高一下學(xué)期數學(xué)教學(xué)計劃模板之圓的方程
教材分析
圓是學(xué)生比較熟悉的曲線(xiàn),在初中幾何課中就已學(xué)過(guò)圓的定義及性質(zhì).這節主要是用坐標的方法畫(huà)圓---建立圓的方程.首先是根據圓的定義,建立圓的標準方程,進(jìn)而研究圓的一般方程,并在此基礎上,運用坐標法,探討直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.由于圓是一種對稱(chēng)、和諧的圖形,有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì),因此,在運用坐標法解決問(wèn)題的同時(shí),充分利用了圓的幾何性質(zhì).這節課的重點(diǎn)是圓的兩種方程的求法及互化,直線(xiàn)與圓位置關(guān)系、數量關(guān)系的判定與求解.難點(diǎn)是對待定系數法、數形結合等方法的理解及靈活應用.
教學(xué)目標
1. 理解和掌握圓的標準方程和一般方程,并會(huì )熟練地進(jìn)行方程的`互化,能根據條件靈活選用適當的方法建立圓的方程.
2. 在直線(xiàn)的方程、圓的方程的基礎上,用代數、幾何兩種方法研究直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.
3. 初步學(xué)會(huì )用待定系數法、數形結合法解決與圓有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
4. 能應用圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,培養學(xué)生應用數學(xué)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
任務(wù)分析
圓是學(xué)生比較熟悉的一種曲線(xiàn),建立圓的方程也比較容易.學(xué)習時(shí),應根據問(wèn)題條件,靈活適當地選取方程形式,否則,可能導致解題過(guò)程過(guò)于煩鎖.在解決直線(xiàn)與圓、圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),要盡可能挖掘、應用關(guān)于圓的隱含條件,要注意數形結合、待定系數法的應用.
教學(xué)設計
一、問(wèn)題情境
圓是最完美的曲線(xiàn),它是平面內到一定點(diǎn)的距離等于定長(cháng)的點(diǎn)的集合.定點(diǎn)是圓心,定長(cháng)是半徑.在平面直角坐標系中,怎樣用坐標的方法刻畫(huà)圓呢?
[問(wèn) 題]
河北省趙縣的趙州橋,是世界著(zhù)名的古代石拱橋,也是造成后一直使用到現在的最古老的石橋.趙州橋的跨度是37.02m,圓拱高約為7.2m.建立適當的平面直角坐標系,寫(xiě)出這個(gè)圓拱所在的圓的方程.
解析:要求圓的方程,只要確定圓心的位置和半徑的大小.
第一步:以圓拱對的弦所在的直線(xiàn)為x軸、弦的垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標系.根據平面幾何知識可知,圓拱所在圓的圓心O必在y軸上,故可設O1(0,b).
第二步:設圓拱所在圓的半徑為r,則圓上任意一點(diǎn)P(x,y)應滿(mǎn)足O1P=r,即
�、�
因此,只須確定b和r的值,就能寫(xiě)出圓的方程.
第三步:將點(diǎn)B(18.51,0),C(0,7.2)分別代入①,
得
解得
故趙州橋圓拱所在的圓的方程為x2+(y+20.19)2=750.21.
二、建立模型
(1)一般地,設點(diǎn)P(x,y)是以C(a,b)為圓心、r為半徑的圓上的任意一點(diǎn),則CP=r.
由兩點(diǎn)間的距離公式,得 ,??? ①
即(x-a)2+(y-b)2=r2.
反過(guò)來(lái),若點(diǎn)P1的坐標(x1,y1)是方程①的解,
則(x1-a)2+(y1-b)2=r2,即
這說(shuō)明點(diǎn)P1(x1,y1)在以C(a,b)為圓心、r為半徑的圓上.
結論:方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫作以(a,b)為圓心、r為半徑的圓的標準方程.
特別地,當圓心為原點(diǎn)O(0,0)時(shí),圓的方程為x2+y2=r2.
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