1，abc?0，
求證：bc?ca?ab?
abc1
?24
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