等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明
在生活、工作和學(xué)習中，許多人都寫(xiě)過(guò)證明吧，證明是具有證明特定事件效力的文件。我們該怎么擬定證明呢？下面是小編整理的等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明，希望能夠幫助到大家。
等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明1
教學(xué)目標
1、掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。
2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明直角三角形的有關(guān)性質(zhì)定理和等邊三角形的判定定理。
教學(xué)重點(diǎn)
等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)定理。
教學(xué)難點(diǎn)
能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)定理。
教學(xué)方法
教學(xué)后記
教學(xué)內容及過(guò)程
教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)
一、定理：一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
1．引導學(xué)生回憶上節課的內容，讓學(xué)生思考：等腰三角形滿(mǎn)足什么條件時(shí)便成為等邊三角形？讓學(xué)生對普遍聯(lián)系和相互轉化有一個(gè)感性的認識。
2．肯定學(xué)生的回答，并讓學(xué)生進(jìn)一步思考：有一個(gè)角是60°的等腰三家形是等邊三角形嗎？組織學(xué)生交流自己的想法。滲透分類(lèi)討論的思維方法。
3．關(guān)注學(xué)生得出證明思路的過(guò)程，講評。講解定理：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
二、一種特殊直角三角形的性質(zhì)
1．讓學(xué)生拼擺事先準備好的三角尺，提問(wèn)：能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能否拼出一個(gè)等邊三角形？并說(shuō)明理由。
2．肯定學(xué)生的發(fā)現和解釋?zhuān)诖嘶A上進(jìn)一步深入提問(wèn)：在直角三角形中，30°所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？
3．演示規范的證明步驟，同時(shí)引導學(xué)生意識到：通過(guò)實(shí)際操作探索出的結論還需要給予理論證明。
4．讓學(xué)生準備一張正方形紙片，，按要求動(dòng)手折疊。
5．講解例題，應用定理。
6．布置學(xué)生做練習。
練習：課本隨堂練習1
三、課堂小結：
通過(guò)這節課的學(xué)習你學(xué)到了什么知識？了解了什么證明方法？
四、作業(yè)：同步練習
板書(shū)設計：
1．積極地自主探索、思考等腰三角形成為等邊三角形的條件�？赡軙�(huì )從邊和角兩個(gè)角度給出答案。
2．積極思考，通過(guò)老師的點(diǎn)撥，分類(lèi)討論當這個(gè)角分別是底角和頂角的情況。
3．認真聽(tīng)講，體會(huì )分類(lèi)討論的數學(xué)思維方法，理解定理。
1．積極動(dòng)手操作，并很快得到結果：可以拼出等邊三角形。
2．在拼擺的基礎上繼續探索，得出結論。并在探索的過(guò)程中得到證明的思路。
3．認真聽(tīng)講，體會(huì )從探索和嘗試中得到結論的過(guò)程和證明方法的步驟，掌握定理。
4．很有興趣地折疊紙片，體會(huì )定理的應用。
5．聽(tīng)講，體會(huì )定理的應用。
6．認真做練習。
�。▽W(xué)生小結：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理）
等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明2
教學(xué)目標
1、掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。
2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
3、結合實(shí)例體會(huì )反證法的含義。
教學(xué)重點(diǎn)
等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)難點(diǎn)
能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)方法
教學(xué)后記
教學(xué)內容及過(guò)程
教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)
一、等腰三角形性質(zhì)的探究
1．讓學(xué)生回憶上節課的教學(xué)內容，引導學(xué)生思考從等腰三角形中能找到哪些相等的線(xiàn)段。
2．播放課件，結合剛才的問(wèn)題講解例1的命題，并為后面將此性質(zhì)拓展埋下伏筆。
3．分別演示：
∠ABC，∠ACE=∠ACB，k=，時(shí)，BD是否與CE相等。引導學(xué)生探究、猜測當k為其他整數時(shí)，BD與CE的關(guān)系。
4．引導學(xué)生探究，對于上述例題，當AD=AC，AE=AB，k=，時(shí)，通過(guò)對例題的引申，培養學(xué)生的發(fā)散思維，經(jīng)歷探究—猜測—證明的學(xué)習過(guò)程。
5．引導學(xué)生進(jìn)一步推廣，把上面3、4中的k取一般的自然數后，原結論是否仍然成立？要求學(xué)生說(shuō)明理由或給出證明。
6．對學(xué)生探究的結果予以匯總、點(diǎn)評，鼓勵學(xué)生在自己做題目的時(shí)候也要多思多想，并要求學(xué)生對猜測的結果給出證明。
7．提出新的問(wèn)題，引導學(xué)生從“等角對等邊”這個(gè)命題的反面思考問(wèn)題，即思考它的逆命題是否成立。適時(shí)地引導學(xué)生思考可以用哪些方法證明？培養學(xué)生的推理能力。
8．歸納學(xué)生提出的各種證法，清楚的分析證明的思路，培養學(xué)生演繹證明的初步的推理能力。
9．啟發(fā)學(xué)生思考：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也不相等，這個(gè)結論是否成立？如果成立，能否證明。這實(shí)際上是“等邊對等角”的逆否命題，通過(guò)這樣的表述可以提高學(xué)生的思維能力。
10．總結這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學(xué)生了解。
11．小結這兩個(gè)課時(shí)的'內容。
作業(yè)：
同步練習
板書(shū)設計：
1．積極思考，回憶以前所學(xué)知識，聯(lián)想新問(wèn)題。
2．認真觀(guān)看例1圖形中線(xiàn)段的關(guān)系，積極思考，認真聽(tīng)講。
3．對于課件的演示很感興趣，憑直觀(guān)感覺(jué)可以猜測，不管k為何值，BD=CE總成立�；谇懊胬}的啟發(fā)，想要給出證明。一部分學(xué)生可以自己給出證明，一部分學(xué)生需要老師的幫助。
4．在已經(jīng)探究了角的大小的改變對于BD，CE的等長(cháng)性沒(méi)有影響，有了一些成就感之后，又面臨新的任務(wù)：BD＝CE嗎？因此學(xué)生會(huì )滿(mǎn)懷熱情地進(jìn)行這部分探究活動(dòng)，而且有了前面的體驗，探究也會(huì )比較順利。
5．興致高漲，憑直覺(jué)猜測結論仍然成立。但有些學(xué)生給出全部證明可能會(huì )有困難。
6．認真聽(tīng)講，在掌握結論的同時(shí)受到老師的鼓勵，有很高的熱情進(jìn)行后續學(xué)習。
7．較少接觸這樣的命題，因此會(huì )感到新鮮，有用已知公理和定理對命題的真假性進(jìn)行判斷的欲望。在老師指導下完成證明。
8，積極動(dòng)腦思考，認真聽(tīng)講，獲得對演繹證明的初步體會(huì )。
9．可以從直觀(guān)上得出結論，但是此處要求證明，體會(huì )到證明的必要性。遇到認知上的沖突，激起學(xué)習欲望。
10．懷有強烈的求知欲聽(tīng)講，對反證法有了感性認識和一定的理解。
11．體會(huì )老師的講解，并根據小結記憶掌握知識。
�。▽W(xué)生小結：掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線(xiàn)（高）、兩底角的平分線(xiàn)相等，并由特殊結論歸納出一般結論。等腰三角形的判定定理。了解反證法的推理方法。）
等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明3
教學(xué)目標
1、了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。
2、經(jīng)歷“探索－發(fā)現－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)重點(diǎn)
了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。
教學(xué)難點(diǎn)
能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。
教學(xué)方法
觀(guān)察法
教學(xué)后記
教學(xué)內容及過(guò)程學(xué)生活動(dòng)
一、復習：
1、什么是等腰三角形？
2、你會(huì )畫(huà)一個(gè)等腰三角形嗎？并把你畫(huà)的等腰三角形栽剪下來(lái)。
3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質(zhì)？
二、新課講解：
之前，我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線(xiàn)的一些結論，運用下面的公理和已經(jīng)證明的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結論。
同學(xué)們和我一起來(lái)回憶上學(xué)期學(xué)過(guò)的公理：
1、兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行；
2、兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等；
3、兩邊夾角對應相等的兩個(gè)三角形全等；（SAS）
4、兩角及其夾邊對應相等的兩個(gè)三角形全等；（ASA）
5、三邊對應相等的兩個(gè)三角形全等；（SSS）
6、全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論：
推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）
證明過(guò)程：
已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF
求證：△ABC≌△DEF
證明：∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內角和等于180°）
∠C=180°—（∠A+∠B）
∠F=180°—（∠D+∠E）
∠C=∠F（等量代換）
BC=EF（已知）
△ABC≌△DEF（ASA）
這個(gè)推論雖然簡(jiǎn)單，但也應讓學(xué)生進(jìn)行證明，以熟悉的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準備。
三、議一議：
�。�1）還記得我們探索過(guò)的等腰三角形的性質(zhì)嗎？
�。�2）你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？
等腰三角形（包括等邊三角形）的性質(zhì)學(xué)生已經(jīng)探索過(guò)，這里先讓學(xué)生盡可能回憶出來(lái)，然后再考慮哪些能夠立即證明。
定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為：等邊對等角。
已知：如圖，在A(yíng)BC中，AB＝AC。
求證：∠B＝∠C
證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形的對應邊角相等）
四、想一想：
在上圖中，線(xiàn)段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結論？
應讓學(xué)生回顧前面的證明過(guò)程，思考線(xiàn)段AD具有的性質(zhì)和特征，從而得到結論，這一結合通常簡(jiǎn)述為“三線(xiàn)合一”。
推論等腰三角形的頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合。
五、隨堂練習：
做教科書(shū)習題第1，2題。
六、課堂小結：
通過(guò)本課的學(xué)習我們了解了作為基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。經(jīng)歷“探索－發(fā)現－猜想－證明”的過(guò)程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關(guān)性質(zhì)定理和判定定理。探體會(huì )了反證法的含義。
七、課外作業(yè)：
同步練習
板書(shū)設計：
這個(gè)推論雖然簡(jiǎn)單，但也應讓學(xué)生進(jìn)行證明，以熟悉的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準備。
學(xué)生充分討論問(wèn)題1，借助等腰三角形紙片回憶有關(guān)性質(zhì)
讓學(xué)生盡可能回憶出來(lái)，然后再考慮哪些能夠立即證明
讓同學(xué)們通過(guò)探索、合作交流找出其他的證明方法
學(xué)生回顧前面的證明過(guò)程，思考線(xiàn)段AD具有的性質(zhì)和特征，討論圖中存在的相等的線(xiàn)段和相等的角，發(fā)現等腰三角形性質(zhì)定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡(jiǎn)述為“三線(xiàn)合一”。
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