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平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計范文（精選11篇）
在教學(xué)工作者實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，就有可能用到教學(xué)設計，教學(xué)設計是對學(xué)業(yè)業(yè)績(jì)問(wèn)題的解決措施進(jìn)行策劃的過(guò)程。我們應該怎么寫(xiě)教學(xué)設計呢？以下是小編幫大家整理的平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計范文，歡迎大家分享。
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 1
一、本課數學(xué)內容的本質(zhì)、地位、作用分析；
平行四邊形是最基本的幾何圖形，也是“空間與圖形”領(lǐng)域中研究的主要對象之一．它在生活中有著(zhù)十分廣泛的應用，這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質(zhì)在生產(chǎn)、生活各領(lǐng)域的實(shí)際應用。
本節課既是平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學(xué)習矩形、菱形、正方形等知識的堅實(shí)基礎，在教材中起著(zhù)承上啟下的作用．平行四邊形的性質(zhì)還為證明兩條線(xiàn)段相等、兩角相等、兩直線(xiàn)平行提供了新的方法和依據，拓寬了學(xué)生的解題思路。
另外本節課是在學(xué)生掌握了平移、旋轉和軸對稱(chēng)知識的基礎上探究平行四邊形的性質(zhì)，能使學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)，對于培養學(xué)生的合情推理能力、發(fā)散思維能力以及探索、體驗數學(xué)思維規律等方面起著(zhù)重要的作用。
二、教學(xué)目標分析；
教學(xué)目標：
知識技能：理解并掌握平行四邊形的相關(guān)概念和性質(zhì)，培養學(xué)生初步應用這些知識解決問(wèn)題的能力。
數學(xué)思考：通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力和發(fā)散思維能力。
解決問(wèn)題：學(xué)生親自經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程，體會(huì )解決問(wèn)題策略的多樣性。
情感態(tài)度：培養學(xué)生獨立思考的習慣與合作交流的意識，激發(fā)學(xué)生探索數學(xué)的興趣，體驗探索成功后的快樂(lè )。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質(zhì)．
難點(diǎn)：探究平行四邊形的性質(zhì)．
三、教學(xué)問(wèn)題診斷
在知識方面，學(xué)生在小學(xué)就接觸過(guò)平行四邊形，在感性上對其有所認識；而方法方面，學(xué)生通過(guò)在七年級的學(xué)習已經(jīng)積累了按邊和角學(xué)習三角形的方法，并且學(xué)習了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定；在能力方面，學(xué)生掌握了平移、旋轉和軸對稱(chēng)知識，固而學(xué)生對本節課的學(xué)習已經(jīng)具備了一定的認知技能。但是，在教學(xué)中發(fā)現，學(xué)生對于四邊形的對邊、對角、對角線(xiàn)認識不到位，個(gè)別學(xué)生甚至不知道什么是對邊，還有的分不清對角和對角線(xiàn)，這就為學(xué)習平行四邊形的性質(zhì)產(chǎn)生了障礙。還有的學(xué)生對平行四邊形不是軸對稱(chēng)圖形認識不清，特別是后面學(xué)完了菱形和矩形以及中心對稱(chēng)后，更是對這幾種圖形和兩種對稱(chēng)性分不清。再有，大部分學(xué)生更關(guān)注對知識的掌握，而忽略了對學(xué)習方法的總結。
四、本節課的教法特點(diǎn)以及預期效果分析。
本節課的設計，以建構主義理論為基礎，以問(wèn)題為載體，以學(xué)生的`動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流為主要的學(xué)習方式．在教學(xué)過(guò)程中，實(shí)施開(kāi)放式教學(xué)，創(chuàng )設民主、寬松的教學(xué)氛圍，最大限度地調動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習興趣，引導他們多角度、多方位、多層次地思考問(wèn)題，使他們有足夠的的機會(huì )顯示靈性、展示個(gè)性．教師成為課堂問(wèn)題的激發(fā)者、有序探究的組織者、學(xué)生錯誤的澄清者、多角度思考的促進(jìn)者，使師生成為“數學(xué)學(xué)習的共同體”。
本節課在教法上體現教師的“啟發(fā)引導”，幫助學(xué)生實(shí)現認識上與態(tài)度上的跨越；在學(xué)法上突出學(xué)生的“探索發(fā)現”，在教學(xué)過(guò)程中立足于讓學(xué)生自己去觀(guān)察、去發(fā)現、去創(chuàng )造．利用多媒體、自制教具輔助教學(xué)，增強教學(xué)的直觀(guān)性、實(shí)效性。
基于“創(chuàng )造性地使用教材”和“真正地以學(xué)生為本”的教學(xué)理念，我將教材內容進(jìn)行合理內化、整合，將教材中平行四邊形性質(zhì)的探究活動(dòng)完全開(kāi)放，給學(xué)生充分探索的時(shí)間與空間，動(dòng)手實(shí)驗，動(dòng)腦思考．力圖構建學(xué)生主動(dòng)探索、獲取知識的平臺，使學(xué)生真正成為實(shí)踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者。
另外，把書(shū)中幾個(gè)練習題改編成有趣的解決實(shí)際的問(wèn)題，并做一一連串變式訓練，層層遞進(jìn)，層層加深，解決了學(xué)困生吃不了，優(yōu)生吃不飽的矛盾，培養了學(xué)生思維的嚴謹性、發(fā)散性、靈活性，培養了自己發(fā)現問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生真正成為知識的主動(dòng)建構者．在全體學(xué)生獲得必要發(fā)展的前提下，不同的學(xué)生還可以獲得不同的體驗．應該說(shuō)是對新教材的基本設計思想的一個(gè)很好的詮釋。
總之，本節課力求在深挖概念內涵、拓展性質(zhì)外延、深化練習效用的過(guò)程中達到培養學(xué)生創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力的教學(xué)目的。
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 2
一、教材分析與處理
1．教材的地位與作用
平行四邊形是最基本的幾何圖形，它在生活中有著(zhù)十分廣泛的應用這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質(zhì)在生產(chǎn)、生活各領(lǐng)域的實(shí)際應用。
本節課既是平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學(xué)習矩形、菱形、正方形等知識的堅實(shí)基礎，在教材中起著(zhù)承上啟下的作用．平行四邊形的性質(zhì)還為證明兩條線(xiàn)段相等、兩角相等、兩直線(xiàn)平行提供了新的方法和依據，拓寬了學(xué)生的解題思路。
另外本節課是在學(xué)生掌握了平移、旋轉知識的基礎上探究平行四邊形的性質(zhì)，能使學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)，對于培養學(xué)生的合情推理能力、發(fā)散思維能力以及探索、體驗數學(xué)思維規律等方面起著(zhù)重要的作用．
2．教學(xué)目標
知識與技能：理解并掌握平行四邊形的相關(guān)概念和性質(zhì)，培養學(xué)生初步應用這些知識解決問(wèn)題的能力。
數學(xué)思考：通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗、猜想、驗證、推理、交流等數學(xué)活動(dòng)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力和發(fā)散思維能力。
解決問(wèn)題：學(xué)生親自經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程，體會(huì )解決問(wèn)題策略的多樣性。
情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：培養學(xué)生獨立思考的習慣與合作交流的意識，激發(fā)學(xué)生探索數學(xué)的興趣，體驗探索成功后的快樂(lè )。
3．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質(zhì)。
教學(xué)難點(diǎn)：運用平移、旋轉的圖形變換思想探究平行四邊形的性質(zhì)。
4．教材處理
首先，打破了原教材的知識結構，構建成一個(gè)新的教學(xué)體系。
第1課時(shí)探索平行四邊形的性質(zhì)12及相關(guān)計算。
第2課時(shí)探索平行四邊形性質(zhì)3及相關(guān)計算。
↓重組后
第1課時(shí)探索平行四邊形的性質(zhì)
第2課時(shí)平行四邊形性質(zhì)的應用
本節課是探索平行四邊形的性質(zhì)，這樣安排能很好地體現知識結構的完整性和系統性。
然后，將教材中平行四邊形性質(zhì)的探究活動(dòng)完全開(kāi)放，給學(xué)生充分探索的時(shí)間與空間，動(dòng)手實(shí)驗，動(dòng)腦思考．力圖構建學(xué)生主動(dòng)探索、獲取知識的平臺，使學(xué)生真正成為實(shí)踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者。
最后，把一道文字證明的練習題改編成實(shí)驗操作型問(wèn)題．學(xué)生利用課前準備好的教具制作成模型，讓圖形動(dòng)起來(lái)這樣設計有利于學(xué)生在圖形運動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現其中不變的關(guān)系，從而發(fā)現圖形的性質(zhì)。
總之，教材處理力求在深挖概念內涵、拓展性質(zhì)外延、深化練習效用的過(guò)程中達到培養學(xué)生創(chuàng )新意識和實(shí)踐能力的教學(xué)目的。
二、教學(xué)方法與手段
本節課在教法上體現教師的“啟發(fā)引導”，幫助學(xué)生實(shí)現認識上與態(tài)度上的跨越；在學(xué)法上突出學(xué)生的“探索發(fā)現”；在教學(xué)過(guò)程中立足于讓學(xué)生自己去觀(guān)察、去發(fā)現、去創(chuàng )造．利用多媒體、自制教具、探究活動(dòng)記錄卡輔助教學(xué)，增強教學(xué)的直觀(guān)性、實(shí)效性。
三、教學(xué)程序
創(chuàng )設情境揭示主題
問(wèn)題1：同學(xué)們，你們留意觀(guān)察過(guò)陽(yáng)光透過(guò)長(cháng)方形窗口投在地面上的影子是什么形狀嗎？
學(xué)生根據自己的生活經(jīng)驗，可能回答：平行四邊形、矩形、四邊形……教師利用多媒體向學(xué)生展示：太陽(yáng)光屬于平行光，窗口投在地面上的影子通常是平行四邊形。
問(wèn)題2：愛(ài)動(dòng)腦筋的小剛觀(guān)察到平行四邊形影子有一種對稱(chēng)的美他說(shuō)只要量出一個(gè)內角的度數，就能知道其余三個(gè)內角的度數；只需測出一組鄰邊的長(cháng)，便能計算出它的周長(cháng)這是為什么呢？
通過(guò)本節課的學(xué)習，大家就能明白其中的道理．今天，我們來(lái)共同研究平行四邊形及其性質(zhì)。
[設計意圖：從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，創(chuàng )設情境，提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生強烈的好奇心和求知欲．學(xué)生經(jīng)歷了將實(shí)際問(wèn)題抽象為數學(xué)問(wèn)題的建模過(guò)程]
通過(guò)觀(guān)看學(xué)生習以為常的平行光線(xiàn)在室內的投影片，讓學(xué)生感受到平行四邊形與生活實(shí)際緊密聯(lián)系；同時(shí)，把思維興奮點(diǎn)集中到要研究的平行四邊形上來(lái)，為下面學(xué)習新知識創(chuàng )造了良好開(kāi)端。
實(shí)踐探究感悟新知
活動(dòng)一：拼圖游戲
問(wèn)題1：你能利用手中兩張全等的三角形紙板拼出四邊形嗎？
學(xué)生動(dòng)手操作，教師留意觀(guān)察，請學(xué)生將拼出的6種形狀不同的四邊形展示在黑板上。
[設計意圖：引導學(xué)生感悟知識的生成、發(fā)展和變化，學(xué)生在拼圖活動(dòng)中可以獲得豐富的感知、經(jīng)歷和體驗圖形的變化過(guò)程]
問(wèn)題2：觀(guān)察拼出的這個(gè)四邊形的對邊有怎樣的位置關(guān)系，說(shuō)說(shuō)你的理由．結合拼出的這個(gè)特殊四邊形，給出平行四邊形定義。
[設計意圖：通過(guò)拼圖游戲，讓學(xué)生經(jīng)歷了平行四邊形概念的探究過(guò)程，自然而然地形成平行四邊形的概念，符合學(xué)生的認知規律．避免了以往概念教學(xué)的機械記憶，同時(shí)發(fā)展了學(xué)生的探究意識，培養了學(xué)生思維的廣闊性]
問(wèn)題3：黑板上展示的圖形中，哪些是平行四邊形？
學(xué)生對黑板上拼出的四邊形進(jìn)行識別教師強調定義的兩方面作用：一是可以判定一個(gè)四邊形是不是平行四邊形；二是平行四邊形具有兩組對邊分別平行的性質(zhì)。
[設計意圖：在比較中學(xué)習，能夠加深學(xué)生對平行四邊形概念本質(zhì)的理解滲透類(lèi)比思想]
問(wèn)題4：根據定義畫(huà)一個(gè)平行四邊形
學(xué)生畫(huà)圖，親身感悟平行四邊形．教師畫(huà)圖示范結合圖形介紹平行四邊形對邊、對角、對角線(xiàn)等元素及平行四邊形的記法、讀法。
[設計意圖：通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖操作使學(xué)生對平行四邊形及其相關(guān)元素獲得豐富的直觀(guān)體驗，為下面介紹平行四邊形的對邊、對角、對角線(xiàn)以及從這些基本元素入手探究圖形性質(zhì)做了有利鋪墊]
活動(dòng)二：探究平行四邊形的性質(zhì)
1．活動(dòng)要求
�。�1）請你適當選用材料袋里的學(xué)具；
�。�2）可以采用度量、平移、旋轉、折疊、拼圖等方法；
�。�3）通過(guò)小組合作探究平行四邊形有哪些性質(zhì)；
�。�4）結論寫(xiě)在白紙板上
大家先看清要求，再動(dòng)手操作，結論寫(xiě)在記錄板上。
2．學(xué)生利用學(xué)具（全等的三角形紙板、平行四邊形紙板各一對，格尺，量角器，圖釘）小組合作探究．教師以合作者的身份深入到各小組中，了解學(xué)生的探究過(guò)程并適當予以指導。
[設計意圖：鼓勵學(xué)生探究方式、結果、表示方法的多樣化以及學(xué)生學(xué)習方式的個(gè)性化滿(mǎn)足學(xué)生的多樣化學(xué)習需求．做到既著(zhù)眼于共同發(fā)展，又關(guān)注到個(gè)性差異]
3．匯報：學(xué)生展示實(shí)驗過(guò)程，相互補充探究出的結論．教師要引導學(xué)生將探究出的結論按照邊、角、對角線(xiàn)進(jìn)行歸類(lèi)梳理，使知識的呈現具有條理性。
[設計意圖：小組合作探究結果的展示，從多個(gè)方面完善了學(xué)生對平行四邊形性質(zhì)的認識，大大提高了學(xué)習效率更為重要的是在這一過(guò)程中，讓學(xué)生感悟到學(xué)習方式的轉變．學(xué)生不但完成了學(xué)習任務(wù)，而且還學(xué)會(huì )了與人交流溝通的.本領(lǐng)．這真正體現了“以人為本，促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展”的新課程理念]
4．請大家思考一下，利用我們以前學(xué)習的幾何知識，通過(guò)說(shuō)理能驗證這三個(gè)結論嗎？
教師小結：連接平行四邊形的對角線(xiàn)，是我們常做的輔助線(xiàn)，它構造出兩個(gè)全等的三角形，從而將四邊形問(wèn)題轉化為熟悉的三角形問(wèn)題充分體現了由未知轉化為已知，由繁化簡(jiǎn)的數學(xué)思想。
[設計意圖：注重直觀(guān)操作和簡(jiǎn)單推理的有機結合，把幾何論證作為探究活動(dòng)的自然延續和必然發(fā)展，使學(xué)生的實(shí)踐精神、創(chuàng )新意識和自覺(jué)說(shuō)理意識得到提高]
5．總結：平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形對邊相等
平行四邊形對角相等
平行四邊形對角線(xiàn)互相平分
教師小結：我們用不同的方法，從不同的角度，通過(guò)實(shí)驗、說(shuō)理得到了平行四邊形的性質(zhì)，它為我們得到線(xiàn)段相等、角相等提供了新的方法和依據．
[設計意圖：在開(kāi)放式探究平行四邊形性質(zhì)的活動(dòng)后，再引導學(xué)生總結歸納，由此達到數學(xué)教學(xué)的新境界――提升思維品質(zhì)，形成數學(xué)素養]
開(kāi)放訓練體現應用
1．解決課前提出的實(shí)際問(wèn)題
某時(shí)刻小剛用量角器量出地面上平行四邊形影子的一個(gè)內角是60°，就說(shuō)知道了其余三個(gè)內角的度數；又用直尺量出一組鄰邊的長(cháng)分別是40cm和55cm，便胸有成竹地說(shuō)能夠計算出這個(gè)平行四邊形的周長(cháng)．你知道小剛是如何計算的嗎？這樣計算的根據是什么?
[設計意圖：回扣課始導言，體現了教學(xué)的連貫性，也體現出數學(xué)知識的實(shí)用性．學(xué)以致用的體驗，使學(xué)生感受到數學(xué)學(xué)習是有趣的、豐富的、有價(jià)值的]
2．試一試
用圖釘把一根平放在A(yíng)BCD上的細紙板條固定在對角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)O處撥動(dòng)紙板條，使它隨意停留在任意的位置觀(guān)察幾次撥動(dòng)的結果，你有什么新發(fā)現？記錄下來(lái)，再與同伴交流。
教師深入小組參與活動(dòng)，傾聽(tīng)學(xué)生的交流，鼓勵學(xué)生盡可能多地給出不同的答案。
學(xué)生可能從以下幾方面發(fā)現結論，發(fā)現一些線(xiàn)段相等、一些角相等、一些圖形全等、一些圖形面積相等……
[設計意圖：本題構造了一個(gè)圖動(dòng)→手動(dòng)→腦動(dòng)的動(dòng)態(tài)思維場(chǎng)景學(xué)生在此場(chǎng)景中觀(guān)察、分析、歸納、推理，培養了自己發(fā)現問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生真正成為知識的主動(dòng)建構者．在全體學(xué)生獲得必要發(fā)展的前提下，不同的學(xué)生還可以獲得不同的體驗，應該說(shuō)是對新教材的基本設計思想的一個(gè)很好的詮釋]
反思小結持續發(fā)展
以師生共同小結的方式進(jìn)行
1．知識再現
2．方法總結
解決四邊形問(wèn)題的方法；證明線(xiàn)段相等、角相等的方法
3．思想提煉
轉化、類(lèi)比、抽象、概括
[設計意圖：這是一次知識與情感的交流，濃縮知識要點(diǎn)，突出內容本質(zhì)，滲透思想、方法，培養學(xué)生自我反饋、自主發(fā)展的意識．對整個(gè)課堂的學(xué)習過(guò)程進(jìn)行反思，能夠促進(jìn)理解，提高認識水平，從而促進(jìn)數學(xué)觀(guān)點(diǎn)的形成和發(fā)展，更好地進(jìn)行知識構建，實(shí)現良性循環(huán)]
作業(yè)布置
已知任意三點(diǎn)A、B、C是否存在點(diǎn)D,使得這4個(gè)點(diǎn)順次連結成平行四邊形．如存在，請你做出平行四邊形；如不存在，請說(shuō)明理由。
[設計意圖：本題學(xué)生可以經(jīng)歷二次開(kāi)放、二次分類(lèi)，會(huì )充分感受到問(wèn)題蘊涵的巨大樂(lè )趣]
【設計說(shuō)明】
本節課的設計，以建構主義理論為基礎，以問(wèn)題為載體，以學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流為主要的學(xué)習方式．在教學(xué)過(guò)程中，實(shí)施開(kāi)放式教學(xué)，創(chuàng )設民主、寬松的教學(xué)氛圍，最大限度地調動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習興趣，引導他們多角度、多方位、多層次地思考問(wèn)題，使學(xué)生親身體驗如何“做數學(xué)”、如何實(shí)現數學(xué)的“再創(chuàng )造”的過(guò)程，體現了教師教學(xué)行為與學(xué)生學(xué)習方式的轉變。
一、創(chuàng )設情境把學(xué)生引入問(wèn)題的建模過(guò)程中
本節課以學(xué)生習以為常的“平行光線(xiàn)在室內的投影”為情境引出課題，使學(xué)生很快就找到了參與的切入點(diǎn)和思維的激活點(diǎn)。
二、實(shí)踐探究把學(xué)生引入新知的感悟過(guò)程中
首先，通過(guò)拼圖游戲將數學(xué)的呈現方式轉變?yōu)閿祵W(xué)的生成方式，使學(xué)生經(jīng)歷了平行四邊形概念的發(fā)現和探究過(guò)程，自然而然地形成了概念．學(xué)生不是被動(dòng)地接受知識，而是在教師精心搭造的教學(xué)平臺上去創(chuàng )造知識。
然后，對教材內容進(jìn)行了重組加工，將教材中平行四邊形性質(zhì)的探究活動(dòng)完全開(kāi)放，為學(xué)生建構了合作探究的平臺，營(yíng)造了思維馳騁的空間,滿(mǎn)足了學(xué)生的多樣化學(xué)習需求。
該活動(dòng)的設計滿(mǎn)足了學(xué)生的多樣化學(xué)習需求．做到既著(zhù)眼于共同發(fā)展，又關(guān)注到個(gè)性差異．學(xué)生有足夠的機會(huì )顯示靈性、展示個(gè)性．而教師真正成為課堂問(wèn)題的激發(fā)者、有序探究的組織者、學(xué)生錯誤的澄清者、多角度思考的促進(jìn)者師生互動(dòng),有機結合為“數學(xué)學(xué)習的共同體”。
三、變式訓練把學(xué)生引入思維能力的培養過(guò)程中
把書(shū)中一道文字證明的練習題改編成有趣的實(shí)驗操作型問(wèn)題，做到源于教材，活于教材，使學(xué)生學(xué)會(huì )用運動(dòng)、變化的觀(guān)點(diǎn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題．培養學(xué)生思維的嚴謹性、發(fā)散性、靈活性，達到舉一反三的作用．最大限度地發(fā)揮學(xué)生的潛能，活躍思維，培養學(xué)生的合作意識、創(chuàng )新精神。
四、反思小結把學(xué)生引入可持續發(fā)展的提升過(guò)程中
這節課的結尾，既有對課堂知識的系統小結，又有對思想方法的高度凝練，提升學(xué)生思維品質(zhì)，讓學(xué)生獲得可持續發(fā)展的動(dòng)力。
總之，“以學(xué)生的發(fā)展為本”是本節課的核心思想，教學(xué)設計力求發(fā)揮學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生主動(dòng)參與數學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程，使學(xué)生真正達到“快樂(lè )做數學(xué)”的美好境界。
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 3
＜title＞ 從不同方向看＜/title＞
教學(xué)目標
教學(xué)知識點(diǎn)
1 、掌握平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)。
2 、探索并掌握平行四邊形的對邊相等，對角相等的性質(zhì)。
能力訓練要求
1 、動(dòng)手操作實(shí)踐的過(guò)程中，探索發(fā)現平行四邊形的性質(zhì)。
2 、知道解決平行四邊形問(wèn)題的基本思想是化為三角形問(wèn)題來(lái)解決，滲透轉化思想。
3 、通過(guò)探索平行四邊形的性質(zhì)，培養學(xué)生簡(jiǎn)單的推理能力和邏輯思維能力。
情感與價(jià)值觀(guān)要求
1 、探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程中，感受幾何圖形中呈現的數學(xué)美。
2 、在進(jìn)行探索的活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習慣。
教學(xué)重點(diǎn)
探索平行四邊形的性質(zhì)。
教學(xué)難點(diǎn)
平行四邊形性質(zhì)的理解。
教學(xué)方法：
探索歸納法
教學(xué)過(guò)程：
一、觀(guān)賞生活中的圖片，引入課題
下面的圖片中，有你熟悉的哪些圖形？
�。ㄔO計這個(gè)活動(dòng)，一方面可讓學(xué)生認識到平行四邊形在生活、生產(chǎn)中的應用，另一方面讓學(xué)生在復雜的圖形中認識平行四邊形。）
二、開(kāi)啟智慧
1 、操作活動(dòng)：
讓學(xué)生進(jìn)行如下操作后，思考以下問(wèn)題：
將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，設法找到某一邊的中點(diǎn)，記作點(diǎn)O，將上層的三角形紙片繞點(diǎn)O旋轉180度，下層的三角形紙片保持不動(dòng)，得到一個(gè)圖形。（用幾何畫(huà)板平臺展示整個(gè)過(guò)程）
2 、觀(guān)察、討論：
�。�1）兩張紙片拼成了怎樣的圖形？它是四邊形嗎？
�。�2）這個(gè)圖形中有哪些相等的角？有沒(méi)有互相平行的`線(xiàn)段？你是怎樣得到的？
�。�3）用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言刻畫(huà)這個(gè)圖形的特征，并與同伴交流。
3 、平行四邊形的定義
4 、介紹平行四邊形的書(shū)寫(xiě)方式及對角線(xiàn)的定義。
5 、請學(xué)生舉出自己身邊存在的平行四邊形的例子。
6 、學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一個(gè)平行四邊形，并表示出來(lái)。
三、知識源于悟：
1 、做一做（讓學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作）
用一張半透明的紙復制你剛才畫(huà)的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉180度，你能平移該紙片，使它與你畫(huà)的平行四邊形ABCD重合嗎？
2 、討論：（小組交流）
�。�1）通過(guò)以上活動(dòng)，你能得到哪些結論？
�。�2）平行四邊形ABCD對邊、對角分別有什么關(guān)系？能用別的方法驗證你的結論嗎？
3 、結論：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等
四、能力的源泉：
1 、如果已知平行四邊形一個(gè)內角的度數，能確定其它三個(gè)內角的度數嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。
2 、變換角的度數，試一試。
3 、你得到了什么結論？
五、隨堂練習
六、試一試：用平行四邊形設計美麗的圖案。
七、新課小結：
通過(guò)本節課的學(xué)習，你有什么收獲？
�。ㄍ阑ブv，小組交流，師生共同小結）
八、作業(yè)設計：
必做題：習題4.1第1 、 2題。
提高題：（解決問(wèn)題）農民李某想發(fā)展副業(yè)致富，經(jīng)考察地形后，在耕地旁邊的荒地上開(kāi)墾一平行四邊形形狀的魚(yú)塘。能測得∠ BAD＝120 0，量得AB＝50米，AD＝80米。請你幫助李某一下魚(yú)塘的對邊AD 、 BC之間的距離及這個(gè)魚(yú)塘的面積。
九、課后反思
本節課，通過(guò)學(xué)生們自己動(dòng)手操作，自己推導，自己發(fā)現從而得到平行四邊形的有關(guān)知識，充分發(fā)揮學(xué)生們的探究意識和合作交流習慣。
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 4
一、學(xué)習目標
1、經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過(guò)程，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達能力。
2、 會(huì )進(jìn)行簡(jiǎn)單的多項式與多項式的乘法運算
二、學(xué)習過(guò)程
�。ㄒ唬┳詫W(xué)導航
1、創(chuàng )設情境
某地區在退耕還林期間，將一塊長(cháng)m米、寬a米的長(cháng)方形林區的長(cháng)、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。
這塊林區現在的長(cháng)為 米，寬為 米。因而面積為_(kāi)_______米2。
還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。
由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =
如果把（m+n）看作一個(gè)整體，你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎？
2、概括：
多項式乘以多項式的法則：
3、計算
�。�1） （2）
4、練一練
�。�1）
�。ǘ┖献鞴リP(guān)
1、某酒店的廚房進(jìn)行改造，在廚房的中間設計一個(gè)準備臺，要求四面的過(guò)道寬都為x米，已知廚房的長(cháng)寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過(guò)道的總面積。
2、解方程
�。ㄈ┻_標訓練
1、填空題：
�。�1） = =
�。�2） = 。
2、計算
�。�1） （2）
�。�3） (4)
�。ㄋ模┨嵘�
1、怎樣進(jìn)行多項式與多項式的乘法運算？
2、若 的乘積中不含 和 項，則a= b=
應用題
第三十五講 應用題
在本講中將介紹各類(lèi)應用題的解法與技巧．
當今數學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會(huì )的各個(gè)領(lǐng)域，因此，應用數學(xué)去觀(guān)察、分析日常生活現象，去解決日常生活問(wèn)題，成為各類(lèi)數學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn)．
應用性問(wèn)題能引導學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會(huì )，使學(xué)生充分到數學(xué)與自然和人類(lèi)社會(huì )的密切聯(lián)系，增強對數學(xué)的理解和應用數學(xué)的信心．
解答應用性問(wèn)題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì )運用數學(xué)知識去觀(guān)察、分析、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數學(xué)本質(zhì)，將其轉化為數學(xué)模型．其求解程序如下：
在初中范圍內常見(jiàn)的數學(xué)模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等．
例題求解
一、用數式模型解決應用題
數與式是最基本的數學(xué)語(yǔ)言，由于它能夠有效、簡(jiǎn)捷、準確地揭示數學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達數學(xué)問(wèn)題的重要方法．
【例1】(2003年安徽中考題)某風(fēng)景區對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格進(jìn)行了調整，據統計，調價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數基本不變。有關(guān)數據如下表所示：
景點(diǎn)ABCDE
原價(jià)（元）1010152025
現價(jià)（元）55152530
平均日人數（千人）11232
�。�1）該風(fēng)景區稱(chēng)調整前后這5個(gè)景點(diǎn)門(mén)票的平均收費不變，平均日總收入持平。問(wèn)風(fēng)景區是怎樣計算的？
�。�2）另一方面，游客認為調整收費后風(fēng)景區的平均日總收入相對于調價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%。問(wèn)游客是 怎樣計算的？
�。�3）你認為風(fēng)景區和游客哪一個(gè)的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際？
思路點(diǎn)撥
�。�1）風(fēng)景區是這樣計算的：
調整前的平均價(jià)格： ，設整后的平均價(jià)格：
∵調整前后的平均價(jià)格不變，平均日人數不變．
∴平均日總收入持平．
�。� 2）游客是這樣計算的：
原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
現平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日總收入增加了
�。�3）游客的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際．
二、用方程模型解應用題
研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現實(shí)生恬中有關(guān)問(wèn)題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認識和理解現實(shí)世界．
【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小相同，兩道側門(mén)大小也相同．安全檢查中，對4道門(mén)進(jìn)行了測試：當同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側門(mén)時(shí)，2min內可以通過(guò)560名學(xué)生；當同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側門(mén)時(shí)，4mln內可以通過(guò)800名學(xué)生．
(1)求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生?
(2)檢查中發(fā)現，緊急情況時(shí)因學(xué)生擁擠，出門(mén)的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學(xué)生應在5min內通過(guò)這4道門(mén)安全撤離．假設這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造的這4道門(mén)整否符合安全規定?請說(shuō)明理由．
思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系：兩種測試中通過(guò)的學(xué)生數量．設未知數時(shí)一般問(wèn)什么設什么．“符合安全規定”之義為最大通過(guò)量不小于學(xué)生總數．
(1)設平均每分鐘一道正門(mén)可以通過(guò)x名學(xué)生，一道側門(mén)可以通過(guò)y名學(xué)生，由題意得：
,解得：
(2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名)．
擁擠時(shí)5min4道門(mén)能通過(guò)．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道門(mén)符合安全規定．
三、用不等式模型解應用題
現實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多問(wèn)題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系，只需要確定某個(gè)量的變化范圍，即可對所研究的問(wèn)題有比較清楚的認識．
【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富，一年內月平均的風(fēng)速不小于3m／s的時(shí)間共約160天，其中日平均風(fēng)速不小于6m／s的時(shí)間占60天．為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”，該地擬建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)，決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機，根據產(chǎn)品說(shuō)明，這兩種風(fēng)力發(fā)電機在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：
日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6
日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機O≥36≥150
B型發(fā)電機O≥24≥90
根據上面的數據回答：
(1)若這個(gè)發(fā)電場(chǎng)購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機，則預計這些A型風(fēng)力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí)；
(2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機每臺O.3萬(wàn)元，B型風(fēng)力發(fā)電機每臺O.2萬(wàn)元．該發(fā)電場(chǎng)擬購置風(fēng)力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過(guò)2.6萬(wàn)元，而建成的風(fēng)力發(fā)電場(chǎng)每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí)，請你提供符合條件的購機方案．
根據上面的數據回答：
思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；
(2)設購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機(10—x)臺,
解法一根據題意得：
解得5≤x ≤6．
故可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電視4臺．
四、用函數知識解決的應用題
函數類(lèi)應用問(wèn)題主要有以下兩種類(lèi)型：(1)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)數學(xué)符號，建立函數關(guān)系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關(guān)系式．
【例4】 (揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng )辦了“潤楊”報刊零售點(diǎn)．對經(jīng)營(yíng)的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：
�、儋I(mǎi)進(jìn)每份0.20元，賣(mài)出每份0.30元；
�、谝粋�(gè)月內(以30天計)，有20天每天可以賣(mài)出200份，其余10天每天只能賣(mài)出120份；
�、垡粋�(gè)月內，每天從報社買(mǎi)進(jìn)的報紙份數必須相同．當天賣(mài)不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；
(1)填表：
一個(gè)月內每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報的份數100150
當月利潤(單位：元)
(2)設每天從報社買(mǎi)進(jìn)該種晚報x份，120≤x≤200時(shí)，月利潤為y元，試求出y與x的函數關(guān)系式，并求月利潤的最大值．
思路點(diǎn)撥(1)填表：
一個(gè)月內每天買(mǎi)進(jìn)該種晚報的份數100150
當月利潤(單位：元)300390
(2)由題意可知，一個(gè)月內的20天可獲利潤：
20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時(shí)，月利潤y的最大值為440元．
注 根據題意，正確列出函數關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．
另外，初三還會(huì )提及統計型應用題，幾何型應用題．
【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．
�。�1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．
(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時(shí)間內：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工 程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢(qián)最少?
思路點(diǎn)撥 這是一道策略?xún)?yōu)選問(wèn)題．工程問(wèn)題中：工作量=工作效率×工時(shí)．
(1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得：
, x=30合題意，
所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．
(2)各種方案所需的費用分別為：
A．請甲隊需2000×20=40000元；
B．請乙隊需1400×30=4200元；
C．請甲、乙兩隊合作需(2000+1400)×12=40800元．
所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢(qián)最少．
【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊前往某條河流的上游去考察一個(gè)生態(tài)區，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區考察了若干天，完成任務(wù)后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn)，試問(wèn)：科學(xué)考察隊的生態(tài)區考察了多少天?
思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!
設考察隊到 生態(tài)區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①
這里x、y是正整數，現設 法求出①的一組合題意的解，然后計算出z的值．
為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法．
25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．
與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．
下面再求出①的合題意的解．
由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，
∴ x+y=42t－5，t為整數．按題意0
∴z=60—(x+y)=23．
答：考察隊在生態(tài)區考察的天數是23天．
注 本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來(lái)解，希讀者仔細咀嚼所用方法．
【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規定如下：
(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；
(2)若一次購物滿(mǎn)200元，但不超過(guò)500元，按標價(jià)給予九折優(yōu)惠；
(3)若一次購物超過(guò)500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元部分給予八折 優(yōu)惠．
小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購 買(mǎi)小明分兩次購買(mǎi)的同樣多的物品，他需付款多少?
思路點(diǎn)撥 應付198元購物款討論：
第一次付款198元，可是所購物品的實(shí)價(jià)，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論．
情形1 當198元為購物不打折付的錢(qián)時(shí)，所購物品的原價(jià)為198元 ．
又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢(qián)，104元為購物打八折付的錢(qián)；104÷0. 8 =130(元)．
因此，554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元)，于是購買(mǎi)小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買(mǎi)應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．
情形2 當198元為購物打九折付的錢(qián)時(shí)，所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．
綜上所述，小亮一次去超市購買(mǎi)小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元
【例8】 (2002年全國數學(xué)競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個(gè)隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊承包費用最少?
思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問(wèn)題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時(shí)各方日付工資．分兩個(gè)層次考慮：
設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．
則 ，解得
再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，
則 ，解得
于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)．
由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)．
而丙隊不能在一周內完成．所以由乙隊承包費用最少．
學(xué)歷訓練
�。ˋ級）
1．(河南)在防治“SARS”的戰役中，為防止疫情擴散，某制藥廠(chǎng)接到了生產(chǎn)240箱過(guò)氧乙酸消毒液的任務(wù)．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來(lái)多生產(chǎn)15箱，結果6天就完成了任務(wù)．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?
2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來(lái)水妁收費標準作如下規定：每月每戶(hù)用水中不超過(guò)10t部分按0.45元／噸收費；超過(guò)10t而不超過(guò)20t部分按每噸0.8元收費；超過(guò)20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶(hù)比乙戶(hù)多繳水費7.10元，乙戶(hù)比丙戶(hù)多繳水費3.75元，問(wèn)甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來(lái)水按整噸收費)
3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學(xué)題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問(wèn)：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?
4．某人從A地到B地乘坐出租車(chē)有兩種方案，一種出租車(chē)收費標準是起步價(jià)10元，每千米1.2元；另一種出租車(chē)收費標準是起步價(jià)8元，每千米1.4元，問(wèn)選擇哪一種出租車(chē)比較合適?
(提示：根據目前出租車(chē)管理條例，車(chē)型不同，起步價(jià)可以不同，但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少)
�。˙級）
1．(全國初中數學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機 臺．
2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價(jià)：800元／臺．甲商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)：
購買(mǎi)臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上
每臺價(jià)格760元720元680元640元600元
乙商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)：每次購買(mǎi)1~8臺，每臺打九折；每次購買(mǎi)9~16臺，每臺打八五折； 每次購買(mǎi)17~24臺，每臺打八折；每次購買(mǎi)24臺以上，每臺打七五折．
�。�1）請仿照甲商場(chǎng)的促銷(xiāo)列表，列出到乙商場(chǎng)購買(mǎi)VCD的購買(mǎi)臺數與每臺價(jià)格的對照表；
(2)現在有A、B、C三個(gè)單位，且單位要買(mǎi)10臺VCD，B單位要買(mǎi)16臺VCD，C單位要買(mǎi)20臺VCD，問(wèn)他們到哪家商場(chǎng)購買(mǎi)花費較少?
3．(河北創(chuàng )新與知識應用競賽題)某錢(qián)幣收藏愛(ài)好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據此設計兌換方案．
4．從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動(dòng)且男孩每分鐘走動(dòng)的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問(wèn)：
(1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級臺階?
5．某化肥廠(chǎng)庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問(wèn)在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．
6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場(chǎng)，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場(chǎng)．問(wèn)建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產(chǎn)量，直線(xiàn)段上的字母a、b、d表示距離，且b < a
多邊形的邊角與對角線(xiàn)
j.Co M
第十四講 多邊形的邊角與對角線(xiàn)
邊、角、對角線(xiàn)是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線(xiàn)條數是解與多邊形相關(guān)的基本問(wèn)題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識．
多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規律；360°是一個(gè)常數，把內角問(wèn)題轉化為外角問(wèn)題，以靜制動(dòng)是解多邊形有關(guān)問(wèn)題的常用技巧．
將多邊形問(wèn)題轉化為三角形問(wèn)題來(lái)處理是解多邊形問(wèn)題的基本策略，連對角線(xiàn)或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線(xiàn)把 凸 邊形分成 個(gè)多角形，凸n邊形一共可引出 對角線(xiàn)．
例題求解
【例1】在一個(gè)多邊形中，除了兩個(gè)內角外，其余內角之和為2002°，則這個(gè)多邊形的邊數是 ．
(江蘇省競賽題)
思路點(diǎn)撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數 為 ，可建立關(guān)于x、y的不定方程；又0°
鏈接 世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過(guò)程，點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念，點(diǎn)生線(xiàn)、線(xiàn)生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他
一些幾何圖形．
【例2】 在凸10邊形的所有內角中，銳角的個(gè)數最多是( )
A．0 B．1 C．3 D．5
(全國初中數學(xué)競賽題)
思路點(diǎn)撥 多邊形的內角和是隨著(zhù)多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內角為銳角的個(gè)數討論轉化為 外角為鈍角的個(gè)數的探討．
【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開(kāi)成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫(huà)出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫(xiě)出所拼四邊形的對角線(xiàn)的長(cháng)．
(烏魯木齊市中考題)
思路點(diǎn)撥 把動(dòng)手操作與合情想象相結合 ，解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線(xiàn)有不同情形．
注 教學(xué)建模是當今教學(xué)教育、考試改革最熱門(mén)的一個(gè)話(huà)題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，“數學(xué)建�！本褪峭ㄟ^(guò)數學(xué)化(引元、畫(huà)圖等)把實(shí)際問(wèn)題特化為一個(gè)數學(xué)問(wèn)題，再運用相應的數學(xué)知識方法(模型)解決問(wèn)題．
本例通過(guò)設元，把“沒(méi)有重疊、沒(méi)有空隙”轉譯成等式，通過(guò)不定方程求解．
【例4】 在日常生活中，觀(guān)察各種建筑物的地板，就能發(fā)現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說(shuō)，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關(guān)，當圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．
(1)請根據下列圖形，填寫(xiě)表中空格：
(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?
(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫(huà)出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說(shuō)明你的理由．
(陜西省中考題)
思路點(diǎn)撥 本例主要研究?jì)蓚�(gè)問(wèn)題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開(kāi)放性，又具有探索性．假定正n邊形滿(mǎn)足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，n個(gè)內角的和為360°，這樣，將問(wèn)題的討論轉化為求不定方程的正整數解．
【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線(xiàn)沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位，得到新的五邊形ABCDE．
�。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHAG、BFBP、COCN、DMDL、EKEI能拼成一個(gè)五邊形嗎?說(shuō)明理由．
(2)證明五邊形ABCDE的周長(cháng)比五邊形ABCD正的周長(cháng)至少增加25個(gè)單位．
(江蘇省競賽題)
思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿(mǎn)足條件：，AGB； BPC； CND；DLE；EIA三點(diǎn)分別共線(xiàn)；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長(cháng)等于A(yíng)H+AG+BF+BP+CO+CN+DM+DL+EK+EI，用圓的.周長(cháng)逼近估算．
1．如圖，用硬紙片剪一個(gè)長(cháng)為16cm、寬為12cm的長(cháng)方形，再沿對角線(xiàn)把它分成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來(lái)，其中周長(cháng)最大的是 ?，周長(cháng)最小的是 cm．
(選6《莢國中小學(xué)數學(xué)課程標準》)
2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．
3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線(xiàn)段AD的取值范圍是 ．
4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個(gè)圖案：
(1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊；
(2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊．
(江西省中考題)
5．凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內角為鈍角，則n的最大值是( )
A．4 B．5 C． 6 D．7
( “希望杯”邀請賽試題)
6．一個(gè)凸多邊 形的每一內角都等于140°，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線(xiàn)的條數是( )
A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條
7．有一個(gè)邊長(cháng)為4m的正六邊形客廳，用邊長(cháng)為50cm的正三角形瓷磚鋪滿(mǎn)，則需要這種瓷磚( )
A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊
( “希望杯”邀請賽試題)
8．已知△ABC是邊長(cháng)為2的等邊三角形，△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形，現將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD．
�。�1）)畫(huà)出四邊形ABCD；
(2)求出四邊形ABCD的對角線(xiàn)BD的長(cháng)．
(上海市閔行區中考題)
9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數．
(北京市競賽題)
10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點(diǎn)，連結A1B1，我們稱(chēng)A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對線(xiàn)，如果五邊形的每條中對線(xiàn)都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線(xiàn)和它平行．
(安徽省中考題)
11．如圖，凸四邊形有 個(gè)；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．
(重慶市競賽題)
12．如圖，延長(cháng)凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長(cháng)凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個(gè)角的和等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
13．設有一個(gè)邊長(cháng)為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線(xiàn)段上向外作正三角形，去掉中間的線(xiàn)段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過(guò)程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復上述過(guò)程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長(cháng)是 ；A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍．
(全國初中數學(xué)聯(lián)賽題)
14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)
15．在一個(gè)n邊形中，除了一個(gè)內角外，其余(n一1)個(gè)內角的和為2750°，則這個(gè)內角的度數為( )
A．130° D．140° C ．105° D．120°
16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長(cháng)為( )
A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)
注 按題中的方法不斷地做下去，就會(huì )成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個(gè)美麗的名稱(chēng)——雪花曲線(xiàn)或 科克曲線(xiàn)(瑞典數學(xué)家)，這類(lèi)圖形稱(chēng)為“分形”，大量的物理、生物與數學(xué)現象都導致分形，分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支．
17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )
A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α
(山東省競賽題)
18．平面上有A、B，C、D四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一直線(xiàn)上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內角不超過(guò)45°．
19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長(cháng)都是整數，求n． (上海市競賽題)
20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(cháng)分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(cháng)．
21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面上的情況，如果折疊起來(lái)，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的)，活動(dòng)床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過(guò)程可由圖2的變換反映出來(lái)．
如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長(cháng)時(shí)，才能實(shí)現上述的折疊變化?
(淄博市中考題)
22．一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長(cháng)為1的正方形或正三角形無(wú)重疊、無(wú)間隙地拼成，求此凸n邊形各個(gè)內角的大小，并畫(huà)出這樣的 凸n邊形的草圖．
圖形的平移與旋轉
前蘇聯(lián)數學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科．
幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱(chēng)為合同變換，平移、旋轉是常見(jiàn)的合同變換．
如圖1，若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．
平移前后的圖形全等，對應線(xiàn)段平行且相等，對應角相等．
如圖2，若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉一個(gè)角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉變換，其中定點(diǎn)叫旋轉中心，定角叫旋轉角．
旋轉前后的圖形全等，對應線(xiàn)段相等，對應角相等，對應點(diǎn)到旋轉中心的距離相等．
通過(guò)平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問(wèn)題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題的解決．
注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變而相似變換，只保留線(xiàn)段間的比例關(guān)系，而線(xiàn)段本身的大小要改變．
例題求解
【例1】如圖，P為正方形ABCD內一點(diǎn)，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．
思路點(diǎn)撥 通過(guò)旋轉，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線(xiàn)段集中到同一個(gè)三角形．
【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線(xiàn) 段x、m、n為邊長(cháng)的三角形的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變
思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角，在一條直線(xiàn)上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．
注 下列情形，常實(shí)施旋轉變換：
(1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°；
(2)圖形中有線(xiàn)段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉180°，構造中心對稱(chēng)全等三角形；
(3)圖形中出現有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段，將含有相等線(xiàn)段的圖形繞公共端點(diǎn)，旋轉兩相等線(xiàn)段的夾角后與另一相等線(xiàn)段重合．
【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．
(全俄數學(xué)奧林匹克競賽題)
思路點(diǎn)撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實(shí)施平移變換．
注 平移變換常與平行線(xiàn)相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線(xiàn)段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問(wèn)題的解決．
【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)
思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過(guò)平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中．
注 三角形中的不等關(guān)系，涉及到以下基本知識：
(1)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，垂線(xiàn)段最短；
(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
(3)同一個(gè)三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內角．
【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長(cháng)為 ，點(diǎn)P是△ABC內的一點(diǎn)，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長(cháng)． (“希望杯”邀請賽試題)
思路點(diǎn)撥 題設條件滿(mǎn)足勾股關(guān)系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過(guò)旋轉變換使其集中到一個(gè)三角形中，這是解本例的關(guān) 鍵．
學(xué)歷訓練
1．如圖，P是正方形ABCD內一點(diǎn)，現將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針?lè )较蛐D能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．
2．如圖，P是等邊△ABC內一點(diǎn)，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．
3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長(cháng)為 ．
4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△ABC的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動(dòng)的距離AA是( )
A． B． C．l D． (2002年荊州市中考題)
5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F，給出以下四個(gè)結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．
當∠EPF在△ABC內繞頂點(diǎn)P旋轉時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C ．3個(gè) D．4個(gè)
(2003年江蘇省蘇州市中考題)
6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長(cháng)為( )
A．2 B．3 C ． D． (2004年武漢市選拔賽試題)
7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(cháng)分別為 和 ，對角線(xiàn)BD、FH都在直線(xiàn) 上，O1、O2分別為正方形的中心，線(xiàn)段O1O2的長(cháng)叫做兩個(gè)正方形的中心距，當中心O2在直線(xiàn) 上平移時(shí)，正方形EFGH也隨之平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有變化．
(1)計算：O1D= ，O2F= ；
(2)當中心O2在直線(xiàn) 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2= ；
(3)隨著(zhù)中心O2在直線(xiàn) 上平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫(xiě)出計算過(guò)程)． (徐州市中考題)
8．圖形的操做過(guò)程（本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長(cháng)均為a，豎直 方向的邊長(cháng)均為b）：
在圖a中，將線(xiàn)段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；
在圖b中， 將折線(xiàn)A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；
�。�1）在圖c中,請你類(lèi)似地畫(huà)一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線(xiàn),同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線(xiàn)畫(huà)出陰影；
�。�2）請你分別寫(xiě)出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；
�。�3）聯(lián)想與探索：
如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說(shuō)明你的猜想是正確的．
(2002年河北省中考題)
9．如圖，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．
說(shuō)明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求：
(1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè )较蛐D180°，使A點(diǎn)落在CB上，請對照原題圖在圖中畫(huà)出符合要求的圖形(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)．
(2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說(shuō)明理由．
(3)在①得到的圖形中，設MA的延長(cháng)線(xiàn)與BN相交于D點(diǎn)，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè )较蛐D90°至△DEF，則旋轉前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2．
11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點(diǎn)E在DC上，AE、BC的延長(cháng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ．
(紹興市中考題)
12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點(diǎn)，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( )
A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無(wú)法確定
13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( )
A． B． C ．5 D．6
(2004年武漢市選拔賽試題)
14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC 延長(cháng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．
15．如圖，P為等邊△ABC內一點(diǎn)，PA、PB、PC的長(cháng)為正整數，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實(shí)數，滿(mǎn) ，求△ABC的面積．
16．如圖，五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著(zhù)兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門(mén)，B為分校大門(mén)，為方便人員來(lái)往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點(diǎn)間來(lái)往路程最短，兩座橋都按這個(gè)目標而建，那么，此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來(lái)往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)
17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內一點(diǎn)，點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．
(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；
(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)
18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長(cháng)為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長(cháng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度為定值．
(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長(cháng)的扇形紙板的圓心放在邊長(cháng)為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉， 當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長(cháng)度也為定值a．
(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長(cháng)的扇形紙板的圓心放在邊長(cháng)為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉．當扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長(cháng)度為定值a；這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫(xiě)出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系；若不是定值，請說(shuō)明理由．
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 5
教學(xué)目標：
1.經(jīng)歷探索平行四邊形有關(guān)概念和性質(zhì)的過(guò)程，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識和合作交流的習慣;
2.索并掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應用;
3.在探索活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究意識。
教學(xué)重點(diǎn)：
平行四邊形性質(zhì)的探索。
教學(xué)難點(diǎn)：
平行四邊形性質(zhì)的理解。
教學(xué)準備：
多媒體課件
教學(xué)過(guò)程
第一環(huán)節：實(shí)踐探索，直觀(guān)感知(5分鐘，動(dòng)手實(shí)踐、探索、感知，學(xué)生進(jìn)一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質(zhì)特征。)
1.小組活動(dòng)一
內容：
問(wèn)題1：同學(xué)們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個(gè)四邊形。
(1)你拼出了怎樣的四邊形?與同桌交流一下;
(2)給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關(guān)系?說(shuō)說(shuō)你的理由，請用簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言刻畫(huà)這個(gè)圖形的特征。
2.小組活動(dòng)二
內容：生活中常見(jiàn)到平行四邊形的實(shí)例有什么呢?你能舉例說(shuō)明嗎?
第二環(huán)節探索歸納、合作交流(5分鐘，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)嘴，全班交流)
小組活動(dòng)3：
用一張半透明的紙復制你剛才畫(huà)的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉180°，你能平移該紙片，使它與你畫(huà)的平行四邊形重合嗎?由此你能得到哪些結論?四邊形的'對邊、對角分別有什么關(guān)系?能用別的方法驗證你的結論嗎?
(1)讓學(xué)生動(dòng)手操作、復制、旋轉、觀(guān)察、分析;
(2)學(xué)生交流、議論;
(3)教師利用多媒體展示實(shí)踐的過(guò)程。
第三環(huán)節推理論證、感悟升華(10分鐘，學(xué)生通過(guò)說(shuō)理，由直觀(guān)感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學(xué)本質(zhì)。)
實(shí)踐探索內容
(1)通過(guò)剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀(guān)察到平行四邊行的對角線(xiàn)把它分成的兩個(gè)三角形全等。
(2)可以通過(guò)推理來(lái)證明這個(gè)結論，如圖連結AC。
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD//BC，AB//CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴△ABC和△CDA中
∠2=∠1
AC=CA
∠3=∠4
∴△ABC≌△CDA(ASA)
∴AB=DC，AD=CB，∠D=∠B
又∵∠1=∠2
∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠BAD=∠DCB
第四環(huán)節應用鞏固深化提高(10分鐘，通過(guò)議一議，練一練，學(xué)生進(jìn)一步理解平行四邊形的性質(zhì)，并進(jìn)行簡(jiǎn)單合情推理，體現性質(zhì)的應用，同時(shí)從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質(zhì)特征。)
1.活動(dòng)內容：
(1)議一議：如果已知平行四邊形的一個(gè)內角度數，能確定其它三個(gè)內角的度數嗎?
A(學(xué)生思考、議論)
B總結歸納：可以確定其它三個(gè)內角的度數。
由平行四邊形對邊分邊平行得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個(gè)內角的度數，可以確定其它三個(gè)角度數。
(2)練一練(P99隨堂練習)
練1如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。
(1)求∠ADC、∠BCD度數
(2)邊AB、BC的度數、長(cháng)度。
練2四邊形ABCD是平行四邊形
(1)它的四條邊中哪些線(xiàn)段可以通過(guò)平移相到得到?
(2)設對角線(xiàn)AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關(guān)系?說(shuō)說(shuō)理由。
歸納：平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分。
第五環(huán)節評價(jià)反思概括總結(8分鐘，學(xué)生踴躍談感受和收獲)
活動(dòng)內容
師生相互交流、反思、總結。
(1)經(jīng)歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲?給自己一個(gè)評價(jià)。
(2)在與同伴合作交流中練表現，優(yōu)秀方面有哪些?你看到同伴哪些優(yōu)點(diǎn)?
(3)本節學(xué)習到了什么?(知識上、方法上)
考一考：
1.ABCD中，∠B=60°，則∠A=，∠C=，∠D=。
2.ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C=。
3.ABCD中，AB=3，BC=5，則AD=CD=。
4.ABCD中，周長(cháng)為40cm，△ABC周長(cháng)為25，則對角線(xiàn)AC=()cm。
布置作業(yè)
課本習題4.1
A組(學(xué)優(yōu)生)1、2
B組(中等生)1、2
C組(后三分之一生)1、2
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 6
【知識目標】
1、掌握平行四邊形有關(guān)概念；
2、在動(dòng)手操作實(shí)踐的過(guò)程中，探索并掌握平行四邊形的性質(zhì)。
【能力目標】
1、通過(guò)探索與證明平行四邊形的性質(zhì)，發(fā)展演繹推理的能力；
2、在證明平行四邊形的性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì )將平行四邊形問(wèn)題為三角形問(wèn)題的轉化思想．
【情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)】
在進(jìn)行探索的活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展合作交流的意識．
【數學(xué)核心素養目標】
1、通過(guò)操作活動(dòng)，在發(fā)現平行四邊形的性質(zhì)的過(guò)程中培養直觀(guān)想象的數學(xué)素養；
2、通過(guò)對性質(zhì)的證明，進(jìn)一步提升邏輯推理的數學(xué)核心素養．
教材
分析
重點(diǎn)
掌握平行四邊形的概念與性質(zhì)
難點(diǎn)
對平行四邊形性質(zhì)的探究與證明
教學(xué)方法
引導類(lèi)比、鼓勵操作、啟發(fā)推理
學(xué)法指導
探索發(fā)現、猜想證明、遷移應用
教學(xué)過(guò)程
一、引入新課
PPT呈現：類(lèi)比是偉大的引路人，轉化是智慧的思想家．
幾何學(xué)習，是一場(chǎng)充滿(mǎn)挑戰與驚喜的旅行，老師很榮幸今天能和在座的同學(xué)們繼續我的平面幾何之旅．
回顧我們學(xué)過(guò)的平面圖形：
直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段角三角形？
同學(xué)們推測一下，接著(zhù)我們會(huì )研究那種平面圖形？四邊形
我們就從生活中常見(jiàn)的一類(lèi)特殊的四邊形——平行四邊形研究起．
你能舉出一些生活中常見(jiàn)的.平行四邊形實(shí)例嗎？
地磚、推拉門(mén)、活動(dòng)衣架、窗格……
二、實(shí)踐探究
1、平行四邊形的相關(guān)概念
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形．
D
C
A
B
如圖：
學(xué)生活動(dòng)：邀請學(xué)生指導老師畫(huà)兩組分別平行的線(xiàn)段，并上黑板協(xié)助老師畫(huà)圖，從而得到平行四邊形．
平行四邊形的符號表示：ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”
�。ㄗ⒁獗硎緯r(shí)，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的書(shū)寫(xiě)順序只能按順時(shí)針?lè )较蚧蚰鏁r(shí)針?lè )较颍?/p>
邊、對邊、鄰邊；角、對角、鄰角
對角線(xiàn)：平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線(xiàn)段叫做它的對角線(xiàn)．
ABCD的對角線(xiàn)有兩條：AC、BD
2、平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形
活動(dòng)：利用平行四邊形紙片探索平行四邊形的性質(zhì)
活動(dòng)方式：同桌或四人小組合作、討論交流．
教具：畫(huà)好平行四邊形的彩紙、透明紙各一張、圖釘一枚．
平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形，兩條對角線(xiàn)的交點(diǎn)是它的對稱(chēng)中心．
3、平行四邊形的性質(zhì)
性質(zhì)1：平行四邊形的對邊相等．
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
求證：AB=CD，BC=DA．
證明：連接AC
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB∥CD，BC∥DA（平行四邊形的定義）
所以∠1=∠2，∠3=∠4
在△ABC與△CDA中：
所以（ASA）
所以AB=CD，BC=DA
幾何語(yǔ)言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD，BC=DA
性質(zhì)2：平行四邊形的對角相等．
幾何語(yǔ)言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
三、應用遷移
【例題探究，夯實(shí)基礎】
例：已知：如圖，在□ABCD中，E，F是對角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF。
求證：
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD（平行四邊形的對邊相等）
AB∥CD（平行四邊形的定義）
所以∠BAE=∠DCF
在12鈭咥BE/與12鈭咰DF/中：
因為
所以（SAS）
所以BE=DF
【例題變式，靈活思維】
變式1：已知：如圖，在A(yíng)BCD中，E，F是對角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且AE∥DF。
求證：
變式2：已知：如圖，在A(yíng)BCD中，E，F是對角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，并且BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
求證：
變式1圖變式2圖
【接龍練習，鞏固遷移】
1、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
若∠A=130°，則∠B=______，∠C=______，∠D=______；
若AB=4，AD=5，則BC=__________，CD=________。
第1題圖第2題圖
2、如圖，在平面直角坐標系中，□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（0，0）、B（4，0）、D（1，2），則頂點(diǎn)C的坐標是_____________。
3、小強用30米的鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形的場(chǎng)地（不計接口長(cháng)度），其中一條邊長(cháng)是10米，則與這條邊相鄰的邊的長(cháng)度是________米．
4、如圖，在□ABCD中，若BE平分∠ABC，則ED＝．
5、如圖，在□ABCD中，AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，∠AMB____。
第4題圖第5題圖
【游戲設計，拓展提升】
四位同學(xué)玩傳球游戲，三位同學(xué)已經(jīng)站好位置，要求以這四位同學(xué)所占位置為頂點(diǎn)，組成平行四邊形，請問(wèn)第四位同學(xué)應該站在哪里？
解：如圖，第四位同學(xué)可以站在P、Q、M這三個(gè)位置．
四、本課總結
知識：平行四邊形的概念與性質(zhì)
探究方法與思想：類(lèi)比探究，轉化思想
五、作業(yè)布置
必做題：課本P1372、3、4題．
選做題：將【游戲設計，拓展提升】部分的問(wèn)題整理在好題本“分類(lèi)討論”這一問(wèn)題中．
設計意圖
提醒并滲透“類(lèi)比的方法、轉化的思想”．
提醒學(xué)生本節課是幾何探究課程．
本節課是《平行四邊形》這一章的章起始課，促使學(xué)生對平面圖形的學(xué)習進(jìn)行系統性的認識．
小學(xué)已經(jīng)感知上認識了平行四邊形，由學(xué)生主動(dòng)舉生活中平行四邊形的實(shí)例，感受數學(xué)源于生活而服務(wù)于生活，同時(shí)逐漸調動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考，為接下來(lái)的探究熱身．
突出學(xué)生課堂主體的地位，加深對平行四邊形定義的認識．
突出重點(diǎn)：
1、學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、動(dòng)手操作，經(jīng)歷平行四邊形性質(zhì)的探索和發(fā)現過(guò)程，發(fā)展合作交流的意識，提升探究能力；
2、在動(dòng)手操作額過(guò)程中，發(fā)現并驗證了平行四邊形是中心對稱(chēng)圖形；
3、使學(xué)生發(fā)現平行四邊形中有關(guān)元素之間的相等關(guān)系，獲得平行四邊形有關(guān)性質(zhì)的猜想．
突破難點(diǎn)：
1、學(xué)生探索猜想性質(zhì)是合情推理，而規范證明則是演繹推理，通過(guò)規范的幾何證明，提升學(xué)生的推理論證能力．
2、轉化思想：將四邊形問(wèn)題轉化為三角形問(wèn)題來(lái)研究．
1、引導學(xué)生探索并展示多種證明方法．
2、激勵學(xué)生分析、解決問(wèn)題的熱情，進(jìn)一步提升推理論證的能力．
本例是對所學(xué)的平行四邊形性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應用。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生先獨立思考，再組織學(xué)生進(jìn)行交流。鼓勵學(xué)生充分表達他們尋求證明思路的過(guò)程。
這兩個(gè)問(wèn)題是對例題條件進(jìn)行變化，結論不變，以促進(jìn)學(xué)生對平行四邊形性質(zhì)的熟練掌握與靈活運用．
1、這組練習的設計，層層遞進(jìn)，由淺入深，可有效地開(kāi)發(fā)各層次學(xué)生的潛能及上進(jìn)心，實(shí)現分類(lèi)推進(jìn)的教學(xué)思想．
2、第4題引導學(xué)生發(fā)現平行四邊形一條角平分線(xiàn)可以構造出等腰三角形；
3、第5題引導學(xué)生發(fā)現平行四邊形兩個(gè)鄰角的角平分線(xiàn)可以構造出直角三角形三角形．
�。ù藛�(wèn)題根據實(shí)際授課情況，可刪減）
1、游戲情境，激發(fā)學(xué)生興趣；
2、此問(wèn)題有三種情況，體現分類(lèi)討論的思想，促進(jìn)學(xué)生思考問(wèn)題的全面性；
1、作業(yè)一部分是必做題，體現新課標下落實(shí)“學(xué)有價(jià)值的數學(xué)”，達到“人人都能獲得必需數學(xué)”，另一部分是選做題，讓“不同的人在數學(xué)上得到不同的發(fā)展”．
2、選做部分為了促進(jìn)學(xué)生養成分類(lèi)梳理數學(xué)問(wèn)題的習慣．
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 7
【學(xué)習目標】
1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題；
2．能從實(shí)際問(wèn)題中建立數學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題，同時(shí)滲透方程、轉化等數學(xué)思想。
3．進(jìn)一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值
【學(xué)習重、難點(diǎn)】
重點(diǎn)：勾股定理的應用
難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題
【新知預習】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長(cháng).
【導學(xué)過(guò)程】
一、情境創(chuàng )設
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計算各條拉索的長(cháng)？
二、探索活動(dòng)
活動(dòng)一 如圖，起重機吊運物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長(cháng).
活動(dòng)二 在我國古代數學(xué)著(zhù)作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(cháng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦的長(cháng)度各為多少？
活動(dòng)三 一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠(chǎng)門(mén)形狀如圖所示的某工廠(chǎng)，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠(chǎng)的廠(chǎng)門(mén)？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國道路交通安全法》規定：小汽車(chē)在城市道路上行駛速度不得超過(guò)70km/h，如圖一輛小汽車(chē)在一條城市中的直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面車(chē)速檢測儀的正前方30m處，過(guò)了2s后，測得小汽車(chē)與車(chē)速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車(chē)超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問(wèn)吸管需要多長(cháng)？
【反饋練習】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個(gè)直角三角形的模具，量得其中兩邊的長(cháng)分別為5cm，3cm，則第三邊的長(cháng)是______;
(3)甲乙兩人同時(shí)從同一地出發(fā)，甲往東走4km，乙往南走6km，這時(shí)甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．無(wú)法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點(diǎn)多遠處？
【課后作業(yè)】P67 習題2.7 1、4題
八年級數學(xué)競賽輔導教案：由中點(diǎn)想到什么
第十八講 由中點(diǎn)想到什么
線(xiàn)段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著(zhù)三角形中線(xiàn)、直角三角形斜邊中線(xiàn)、中心對稱(chēng)圖形、三角形中位線(xiàn)、梯形中位線(xiàn)等豐富的知識，恰當地利用中點(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的`關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么?常見(jiàn)的聯(lián)想路徑是：
1．中線(xiàn)倍長(cháng)；
2．作直角三角形斜邊中線(xiàn)；
3．構造中位線(xiàn)；
4．構造中心對稱(chēng)全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)， AB=10cm，則MD的長(cháng)為 ．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點(diǎn)撥 取AB中點(diǎn)N，為直角三角形斜邊中線(xiàn)定理、三角形中位線(xiàn)定理的運用創(chuàng )造條件．
注 證明線(xiàn)段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線(xiàn)定理；
(2)運用中位線(xiàn)定理；
(3)倍長(cháng)(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對邊AB=CD，另一組對邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N，連結MN．則AB與MN的關(guān)系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB
(2001年河北省初中數學(xué)創(chuàng )新與知識應用競賽試題)
思路點(diǎn)撥 中點(diǎn)M、N不能直接運用，需增設中點(diǎn)，常見(jiàn)的方法是作對角線(xiàn)的中點(diǎn)．
【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(cháng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連結CE、CD，求證：C D=2EC．
(浙江省寧波市中考題)
思路點(diǎn)撥 聯(lián)想到與中位線(xiàn)相關(guān)的豐富知識，將線(xiàn)段倍分關(guān)系的證明轉化為線(xiàn)段相等關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是恰當添輔助線(xiàn)．
【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結FG，延長(cháng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)．
若(1)BD、CF分別是△ABC的內角平分線(xiàn)(如圖2)；
(2)BD為△ABC的內角平分線(xiàn)，CE為△ABC的外角平分線(xiàn)(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線(xiàn)段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量關(guān)系?請寫(xiě)出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．
(2003年黑龍江省中考題)
思路點(diǎn)撥 圖1中FG與△ABC三邊的數量關(guān)系的求法(關(guān)鍵是作輔助線(xiàn))，對尋求后兩個(gè)圖形中線(xiàn)段FG與△ABC三邊的數量關(guān)系起著(zhù)重要作用，而由平分線(xiàn)、垂線(xiàn)發(fā)現中點(diǎn)，這是解題的基礎．
注 三角形與梯形的中位線(xiàn)．在位置上涉及到平行，在數量上是上下底和的一半，它起著(zhù)傳遞角的位置關(guān)系和線(xiàn)段長(cháng)度的功能，在證明線(xiàn)段倍分關(guān)系、兩直線(xiàn)位置關(guān)系、線(xiàn)段長(cháng)度的計算等方面有著(zhù)廣泛的應用．
【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、L分別為MN、PQ的中點(diǎn)，求證：KL∥AE且KL= AE．
(2001年天津賽區試題)
思路點(diǎn)撥 通過(guò)連線(xiàn)，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的 利用創(chuàng )造條件，這是解本例的突破口．
注 需要什么，構造什么，構造基本圖形、構造線(xiàn)段的和差(倍分)關(guān)系、構造角的關(guān)系等，這是作輔助線(xiàn)的有效思考方法之一．
學(xué)歷訓練
1．BD、CE是△ABC的中線(xiàn)，G、H分別是BE、CD的中點(diǎn)，BC=8，則GH= ．
(2003年廣西中考題)
2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點(diǎn)，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn).則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn= (n≥1且 n為整數).
(200l年山東省濟南市中考題)
3．如圖，△ABC邊長(cháng)分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線(xiàn)AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值是 ．
4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對角線(xiàn)AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線(xiàn)的長(cháng)等于 cm．
(2002年天津市中考題)
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( )
A．40 B．48 C 50 D．56
6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對角線(xiàn)BD、AC的中點(diǎn)，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長(cháng)為( )
A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm
7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在A(yíng)B上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長(cháng)為6，則梯形ABCD的中位線(xiàn)長(cháng)為( )
A．不能確定 B．2 C． D． +1
(2001年浙江省寧波市中考題)
8．已知四邊形ABCD和對角線(xiàn)AC、BD，順次連結各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題：
�、偃羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形；
�、谌羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形；
�、廴羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則AC⊥BD；
�、苋羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AC=BD；
�、萑羲盟倪呅蜯NPQ為矩形，則∠BAD=90°；
�、奕羲盟倪呅蜯NPQ為菱形，則AB=AD．
以上命題中，正確的是( )
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④
(2001年江蘇省蘇州市中考題)
9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線(xiàn)，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE．
(2003年上海市中考題)
10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連結BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點(diǎn)．
11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長(cháng)線(xiàn)交BE于F．
(1)求證：EF＝FB；
(2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB與CD的關(guān)系．
12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長(cháng)為 ．
(2002年四川省競賽題)
13．四邊形ADCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)F，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ．
(重慶市競賽題)
1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(cháng)線(xiàn)分別與EF的延長(cháng)線(xiàn)交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號)
15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線(xiàn)AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( )
A． B． C． D．
16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點(diǎn)，設∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP＝2α，則CP的長(cháng)是( )
A．1 D．2 C．3 D．
17．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系式是( )
A． B． C． D．
18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(cháng)CA、CB到E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、 CB的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE=∠PBF．
(2003年全國初中數學(xué)聯(lián)賽試題)
19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結論．
(山東省競賽題)
20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結DE，設M為D正的中點(diǎn)．
(1)求證：MB=MC；
(2)設∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內旋轉到圖乙的位置，試問(wèn)：MB；MC是否還能成立?并證明其結論．
(江蘇省競賽題)
21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線(xiàn)MN，過(guò)A、B、C、D4個(gè)頂點(diǎn)分別作MN的垂線(xiàn)AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1．
(1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl；
(2)如圖乙，直線(xiàn)MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B、C、D位于直線(xiàn)MN兩側，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線(xiàn)MN引垂線(xiàn)，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關(guān)系?
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 8
教學(xué)目的：
1、深入了解平行四邊形的不穩定性；
2、理解兩條平行線(xiàn)間的距離定義（區別于兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離）
3、熟練掌握平行四邊形的定義，平行四邊形性質(zhì)定理1、定理2及其推論、定理3和四個(gè)平行四邊形判定定理，并運用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計算；
4、在教學(xué)中滲透事物總是相互聯(lián)系又相互區別的辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)，體驗“特殊--一般--特殊”的.辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)。
教學(xué)重點(diǎn)：
平行四邊形的性質(zhì)和判定。
教學(xué)難點(diǎn)：
性質(zhì)、判定定理的運用。
教學(xué)程序：
一、復習創(chuàng )情導入
平行四邊形的性質(zhì)：
邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）夾在平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。
角：對角相等（定理1）；鄰角互補。
平行四邊形的判定：
邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1）
二、授新
1、提出問(wèn)題：平行四邊形有哪些性質(zhì)：判定平行四邊形有哪些方法：
2、自學(xué)質(zhì)疑：自學(xué)課本P79-82頁(yè)，并提出疑難問(wèn)題。
3、分組討論：討論自學(xué)中不能解決的問(wèn)題及學(xué)生提出問(wèn)題。
4、反饋歸納：根據預習和討論的效果，進(jìn)行點(diǎn)撥指導。
5、嘗試練習：完成習題，解答疑難。
6、深化創(chuàng )新：平行四邊形的性質(zhì)：
邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）夾在平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。
角：對角相等（定理1）；鄰角互補。
平行四邊形的判定：
邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線(xiàn)互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1）
7、推薦作業(yè)
1、熟記“歸納整理的內容”；
2、完成《練習卷》；
3、預習：（1）矩形的定義？
�。�2）矩形的性質(zhì)定理1、2及其推論的內容是什么？
�。�3）怎樣證明？
�。�4）例1的解答過(guò)程中，運用哪些性質(zhì)？
思考題
1、平行四邊形的性質(zhì)定理3的逆命題是否是真命題？根據題設和結論寫(xiě)出已 知求證； 2、如何證明性質(zhì)定理3的逆命題？ 3、有幾種方法可以證明？ 4、例2的證明中，運用了哪些性質(zhì)及判定？是否有其他方法？ 5、例3的證明中，運用了哪些性質(zhì)及判定？是否有其他方法？
跟蹤練習
1、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點(diǎn)O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,則四邊形ABCD是平行四邊形。（ ）
2、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點(diǎn)O，若OC= 且 ,則四邊形ABCD是平行四邊形。
3、下列條件中，能夠判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（ ）
�。ˋ）一組對角相等； （B）對角線(xiàn)相等；
�。–）兩條鄰邊相等； （D）對角線(xiàn)互相平分。
創(chuàng )新練習
已知，如圖，平行四邊形ABCD的AC和BD相交于O點(diǎn)，經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的直線(xiàn)交BC和AD于E、F，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。（用兩種方法）
達標練習
1、已知如圖，O為平行四邊形ABCD的對角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與AB交于E，與CD 交于F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。
2、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是OA、OC的中點(diǎn)，求證：BM∥DN，且BM=DN 。
綜合應用練習
1、下列條件中，能做出平行四邊形的是（ ）
�。ˋ）兩邊分別是4和5，一對角線(xiàn)為10；
�。˙）一邊為4，兩條對角線(xiàn)分別為2和5；
�。–）一角為600，過(guò)此角的對角線(xiàn)為3，一邊為4；
�。―）兩條對角線(xiàn)分別為3和5，他們所夾的銳角為450。
推薦作業(yè)
1、熟記“判定定理3”；
2、完成《練習卷》；
3、預習：
�。�1）“平行四邊形的判定定理4”的內容 是什么？
�。�2）怎樣證明？還有沒(méi)有其它證明方法？
�。�3）例4、例5還有哪些證明方法？
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 9
【教學(xué)目標】
1、知識與技能：
探索與應用平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)，理解平行線(xiàn)間的距離處處相等的結論，學(xué)會(huì )簡(jiǎn)單推理。
2、過(guò)程與方法：
經(jīng)歷探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力及有條理的表達能力。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：
在探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程中，感受幾何圖形中呈現的數學(xué)美。讓學(xué)生學(xué)會(huì )在獨立思考的基礎上積極參與對數學(xué)問(wèn)題的討論，享受運用知識解決問(wèn)題的成功體驗，增強學(xué)好數學(xué)的自信心。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
探索并掌握平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分和平行線(xiàn)間的`距離處處相等的性質(zhì)。
【教學(xué)難點(diǎn)】：
發(fā)展合情推理及邏輯推理能力
【教學(xué)方法】：
啟發(fā)誘導法，探索分析法
【教具準備】：
多媒體課件
【教學(xué)過(guò)程設計】
第一環(huán)節回顧思考，引入新課
什么叫平行四邊形?
平行四邊形都有哪些性質(zhì)?
利用平行四邊形的性質(zhì)，我們可以解決相關(guān)的計算問(wèn)題。阿凡提是傳說(shuō)中很聰明的人。一天，財主巴依遇到阿凡提，想考一考聰明的阿凡提，說(shuō)：給你兩塊地，一塊是平行四邊形形狀的(如下圖，AB=10，OA=3，BC=8)，還有一塊是邊長(cháng)是7的正方形EFGH土地，讓你來(lái)選一下，哪一塊面積更大?
[學(xué)生活動(dòng)]此時(shí)，學(xué)生的積極性被調動(dòng)起來(lái)，努力試圖尋找各種途徑來(lái)求平行四邊形的面積，但找不到合適的解決辦法.
[教學(xué)內容]教師乘機引出課題，明確學(xué)習任務(wù).
第二環(huán)節探索發(fā)現，應用深化
1、做一做：(電腦顯示P100“做一做”的內容)
如圖4-2，□ABCD的兩條對角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，
(1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線(xiàn)段是相等的?
(2)能設法驗證你的猜想嗎?
[教師活動(dòng)]教師將前后四名同學(xué)分成一組，學(xué)生拿出事先準備好的平行四邊形及實(shí)驗工具(刻度尺、剪刀、圖釘)，嘗試在交流合作中動(dòng)手探究平行四邊形的對角線(xiàn)有何性質(zhì).
2、觀(guān)察、討論：(小組交流）
通過(guò)以上活動(dòng)，你能得到哪些結論?并由各小組派學(xué)生表述看法。
[教師活動(dòng)]探究結束后，分組展示結果，教師利用課件展示“旋轉法”的實(shí)驗過(guò)程，增強教學(xué)的直觀(guān)性.
結論：平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分。
[教師活動(dòng)]“實(shí)驗都是有誤差的，我們能否對此進(jìn)行理論證明?”
[學(xué)生活動(dòng)]此問(wèn)題難度不大.
[教師活動(dòng)]教師讓學(xué)生口述證明過(guò)程.最后師生共同歸納出“平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分”這條性質(zhì).
活動(dòng)二
剛才財主巴依提出的問(wèn)題你能解決嗎?
學(xué)生口述過(guò)程，教師最后給出規范的解題過(guò)程。
練一練：
財主不服氣，又想考阿凡提，說(shuō)過(guò)點(diǎn)O做一直線(xiàn)EF，交邊AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.直線(xiàn)EF繞點(diǎn)O旋轉的過(guò)程中(點(diǎn)E與A、D不重合)，你能知道這里有多少對全等三角形嗎?
[教師活動(dòng)]此處組織學(xué)生搶答，互相補充完善后，學(xué)生答出了全部的全等三角形.
活動(dòng)三
電腦顯示P101關(guān)于鐵軌的圖片
提出問(wèn)題：“想一想”
已知，直線(xiàn)a//b，過(guò)直線(xiàn)a上任兩點(diǎn)A，B分別向直線(xiàn)b作垂線(xiàn)，交直線(xiàn)b于點(diǎn)C，點(diǎn)D，如圖，
(1)線(xiàn)段AC，BD所在直線(xiàn)有什么樣的位置關(guān)系?
(2)比較線(xiàn)段AC，BD的長(cháng)。
引出平行線(xiàn)間距離的概念，并引導學(xué)生對比點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，兩點(diǎn)間距離等概念。
(讓學(xué)生進(jìn)一步感知生活中處處有數學(xué))
A.(學(xué)生思考、交流)
B.(師生歸納)
解(1)由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。
(2)a//b，AC//BD，→四邊形ACDB是平行四邊形
→AC=BD
歸納：
若兩條直線(xiàn)平行，則其中一條直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離相等，這個(gè)距離稱(chēng)為平行線(xiàn)間的距離。
即平行線(xiàn)間的距離相等。
[議一議]：
舉你能舉出反映“平行線(xiàn)之間的垂直段處處相等實(shí)例嗎”?
活動(dòng)目的：
通過(guò)生活中的實(shí)例的應用，深化對知識的理解。
第三環(huán)節鞏固反饋，總結提高
1、說(shuō)一說(shuō)下列說(shuō)法正確嗎
�、倨叫兴倪呅问禽S對稱(chēng)圖形()
�、谄叫兴倪呅蔚倪呄嗟�()
�、燮叫芯�(xiàn)間的線(xiàn)段相等()
�、芷叫兴倪呅蔚膶蔷�(xiàn)互相平分()
2、已知,平行四邊形ABCD的周長(cháng)是28，對角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，且△OBC的周長(cháng)比△OBA的周長(cháng)大4，則AB=
3、已知P為平行四邊形ABCD的邊CD上的任意點(diǎn)，則△APB與平行四邊形ABCD的面積比為
4、平行四邊形ABCD中，AC，DB交于點(diǎn)O，AC=10。DB=12，則AB的取值范圍是什么?
5、平行四邊形ABCD的兩條對角線(xiàn)相交于O，OA，OB，AB的長(cháng)度分別為3cm、4cm、5cm，求其它各邊以及兩條對角線(xiàn)的長(cháng)度。
第四環(huán)節評價(jià)反思，目標回顧
活動(dòng)內容：
本節課你有哪些收獲?你能將平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行歸納嗎?
[布置作業(yè)]：
P102習題4.21，2，3
探究題已知如下圖，在A(yíng)BCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F在A(yíng)C上，且BE∥DF.求證：BE=DF
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 10
一、教材分析：
1、教材的地位和作用
平行四邊形及其性質(zhì)是九年制義務(wù)教育課本七年級第二學(xué)期第十七章的內容，是論證線(xiàn)段相等、角相等和兩直線(xiàn)平行的依據之一，在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有廣泛的應用。它是本節的重點(diǎn)，又是本章的重點(diǎn)。學(xué)習它不僅是對已學(xué)的平行線(xiàn)、三角形等知識的綜合運用和深化，更是下一步研究特殊平行四邊形和有關(guān)定理的基礎，具有承上啟下的作用。因此本節課的重要性是不言而喻的。
2、教學(xué)內容的確定
按教材編排，平行四邊形性質(zhì)共分兩課時(shí)完成，我對本節教學(xué)內容進(jìn)行適當的重新組合。第一課時(shí)重點(diǎn)是安排學(xué)生探究平行四邊形的概念及性質(zhì)，并初步運用這些性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計算。這樣做的目的是：用猜想實(shí)驗驗證的方法探索平行四邊形的性質(zhì)，這樣更符合學(xué)生的認知規律，同時(shí)也使以后進(jìn)一步研究其它特殊四邊形的性質(zhì)時(shí),水到渠成，學(xué)生易于接受。同時(shí)更能培養學(xué)生主動(dòng)探求知識的精神和思維的條理性。
3、教學(xué)目標：
根據大綱要求，結合教材特點(diǎn)，我認為本節課應達到以下幾個(gè)目標：
(1)使學(xué)生掌握平行四邊形的定義及性質(zhì)，并初步運用這些性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計算。
(2) 在充分讓學(xué)生參與學(xué)習的過(guò)程中，滲透猜想實(shí)驗驗證的學(xué)習方法，注意培養學(xué)生觀(guān)察、分析、推理、概括以及實(shí)踐能力和創(chuàng )新能力。
(3) 培養學(xué)生嚴謹科學(xué)的學(xué)習態(tài)度，勇于探索、勇于創(chuàng )新的精神，并對學(xué)生進(jìn)行由一般到特殊的辨證唯物主義觀(guān)點(diǎn)教育。
4、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)是平行四邊形的概念和性質(zhì)。難點(diǎn)是探索性質(zhì)、尋求解題思路。
二、教法：
為使幾何課上得有趣、生動(dòng)、高效，結合本節課內容和學(xué)生的實(shí)際水平，采用大膽猜想，實(shí)驗驗證為主，直觀(guān)演示、設疑誘導為輔的教學(xué)方法。在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)設置帶有啟發(fā)性和思考性的問(wèn)題，創(chuàng )設問(wèn)題情景，誘導學(xué)生思考、操作，讓學(xué)生親身體驗知識的產(chǎn)生過(guò)程，激發(fā)學(xué)生探求知識的欲望，使學(xué)生始終處于主動(dòng)探索問(wèn)題的積極狀態(tài)，使獲取新知識水到渠成。
考慮到如何更直觀(guān)、形象地突破教學(xué)重、難點(diǎn)，增大課堂容量，提高課堂效率，采用了電腦多媒體教學(xué)輔助手段。
三、學(xué)法：
葉圣陶說(shuō)教是為了不教，也就是我們傳授給學(xué)生的不只是知識內容，更重要的是指導學(xué)生一些數學(xué)的學(xué)習方法。
在學(xué)習平行四邊形概念過(guò)程中，讓學(xué)生認識事物總是互相聯(lián)系的，應該做到溫故而知新。而通過(guò)平行四邊形性質(zhì)的結論探索，讓學(xué)生認識事物的結論必須通過(guò)大膽猜測、判斷和歸納。
在分析理解性質(zhì)的證明過(guò)程時(shí)，加強師生的雙邊活動(dòng)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。通過(guò)例題、練習，讓學(xué)生總結解決問(wèn)題的方法，以培養學(xué)生良好的學(xué)習習慣。
四、教學(xué)程序
1、復習舊知
(1)根據平行四邊形的定義判斷下圖是否是平行四邊形：
請你用手中的三角尺驗證。
通過(guò)讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，激勵學(xué)生主動(dòng)參與，激發(fā)濃厚的學(xué)習興趣，同時(shí)為發(fā)現新知識做準備。
(2)結合圖形，用符號語(yǔ)言表示平行四邊形的定義
目的：請學(xué)生將文字語(yǔ)言翻譯成符號語(yǔ)言，有利于培養學(xué)生正確運用數學(xué)語(yǔ)言的能力。
強調：平行四邊形的定義既是平行四邊形的`一個(gè)重要性質(zhì)，同時(shí)也是判定一個(gè)四邊形是否平行四邊形的依據之一。
(2)舉出日常所見(jiàn)的平行四邊形。(多媒體演示）
聯(lián)系生活實(shí)際讓學(xué)生舉出日常所見(jiàn)的平行四邊形。以獲得對平行四邊形盡可能多的精確感知，讓學(xué)生認識到平行四邊形在生活、生產(chǎn)中的應用，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。同時(shí)使學(xué)生明確本節課學(xué)習目標是學(xué)習平行四邊形性質(zhì)。
2、新課引入性質(zhì)的發(fā)現和證明
這一環(huán)節是全課的重、難點(diǎn)所在，為了方便學(xué)生探索活動(dòng)的順利開(kāi)展，同時(shí)滲透科學(xué)研究的一般方法，我將這部分內容按啟發(fā)猜想，動(dòng)手實(shí)驗電腦驗證三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。
A、啟發(fā)猜想
根據平行四邊形圖形，啟發(fā)學(xué)生猜一猜，平行四邊形的性質(zhì)可能與什么有關(guān)?引發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，給學(xué)生提供自我表現、猜想的空間，充分發(fā)表意見(jiàn)的機會(huì )，以便最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主體能動(dòng)性，激發(fā)他們的創(chuàng )造性。然后篩選有價(jià)值的猜想，并再次創(chuàng )設問(wèn)題情景，平行四邊形的性質(zhì)與邊、角、對角線(xiàn)有怎樣的關(guān)系呢?又一次地激起學(xué)生求知的欲望，讓學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題進(jìn)入下一層次的教學(xué)。
B、動(dòng)手實(shí)驗
(1)根據已有的平行四邊形圖形 ，填寫(xiě)實(shí)驗報告：
實(shí)驗報告
研究對象
研究結果
符號語(yǔ)言
對邊
鄰邊
對角
鄰角
對角線(xiàn)
在這一層次我要求學(xué)生充分利用手中的度量工具進(jìn)行操作并填寫(xiě)實(shí)驗報告。
(2)進(jìn)一步要求學(xué)生組成四人小組進(jìn)行合作探究活動(dòng)：
任意一個(gè)平行四邊形被對角線(xiàn)分成的兩三角形是否全等。
C、多媒體驗證
然后我利用幾何畫(huà)板的作圖工具直觀(guān)演示作出平行四邊形的過(guò)程，并對相關(guān)的各元素關(guān)系進(jìn)行檢驗。接著(zhù)通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)功能，動(dòng)態(tài)地對平行四邊形的各元素關(guān)系再一次進(jìn)行檢驗。使學(xué)生形成共識：平行四邊形的對邊相等、對角相等、鄰角互補、對角線(xiàn)互相平分。學(xué)生的研究結果和符號語(yǔ)言表述可能是凌亂的、不完整的，例如學(xué)生對對角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)很難用語(yǔ)言準確表述，則教師可在此基礎上對線(xiàn)段互相平分的含義進(jìn)行說(shuō)明，使學(xué)生的語(yǔ)言表達更準確。
結果歸納如下：
以上整個(gè)活動(dòng)學(xué)生學(xué)到的不只是性質(zhì)本身，而是科學(xué)的態(tài)度、合作的精神和探究的能力。同時(shí)也體現了學(xué)生的主體作用和老師的主導作用有機結合，符合因勢利導原則。
3、性質(zhì)的應用
�、� 練習1：
(1) ABCD中，已知A=500，則B= ，C= ，D= 。
(2) ABCD中，已知C=2000，則A= ，B= 。
(3) ABCD中，AB=3，BC=5，則 ABCD的周長(cháng)為 。
(4) ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=10，BD=8，△AOB的周長(cháng)為16，則AB= 。
練習1是對平行四邊形的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應用，符合鞏固性原則。
�、� 拼圖：(學(xué)生事先準備好兩個(gè)三邊都不相等的全等三角形)
把兩個(gè)三邊都不相等的全等三角形按不同的方法拼成四邊形，你能拼成幾個(gè)平行四邊形?
安排拼圖活動(dòng)的目的：
(1) 調動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生從拼圖活動(dòng)中找到解決問(wèn)題的方法。
(2) 培養了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和一題多解的思維方式
5、課堂小結：
本環(huán)節以今天學(xué)了什么?這些知識我們是用什么方法學(xué)來(lái)的?你懂得了什么?這種談學(xué)習體會(huì )的形式結束新課。學(xué)生可以講本節課所學(xué)到的知識，也可以講學(xué)習知識運用的數學(xué)思想方法。通過(guò)學(xué)生回答，不僅可以反饋學(xué)生的學(xué)習情況，同時(shí)也體現了學(xué)生是學(xué)習的主體。
6、作業(yè)布置：
( A類(lèi) ) 習題B冊：習題17.2(1), 習題A冊:習題17.2(2)
( B類(lèi) ) 思考題
作業(yè)的設計體現了分層訓練的教學(xué)原則，A類(lèi)要求全體學(xué)生獨立完成，B類(lèi)供學(xué)有余力的學(xué)生做。
五、教學(xué)評價(jià)
這堂課既是一堂新課，同時(shí)也是一堂實(shí)驗課。整個(gè)教學(xué)過(guò)程中注重學(xué)習方法、注重思維方法、注重探索方法，體現了方法比知識更重要這一新的教學(xué)價(jià)值觀(guān)。這樣的教學(xué)，突出了重點(diǎn)，化解了難點(diǎn)，實(shí)現了學(xué)習的再創(chuàng )造，確保了學(xué)生的主體地位，提升了學(xué)生學(xué)習數學(xué)的綜合素質(zhì)。
平行四邊形及其性質(zhì)教學(xué)設計 11
尊敬的各位評委、老師：
大家好！
我是牡丹江市第四中學(xué)數學(xué)教師—牛龍梅，今天，我說(shuō)課的內容是選自人教版新課標實(shí)驗教材《數學(xué)》八年級下第十九章第一節第二課時(shí)《平行四邊形的性質(zhì)》。我設計的說(shuō)課共分四大環(huán)節。
一、設計理念
《數學(xué)課程標準》指出：新課程實(shí)施的基本點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續、和諧發(fā)展。而數學(xué)教學(xué)，則從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng )設生動(dòng)有趣的問(wèn)題情境，引導學(xué)生通過(guò)觀(guān)察猜想、實(shí)驗探究、合作交流，從而獲取新知、形成技能、發(fā)展思維、學(xué)會(huì )學(xué)習。
二、教材分析與處理
平行四邊形的性質(zhì)是平行線(xiàn)和三角形知識的應用和深化，是學(xué)習矩形、菱形、正方形的必備知識，是證明線(xiàn)段相等、角相等的重要依據。本課主要探究平行四邊形對角線(xiàn)互相平分這一性質(zhì)。我創(chuàng )設新穎的故事情境引入新課，來(lái)激發(fā)興趣；對例題進(jìn)行改編，融問(wèn)題與故事于一體，來(lái)應用數學(xué)；設置動(dòng)手操作活動(dòng)，讓學(xué)生在教師的指導下自主探究學(xué)習，從而感受數學(xué)。
因此，通過(guò)本節課的學(xué)習，力爭達到以下教學(xué)目標：
知識技能：掌握平行四邊形對角線(xiàn)互相平分這一性質(zhì)，并會(huì )用此性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計算。
數學(xué)思考：經(jīng)歷觀(guān)察、猜想、實(shí)驗、驗證等數學(xué)活動(dòng)，認識平行四邊形的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生演繹推理能力和發(fā)散思維能力。
解決問(wèn)題：通過(guò)多種方法探究平行四邊形的性質(zhì)，體驗解決問(wèn)題策略的多樣性，初步形成評價(jià)與反思的意識。
情感態(tài)度：培養學(xué)生勤于實(shí)踐、勇于探索、合作交流的精神，增強學(xué)生學(xué)好數學(xué)的勇氣和信心。
根據以上教學(xué)目標和學(xué)生已有的認知基礎，我確定本節課的 教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分這一性質(zhì)的應用。
教學(xué)難點(diǎn)：對平行四邊形的對角線(xiàn)互相平分這一性質(zhì)的探究。
三、教學(xué)方法與手段
八年級學(xué)生幾何學(xué)習正處在試驗幾何向論證幾何的過(guò)渡階段，對于嚴密的推理論證，無(wú)論從知識結構，還是知識能力上都有所欠缺。因此我采用創(chuàng )設情境—大膽猜想—實(shí)驗探究—反思評價(jià)的課堂活動(dòng)模式，努力營(yíng)造自主、合作、探究的`學(xué)習氛圍，結合多媒體輔助教學(xué)，生動(dòng)、直觀(guān)地反映問(wèn)題情境，使學(xué)生在學(xué)習中獲得愉快的數學(xué)體驗。
四、教學(xué)過(guò)程
�。ㄒ唬┘とぴO疑
[教師活動(dòng)] 教師利用課件展示問(wèn)題情境。
[學(xué)生活動(dòng)] 此時(shí)，學(xué)生的積極性將被調動(dòng)起來(lái)，努力試圖尋找各種途徑來(lái)求平行四邊形的面積，但可能找不到合適的解決辦法。
[教學(xué)內容] 教師乘機引出課題，明確學(xué)習任務(wù)。
[達成目標與調控措施] 此處創(chuàng )設生動(dòng)有趣的故事情境，力求更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。
�。ǘ┥钊胩骄�
[教學(xué)內容] 請學(xué)生觀(guān)察平行四邊形的對角線(xiàn)，并猜想有什么性質(zhì)。
[學(xué)生活動(dòng)] 估計大多數學(xué)生能想到對角線(xiàn)平分，但可能忽視互相兩字，也有可能會(huì )猜到對角線(xiàn)平分每組對角等錯誤結論。
[教師活動(dòng)] 此時(shí)教師不做解答，但一一記錄下學(xué)生的各種猜想。
[達成目標與調控措施] 形形色色的回答，能給他們不同的感受，在鍛煉學(xué)生的觀(guān)察及表達能力的同時(shí)，并為下一步實(shí)驗探究指明了方向。
[教師活動(dòng)] 教師將學(xué)生分成三組，拿出事先畫(huà)好的平行四邊形，按要求動(dòng)手探究平行四邊形的對角線(xiàn)有何性質(zhì)。
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